數(shù)學(xué)分析考試大綱

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1、《數(shù)學(xué)分析》考試大綱一、課程性質(zhì)和目的《數(shù)學(xué)分析》是數(shù)學(xué)系的一門重要基礎(chǔ)課，其主要任務(wù)是使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)的基本思想方法和極限論、單元和多元微積分、級數(shù)論、反常積分等方面的系統(tǒng)知識。它一方面為后繼課程（如《微分方程》、《實變函數(shù)》、《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》及有關(guān)的《泛函分析》、《微分幾何》等限選課程及《普通物理學(xué)》等）提供一些所需的基礎(chǔ)理論和知識，另一方面還對提高學(xué)生思維能力，開發(fā)學(xué)生智能加強(qiáng)“三基”（基礎(chǔ)知識、基本理論、基本技能）及培養(yǎng)學(xué)生獨立工作能力等起著重要的作用。通過本課程教學(xué)的主要環(huán)節(jié)（講授與討論、習(xí)題課、作業(yè)、輔

2、導(dǎo)等），使學(xué)生對極限思想和方法有較深的認(rèn)識和理解，從而有助于培養(yǎng)學(xué)生辯證唯物主義基本觀點及正確理解《數(shù)學(xué)分析》的基本概念和論證方法及分析問題和解決問題的能力。整個課程注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯及思想方法，訓(xùn)練學(xué)生舉一反三的能力，在單元函數(shù)和多元函數(shù)相平行的內(nèi)容以單元函數(shù)為主，引導(dǎo)學(xué)生通過獨立思考得到多元函數(shù)的相應(yīng)結(jié)論。二、課程內(nèi)容充分條件，必要條件，充要條件，絕對值，不等式，函數(shù)，單調(diào)函數(shù)，周期函數(shù)，奇偶函數(shù)，復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)，初等函數(shù)，數(shù)列極限，數(shù)列極限的性質(zhì)，單調(diào)有界數(shù)列，子數(shù)列，函數(shù)極限，函數(shù)極限的性質(zhì)，函數(shù)極限與

3、數(shù)列極限的關(guān)系，兩個重要極限，無窮小量與無窮大量，閉區(qū)間套定理，上確界與下確界，確界存在定理，有限覆蓋定理，致密性定理，柯西收斂準(zhǔn)則，連續(xù)，左連續(xù)，右連續(xù)，間斷點，函數(shù)在一點連續(xù)的性質(zhì)，中間值定理，有界性定理，最大值與最小值定理，反函數(shù)的連續(xù)性定理，一致連續(xù)性定理，初等函數(shù)的連續(xù)性，導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)法則，微分，微分與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，高階導(dǎo)數(shù)，高階微分，參數(shù)方程求高階導(dǎo)數(shù)，費爾馬定理，洛爾定理，拉格朗日定理，柯西定理，洛必達(dá)法則，泰勒公式，單調(diào)性判別法，極值，凹凸性，拐點，曲線的漸近線，函數(shù)作圖，不定積分，換元法，分部積分法，有

4、理函數(shù)積分法，三角函數(shù)有理式積分，無理函數(shù)的積分，平面圖形的面積，立體的體積，平面曲線的弧長，曲線的曲率，上極限，下極限，數(shù)項級數(shù)，正項級數(shù)，任意項級數(shù)，絕對收斂，條件收斂，無窮乘積，無窮積分，瑕積分，反常積分的收斂與發(fā)散，反常積分的計算，柯西主值，函數(shù)列，函數(shù)項級數(shù)，一致收斂，非一致收斂，一致收斂級數(shù)的性質(zhì)，冪級數(shù)的收斂域，冪級數(shù)的性質(zhì)，冪級數(shù)的展開，富里埃級數(shù)，富里埃級數(shù)的展開，平面點集，多元函數(shù)的極限，多元函數(shù)的連續(xù)性，偏導(dǎo)數(shù)，全微分，方向?qū)?shù)，復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)，一階全微分形式的不變性，高階偏導(dǎo)數(shù)，高階全微分，

5、泰勒公式，多元函數(shù)的極值，隱函數(shù)存在定理，空間曲線的切線與法平面，曲面的切平面與法線，條件極值，含參變量的定積分，含參變量反常積分的一致收斂，含參變量反常積分的分析性質(zhì)，歐拉積分，二重積分，三重積分，第一型曲線積分，第二型曲線積分，格林公式，平面曲線積分與路徑無關(guān)的條件，第一型曲面積分，第二型曲面積分，奧高公式，斯托克斯公式。三、考試要求第一章函數(shù)考試內(nèi)容：函數(shù)單調(diào)函數(shù)周期函數(shù)奇偶函數(shù)復(fù)合函數(shù)，反函數(shù)初等函數(shù)考試要求：（1）正確理解和掌握函數(shù)的概念和性質(zhì)，掌握函數(shù)的表示方法，并會建立簡單應(yīng)用問題中的函數(shù)關(guān)系式，了解函

6、數(shù)的四則運算，復(fù)合函數(shù)及反函數(shù)的定義；（2）掌握初等函數(shù)的性質(zhì)了解幾個常見非初等函數(shù)的定義及性質(zhì)；（3）理解函數(shù)的有界性、單調(diào)性、周期性、奇偶性等，會對初等函數(shù)是否具備這些性質(zhì)進(jìn)行驗證。第二、三章數(shù)列極限與函數(shù)極限考試內(nèi)容：數(shù)列極限數(shù)列極限的性質(zhì)單調(diào)有界數(shù)列子數(shù)列函數(shù)極限函數(shù)極限的性質(zhì)函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系兩個重要極限無窮小量與無窮大量閉區(qū)間套定理上確界與下確界確界存在定理有限覆蓋定理致密性定理柯西收斂準(zhǔn)則考試要求：（1）理解和掌握數(shù)列極限的“ε-N”定義；（2）會用數(shù)列極限的“ε-N”定義證明極限的存在性；（3）

7、掌握數(shù)列極限的性質(zhì)，并會證明；（4）會運用極限的四則運算、單調(diào)有界定理、兩邊夾定理、歸結(jié)原則、柯西收斂準(zhǔn)則證明極限的存在性；（5）會運用極限的四則運算、單調(diào)有界定理、夾逼定理、歸結(jié)原則、柯西收斂準(zhǔn)則求數(shù)列的極限；（6）會運用歸結(jié)原則、柯西收斂準(zhǔn)則證明極限不存在；（7）正確理解和掌握函數(shù)極限的嚴(yán)格定義，理解函數(shù)左極限與右極限的概念，以及極限存在與左、右極限之間的關(guān)系；（8）會用極限的嚴(yán)格定義解決有關(guān)問題和證明極限的存在性，對極限不存在的含意會敘述并能正確理解；（9）掌握無窮小量、無窮大量的定義，掌握無窮小量階的比較方法

8、，會用等價無窮小求極限；（10）會用四則運算性質(zhì)、復(fù)合運算性質(zhì)、兩個重要極限來計算函數(shù)極限；（11）理解閉區(qū)間套定理、確界存在定理、有限覆蓋定理、致密性定理、柯西收斂準(zhǔn)則的條件和結(jié)論，理解這些定理的含意及其關(guān)系，熟練掌握各定理的證明方法。第四章連續(xù)函數(shù)考試內(nèi)容：連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)間斷點函數(shù)在一點連續(xù)的性質(zhì)中間值定理有界性定理最大值與最小值定理反函