浙江省S9聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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2023學(xué)年高二年級第一學(xué)期杭州S9聯(lián)盟期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時間120分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號、座位號及準(zhǔn)考證號并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效；4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解出集合，利用交集的定義可求得集合.【詳解】因為或，且，故.故選：D.2.已知復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則以及共軛復(fù)數(shù)的定義即可得出結(jié)果.【詳解】因為，即，所以的共軛復(fù)數(shù)為，其虛部為. 故選：C.3.已知向量，，若，則實數(shù)m的值是（）A.B.C.1D.4【答案】B【解析】【分析】利用向量的坐標(biāo)運算求解即可.【詳解】因為向量，，且所以，所以，解得：，所以.故選：B.4.函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】令，因為函數(shù)在上為單調(diào)遞減函數(shù)，要求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間，只需求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，又因為函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，所以函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為.故選：B. 5.已知直線：，：，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】由直線平行的判斷方法分析“”和“”的關(guān)系，結(jié)合充分必要條件的定義分析可得答案.【詳解】直線：，：，若，則有，解得，經(jīng)檢驗，當(dāng)時，直線不重合，符合，則時，滿足，而時，不能得到，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A6.將正方形沿對角線折起，并使得平面垂直于平面，直線與所成的角為A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】將異面直線平移到同一個三角形中，可求得異面直線所成的角.【詳解】如圖，取，，中點，分別為，，，則，所以或其補角即為所求的角.因為平面垂直于平面，，所以平面，所以.設(shè)正方形邊長為，，所以，則.所以.所以是等邊三角形，.所以直線與所成的角為．故應(yīng)選B． 【點睛】本題考查異面直線所成的角.7.已知正方體的棱長為1，若點P滿足，則點P到直線AB的距離為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】點作平面于點，過作于點，連接，則為所求，聯(lián)立即可求解.【詳解】如圖，過點作平面于點，過作于點，連接，則線段的長即為點P到直線AB的距離，因為正方體的棱長為1，且，所以，，，所以.故選：B 8.設(shè)，若過定點A的動直線和過定點B的動直線交于點，則的最大值是（）A.B.2C.3D.5【答案】A【解析】【分析】先確定兩直線所過的定點、的坐標(biāo)，然后根據(jù)兩直線的位置關(guān)系可判斷它們垂直，結(jié)合基本不等式求解即可.【詳解】依題意，直線過定點，直線可整理為，故直線過定點，又因為直線和直線始終垂直，為兩直線交點，所以，則，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，所以的最大值是.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，兩點到直線l：的距離相等，則實數(shù)a的值可能為（）A.B.3C.D.1【答案】AC【解析】【分析】分AB所在的直線平行于直線l和AB的中點在直線l上兩種情況進行討論求解.【詳解】因為，兩點到直線l：的距離相等，所以AB所在的直線平行于直線l或AB中點在直線l上，當(dāng)AB所在的直線平行于直線l時，因為，所以直線l的斜率，所以； 當(dāng)AB的中點在直線l上時，，解得，故選：AC.10.(多選題)某校進行了一次創(chuàng)新作文大賽，共有100名同學(xué)參賽，經(jīng)過評判，這100名參賽者的得分都在[40，90]之間，其得分的頻率分布直方圖如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（）A.得分在[40，60)之間的共有40人B.從這100名參賽者中隨機選取1人，其得分在[60，80)的概率為0.5C.估計得分的眾數(shù)為55D.這100名參賽者得分的中位數(shù)為65【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)圖中數(shù)據(jù)首先求出，然后逐一判斷即可.【詳解】根據(jù)頻率和為1，由(a＋0.035＋0.030＋0.020＋0.010)×10＝1，解得a＝0.005，得分在[40，60)的頻率是0.40，估計得分在[40，60)的有100×0.40＝40(人)，A正確；得分在[60，80)的頻率為0.5，可得從這100名參賽者中隨機選取一人，得分在[60，80)的概率為0.5，B正確；根據(jù)頻率分布直方圖知，最高的小矩形對應(yīng)的底邊中點為＝55，即估計得分的眾數(shù)為55，C正確；由0.05＋0.35＝0.4<0.5，知中位數(shù)位于[60，70)內(nèi)，所以中位數(shù)的估計值為60＋故選：ABC11.已知，且，則下列式子中正確的有（）A.B.C.D. 【答案】BC【解析】【分析】利用基本不等式即可判斷B、C兩個選項，對數(shù)的運算性質(zhì)得到，可判斷A，通過把轉(zhuǎn)換成，進而就可以判斷D選項.【詳解】選項A：，A錯誤；選項B：，當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立.又因為，所以B正確；選項C：，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.又因為，所以C正確；選項D：因為，則，又因為，則，所以當(dāng)時，，D錯誤.故選：BC12.在正方體中，，，，分別為，，的中點，，分別為，上的動點，作平面截正方體的截面為，則下列說法正確的是（）A.不可以是六邊形B.存在點，使得C.當(dāng)經(jīng)過點，時，點到平面的距離的最大值為D.的最小值為 【答案】BCD【解析】【分析】對于A選項，可以把截面補全可知截面的形狀為六邊形故A選項錯誤；對于B選項，等價于在平面上的射影與垂直，從而計算出點的位置；對于C選項，運用等體積法將問題轉(zhuǎn)化為求點到距離的最小值；對于D選項，求空間折線段的最小值要展成直線段.【詳解】如圖，對于A取中點，中點，中點，在線段上取點，使得，在線段上取點，使得，在線段，上取點M，使得.易知，且HK，IL，JM交于一點，該點為正方體的中心，所以，，，，，六點共面，又因為，所以平面故A錯誤.對于B，當(dāng)時，在中結(jié)合勾股定理可知.因為，，所以平面，又平面，所以，故B正確.對于C，當(dāng)經(jīng)過點，時，為平面AFP. 因為是定值，所以要使得點到平面的距離最大，那么的面積最小.由于為定值，即到的距離最小.由于平面，且，只需求到最小距離即可，當(dāng)運動到時距離最小，則到的最小距離為，即到的最小距離為，此時，則點到平面的距離的最大值為，故C正確.對于D，延長至使得，則，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點共線且垂直于時，取最小值，最小值為，故D正確.故選：BCD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.平面與平面垂直，平面與平面的法向量分別為，，則t值是_________．【答案】5【解析】【分析】根據(jù)面面垂直時，兩個平面的法向量垂直，則，利用向量的坐標(biāo)表示出兩個向量的數(shù)量積，得到等式求解即可. 【詳解】因為平面與平面垂直，所以平面的法向量與平面的法向量垂直，所以，即，解得.故答案為：.14.在三棱柱中，底面為棱長為1的正三角形，側(cè)棱底面，點在棱上，且，則與平面所成的角的正弦值為__________.【答案】【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計算可得.【詳解】解：取的中點，連接，過點作，依題意可得，底面，所以底面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，又平面的法向量可以為，設(shè)與平面所成的角為，所以，與平面所成的角的正弦值為.故答案為： 15.在平面直角坐標(biāo)系中，橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都在集合內(nèi)取值的點中任取一個點，此點正好在直線上的概率為___________．【答案】【解析】【分析】依題意，試驗發(fā)生包含的事件共有種結(jié)果，其中滿足條件的有種結(jié)果，列舉出結(jié)果即可求得概率.【詳解】試驗發(fā)生包含的事件是橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)都在集合內(nèi)任取一個點，所有的可能結(jié)果有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共種結(jié)果，滿足點正好在直線上的有：，，，共有種結(jié)果，所以所求概率是，故答案為：.16.設(shè)函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，當(dāng)時，．若，則_________．【答案】【解析】【分析】由題設(shè)可得以及，利用賦值法可得到方程組，從而得到時，的解析式，再利用上述兩個關(guān)系式推出函數(shù)是以為周期的函數(shù)，即可求得的值.【詳解】因為為奇函數(shù)，則， 令，則，故，則有，令，則，又因為為偶函數(shù)，，令，則，又因為，即，聯(lián)立，解得：，所以當(dāng)時，，又因為，即，則，所以函數(shù)是以為周期的函數(shù)，故.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知，，．（1）求直線AB和AC的斜率；（2）若點D在線段BC（包括端點）上移動時，求直線AD的斜率的變化范圍．【答案】（1）直線AB的斜率為，直線AC的斜率為3（2）【解析】【分析】（1）由斜率公式直接求解；（2）由傾斜角與斜率的關(guān)系即可求解.【小問1詳解】 由斜率公式可得直線AB的斜率，直線AC的斜率，故直線AB的斜率為，直線AC的斜率為3．【小問2詳解】當(dāng)D由B運動到C時，直線AD的傾斜角增大且為銳角，直線AD的斜率由增大到，所以直線AD斜率的變化范圍是.18.如圖，正四面體（四個面都是正三角形）OABC的棱長為1，M是棱BC的中點，點N滿足，點P滿足．（1）用向量，，表示；（2）求．【答案】（1） （2）．【解析】【分析】（1）由空間向量的線性運算直接求解；（2）結(jié)合（1）的結(jié)論，由空間向量的數(shù)量積公式求模長.【小問1詳解】因為M是棱BC的中點，點N滿足，點P滿足．所以．【小問2詳解】因為四面體OABC是正四面體，則，，，所以．19.在下列所給的三個條件中任選一個，補充在下面的問題中，并加以解答．①與直線垂直；②過點；③與直線平行．問題：已知直線過點，且． （1）求直線的一般式方程；（2）已知，O為坐標(biāo)原點，在直線上求點N坐標(biāo)，使得最大．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若選擇①，則由垂直關(guān)系可得直線的斜率，然后利用點斜式可求出直線的方程；若選擇②，則由斜率公式可求出直線的斜率，然后利用點斜式可求出直線的方程；若選擇③，則由平行關(guān)系可得直線的斜率，然后利用點斜式可求出直線的方程；（2）設(shè)點O關(guān)于直線的對稱點為，利用對稱關(guān)系可求得，則由圖可知，當(dāng)且僅當(dāng)Q，N，M三點共線時取得等號，從而可求得結(jié)果.【小問1詳解】選擇①與直線垂直，則直線的斜率，解得，又其過點，則直線的方程為：，整理得：；選擇②過點，又直線過點則直線的斜率，則直線的方程為：，整理得：；選擇③與直線平行，則直線的斜率，又其過點，則直線的方程為：，整理得：；綜上所述，不論選擇哪個條件，直線的方程均為：．【小問2詳解】根據(jù)（1）中所求，可得直線的方程為：，又， 設(shè)點O關(guān)于直線的對稱點為，則，且，解得；顯然，當(dāng)且僅當(dāng)Q，N，M三點共線時取得等號；又直線QM的斜率，故其方程為：，即，由，得，則點N的坐標(biāo)為時，使得最大.20.如圖，在直三棱柱中，，，，點D是線段的中點，（1）求證：（2）求D點到平面的距離； 【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由題意，由平面得，從而平面，進而得結(jié)論；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，然后利用點到平面的距離的向量公式求解.【小問1詳解】△ABC中，，，，所以，在直三棱柱中，平面，平面，所以，又因為，平面，平面，所以平面，平面，所以．【小問2詳解】由（1）知，平面ABC，平面ABC，平面ABC，所以，，又，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)平面的一個法向量為，則，解得，令，則，設(shè)D到平面的距離為，得． 21.如圖，在多面體中，四邊形是一個矩形，，.（1）求證：平面；（2）若平面平面，求平面與平面的夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線面平行的判定定理來證得平面.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得平面與平面的夾角的余弦值.【小問1詳解】設(shè)，連接，由于，所以四邊形是平行四邊形，所以，由于平面平面，所以平面.【小問2詳解】依題意，平面平面，，以為原點建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，平面的法向量為，，，，設(shè)平面的法向量為， 則，故可設(shè).設(shè)平面與平面的夾角為，則22.已知分別為三個內(nèi)角的對邊，且，（1）求；（2）若，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)的基本關(guān)系式與正弦定理可得；（2）由推得，再由設(shè)，將轉(zhuǎn)化為，再引入，得，最后利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【小問1詳解】因為，則，所以，則，所以為直角三角形，所以 【小問2詳解】，所以，而，所以設(shè)，所以，令，又因為，所以，所以，令，因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以的取值范圍為.