光學(xué) 姚啟鈞版 習(xí)題解答3.4

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1、3-1.證：設(shè)兩個(gè)均勻介質(zhì)的分界面是平面，它們的折射率為和。光線通過(guò)第一介質(zhì)中指定的A點(diǎn)后到達(dá)同一介質(zhì)中指定的B點(diǎn)。為了確定實(shí)際光線的路徑，通過(guò)A,B兩點(diǎn)作平面垂直于界面，是他們的交線，則實(shí)際光線在界面上的反射點(diǎn)C就可由費(fèi)馬原理來(lái)確定（如右圖）。反正法：如果有一點(diǎn)位于線外，則對(duì)應(yīng)于，必可在線上找到它的垂足.由于>,>,故光譜總是大于光程而非極小值，這就違背了費(fèi)馬原理，故入射面和反射面在同一平面內(nèi)得證。在圖中建立坐oxy標(biāo)系，則指定點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為（）和（），未知點(diǎn)C的坐標(biāo)為（）。C點(diǎn)在之間是

2、，光程必小于C點(diǎn)在以外的相應(yīng)光程，即，于是光程ACB為：根據(jù)費(fèi)馬原理，它應(yīng)取極小值，即：，取的是極值，符合費(fèi)馬原理。故問(wèn)題得證。3-2.(1)證：如圖所示，有位于主光軸上的一個(gè)物點(diǎn)S發(fā)出的光束經(jīng)薄透鏡折射后成一個(gè)明亮的實(shí)象點(diǎn)。由于球面AC是由S點(diǎn)發(fā)出的光波的一個(gè)波面，而球面DB是會(huì)聚于的球面波的一個(gè)波面，固而,.又光程，而光程。根據(jù)費(fèi)馬原理，它們都應(yīng)該取極值或恒定值，這些連續(xù)分布的實(shí)際光線，在近軸條件下其光程都取極大值或極小值是不可能的，唯一的可能性是取恒定值，即它們的光程卻相等。由于實(shí)際的光線

3、有許多條。我們是從中去兩條來(lái)討論，故從物點(diǎn)發(fā)出并會(huì)聚到像點(diǎn)的所有光線的光程都相等得證。除此之外，另有兩圖如此，并與今后常用到：3-3.解：由的結(jié)果得：==10（cm）3-4.解：由結(jié)果知：（1）,（2）(3)而又3-5.證：3-6.解：3-7.解：（1）（2）3-8.解：s/F/f/-sAx3-9.證：由圖可知，若使凹透鏡向物體移動(dòng)的距離亦可得到同樣的結(jié)果。3-10.解：P′3-11.解：（1）由經(jīng)導(dǎo)知：按題意，物離物方主點(diǎn)H的距離為，于是由（2）3-12.解：（1）仍在原處（球心），物像重合（

4、2）3-13.解：（1）（2）3-14解：（1）（2）（3）光路圖如右：3-15解：（1）（2）（3）3-16.解：（1）透鏡在空氣中和在水中的焦距分別為：（2）透鏡置于水中的焦距為：3-17.解：?????3-18.解：（1）（2）其光路圖如右3-19.解：透鏡中心和透鏡焦點(diǎn)的位置如圖所示：3-20.解：3-21.解：該透鏡是由A,B；兩部分膠合而成的（如圖所示），這兩部分的主軸都不在光源的中心軸線上，A部分的主軸在系統(tǒng)中心線下方0.5cm處，B部分的主軸則在系統(tǒng)中心線上方0.5cm處。由于點(diǎn)

5、光源經(jīng)凹透鏡B的成像位置即可（為便于討論，圖（a）（b）（c）是逐漸放大圖像）式中分別為點(diǎn)光源P及其像點(diǎn)離開透鏡B主軸的距離，虛線在透鏡B的主軸下方1cm處，也就是在題中光學(xué)系統(tǒng)對(duì)稱軸下方0.5的地方同理，點(diǎn)光源P通過(guò)透鏡A所成的像，在光學(xué)系統(tǒng)對(duì)稱軸上方0.5的處，距離透鏡A的光心為10cm，其光路圖S畫法同上。值得注意的是和構(gòu)成了相干光源3-22.證：經(jīng)第一界面折射成像：經(jīng)第二界面（涂銀面）反射成像：再經(jīng)第一界面折射成像而三次的放大率由分別得又對(duì)于平面鏡成像來(lái)說(shuō)有：可見，當(dāng)光從凸表面如射時(shí)，該

6、透鏡的成像和平面鏡成像的結(jié)果一致，故該透鏡作用相當(dāng)于一個(gè)平面鏡證畢。3-23.解：依題意所給數(shù)據(jù)均標(biāo)于圖中由于直角棱鏡的折射率n=1.5，其臨界角，故，物體再斜面上將發(fā)生全反射，并將再棱鏡左側(cè)的透鏡軸上成虛像。有考慮到像似深度，此時(shí)可將直角棱鏡等價(jià)于厚度為h=1.6cm的平行平板，由于的結(jié)果可得棱鏡所成像的位置為：故等效物距為：對(duì)凹透鏡來(lái)說(shuō)：對(duì)凸透鏡而言，即在凹透鏡左側(cè)10cm形成倒立的虛像，其大小為3-24.解：其光路圖如下：3-25.解：3-26.解：3-27.解：經(jīng)第一界面折射成像：經(jīng)第二

7、界面（涂銀面）反射成像：再經(jīng)第一界面折射成像即最后成像于第一界面左方4cm處3-28.解：依題意作草圖如下：第一次成像：第二次成像：1)求兩次象的大小之比：2)1)可見：若，則d無(wú)解，即得不到對(duì)實(shí)物能成實(shí)像的透鏡位置若，則d＝0，即透鏡在E中央，只有一個(gè)成像位置，若，則可有兩個(gè)成像位置。故，欲使透鏡成像，物和屏的距離l不能小于透鏡焦距的4倍但要滿足題中成兩次清晰的像，則必須有證畢。注：當(dāng)時(shí)，有d＝0，則。即只有能成一個(gè)像的位置。3-29.解：其光路頭分別如下：3-30.解：3-31.解：其草圖繪

8、制如下3-32.解：（1）（2）3-33.解：3-34.解：其光路圖如下：3-35.解：（1）由折射定律：nsinα=sinβ所以α=sin-1(sinφ/n)又臨界角αc=sin-1（1/n）即α<αc故是部分反射。（2）由圖知：α=（φ-α）+θ，即θ=2α-φ，而δ=π-2θ,所以δ=π-4α+2φ.（3）因?yàn)閐δ/dφ=-4dα/dφ+2=0，即：dα/dφ=1/2,而：α=sin-1（sinφ/n）,dsin-1x/dx=1/(1-x)1/2.即：dα/dφ=cosφ/n(1-sin2