四川省成都石室中學(xué)2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)Word版含解析

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成都石室中學(xué)2022～2023學(xué)年度下期高2025屆期中考試數(shù)學(xué)試卷（滿分150分，考試時(shí)間120分鐘，考試結(jié)束后，只將答題卷交回）第Ⅰ卷注意事項(xiàng)：1.答第Ⅰ卷前，考生務(wù)必將自己的班級(jí)、姓名、準(zhǔn)考證號(hào)寫在答題卷上.2.每小題選出答案后，用鉛筆把答題卷上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，答在試題卷上的無效.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合要求的.1.已知向量，且，則x＝（　　）.A.8B.2C.4D.【答案】A【解析】【分析】由向量垂直得到方程，求出的值.【詳解】由題意得：，解得：.故選：A2.已知復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)點(diǎn)關(guān)于虛軸對(duì)稱，若，則A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先確定復(fù)數(shù)，然后利用除法法則確定的值即可.【詳解】由題意可得：，則.故選D.

1【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，復(fù)數(shù)的幾何意義等知識(shí)，意在考查學(xué)生的轉(zhuǎn)化能力和計(jì)算求解能力.3.已知圓錐的表面積等于，其側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則圓錐底面的半徑為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，母線長為，利用側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，求得與之間的關(guān)系，代入表面積公式即可得解.【詳解】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為，母線長為，圓錐的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，，圓錐表面積為，，，故圓錐的底面半徑為，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查圓錐的表面積公式及圓錐的側(cè)面展開圖，解題的關(guān)鍵是利用側(cè)面展開圖時(shí)一個(gè)半圓，求得母線長與半徑的關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于一般題.4.已知函數(shù)向左平移個(gè)單位后，得到函數(shù)，下列關(guān)于的說法正確的是.A.圖象關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱B.圖象關(guān)于軸對(duì)稱C.在單調(diào)遞減D.在區(qū)間單調(diào)遞增【答案】D【解析】【詳解】函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象對(duì)應(yīng)的函數(shù)為．對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，．圖象不關(guān)于點(diǎn)中心對(duì)稱，∴A不正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，圖象不關(guān)于軸對(duì)稱，∴B不正確；對(duì)于C，的周期是．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，∴在

2單調(diào)遞減不正確，∴C不正確；的周期是．當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值，時(shí)，函數(shù)取得最小值，∵，∴在區(qū)間單調(diào)遞增，∴D正確點(diǎn)睛：三角函數(shù)的圖象變換，提倡“先平移，后伸縮”，但“先伸縮，后平移”也常出現(xiàn)在題目中，所以也必須熟練掌握.無論是哪種變形，切記每一個(gè)變換總是對(duì)字母而言.函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù)；函數(shù)是奇函數(shù)；函數(shù)是偶函數(shù).5.在中，三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊為，若，，，則（）A.B.C.4D.【答案】B【解析】【分析】由正余弦定理進(jìn)行邊化角可求得，再運(yùn)用三角形的面積公式求得，利用余弦定理可求得答案．【詳解】解：因?yàn)椋裕?，所以．因?yàn)椋?，所以．因?yàn)?，所以＝，所以，故選：B．6.如圖，已知半圓的直徑AB＝2，點(diǎn)C在AB的延長線上，BC＝1，點(diǎn)P為半圓上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，以DC為邊作等邊三角形PCD，且點(diǎn)D與圓心分別在PC的兩側(cè)，則四邊形OPDC面積的最大值為（）

3A.2B.C.D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)，根據(jù)余弦定理得到，再利用四邊形OPDC面積結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】設(shè)，在中，由余弦定理得：，所以四邊形OPDC面積因?yàn)?，所以，所以?dāng)，即時(shí)，四邊形OPDC面積的最大值為.故選：D7.如圖，函數(shù)（，，）的部分圖象與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)分別為，Q，R，且線段RQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，則等于（）A.1B.－1C.D.【答案】A

4【解析】【分析】利用線段RQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)求出Q，R的坐標(biāo)，求出周期,寫出的解析式，計(jì)算的值即可.【詳解】設(shè)，線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)為,，解得，，解得，當(dāng)時(shí)，根據(jù)五點(diǎn)法畫圖，令，解得，因?yàn)?，所以，所以，解得?.故選：A8.在中，，為線段上的點(diǎn)，且.若，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】

5【分析】轉(zhuǎn)化，結(jié)合余弦定理，即可求解x,得到.【詳解】不妨設(shè)由余弦定理：聯(lián)立得到：故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了解三角形和向量綜合，考查了學(xué)生綜合分析，轉(zhuǎn)化劃歸，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列有關(guān)復(fù)數(shù)的敘述正確的是（）A.若，則B.若，則的虛部為C.若，則不可能為純虛數(shù)．D.若，則．【答案】ACD【解析】

6【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的概念、復(fù)數(shù)模的幾何意義判斷各選項(xiàng)．【詳解】，所以，A正確；，虛部是，B錯(cuò)誤；，若，則是實(shí)數(shù)，若，則是虛數(shù)，不是純虛數(shù)，C正確；，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，這個(gè)圓上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小值為0，最大值為2，所以，D正確．故選：ACD．10.下列說法正確的是（）A.圓柱的所有母線長都相等B.棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形C.底面是正多邊形的棱錐是正棱錐D.棱臺(tái)的側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn)【答案】ABD【解析】【分析】利用圓柱的性質(zhì)判斷選項(xiàng)A；利用棱柱的性質(zhì)判斷選項(xiàng)B；利用正棱錐的定義判斷選項(xiàng)C；利用棱臺(tái)的性質(zhì)判斷選項(xiàng)D.【詳解】選項(xiàng)A：圓柱的所有母線長都相等.判斷正確；選項(xiàng)B：棱柱的側(cè)棱都相等，側(cè)面都是平行四邊形.判斷正確；選項(xiàng)C：底面是正多邊形且頂點(diǎn)在底面的射影為底面正多邊形的中心的棱錐是正棱錐.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：棱臺(tái)的側(cè)棱延長后必交于一點(diǎn).判斷正確.故選：ABD11.在中，角所對(duì)的邊分別為，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則為銳角三角形B.若為銳角三角形，則C.若，則為等腰三角形D.若，則是等腰三角形【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A，用余弦定理可以判定；對(duì)于B，利用正弦函數(shù)單調(diào)性及誘導(dǎo)公式即可判定；對(duì)于C

7，由正弦函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合三角形內(nèi)角即可判定；對(duì)于D，利用正弦定理及兩角和的正弦公式即可判定.【詳解】對(duì)于A，由余弦定理可得，即，但無法判定A、C的范圍，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，若為銳角三角形，則有，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可得，故B正確；對(duì)于C，若，由正弦函數(shù)的性質(zhì)可得或，又，故或，所以C錯(cuò)誤；對(duì)于D，若，由正弦定理可得，結(jié)合兩角和的正弦公式得又，所以，故，所以D正確.故選：BD12.著名數(shù)學(xué)家歐拉提出了如下定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直線上，且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半．此直線被稱為三角形的歐拉線，該定理被稱為歐拉線定理．已知△ABC的外心為O，重心為G，垂心為H，M為BC中點(diǎn)，且AB=4，AC=2，則下列各式正確的有（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】利用三角形外心、重心、垂心的性質(zhì)，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算法則以及平面向量的數(shù)量積的定義及運(yùn)算律逐項(xiàng)分析即可求出結(jié)果.【詳解】由G是三角形ABC的重心可得，所以=，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；過三角形ABC的外心O分別作AB、AC的垂線，垂足為D、E，如圖（1），易知D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，則

8，故B項(xiàng)正確；因?yàn)镚是三角形ABC的重心，所以有，故，由歐拉線定理可得，故C項(xiàng)正確；如圖（2），由可得，即，則有，D項(xiàng)正確，故選：BCD.第Ⅱ卷三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.13.的值為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式和兩角和的余弦公式即可求解.【詳解】

9.故答案為：.14.在中，AB＝5，AC＝6，D是BC的中點(diǎn)，H是的垂心，則______.【答案】【解析】【分析】利用利用中點(diǎn)公式及垂直，向量數(shù)量積的運(yùn)算及其性質(zhì)解決本題.【詳解】因?yàn)镠是的垂心，可得，所以.又因?yàn)镈是BC的中點(diǎn)，可得AD是中線，所以.從而.故答案為：15.如圖，在中，已知，為上一點(diǎn)，且滿足，若的面積為，，則的最小值為_________.【答案】【解析】【分析】首先利用平面向量基本定理求得m的值，然后結(jié)合題意和均值不等式的結(jié)論求解最值即可，注意等號(hào)成立的條件.【詳解】設(shè)，則.

10由平面向量基本定理可得：，解得：，，令，，則，，且，.，當(dāng)且僅當(dāng)，即，即時(shí)等號(hào)成立.即.故答案為：16.在中，角的對(duì)邊分別為，，，若有最大值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由正弦定理，三角恒等變換和輔助角公式可得，其中，結(jié)合范圍，由于有最大值，可求，進(jìn)而求解的取值范圍.【詳解】由于，所以，由正弦定理得，所以，，所以

11.當(dāng)，即時(shí)，，沒有最大值，所以，則，其中，要使有最大值，則要能取，由于，所以，所以，即，解得所以的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】解三角形的基本策略：一是利用正弦定理實(shí)現(xiàn)“邊化角”，二是利用余弦定理實(shí)現(xiàn)“角化邊”.主要方法有兩類，一是找到邊之間的關(guān)系，利用基本不等式求最值，二是利用正弦定理，轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個(gè)角的函數(shù)，利用函數(shù)思想求最值.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.在中，，.（1）求角的大?。唬?）若的最長邊的邊長為，求最短邊的邊長.【答案】（1）（2）1【解析】【分析】（1）由兩角和的正切公式求出，即可求出，從而得解；（2）首先判斷最短邊為，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，最后由正弦定理計(jì)算可得.【小問1詳解】因?yàn)?，?/p>

12所以.因?yàn)?，所以，因?【小問2詳解】因?yàn)?，且、均為銳角，所以，又由于是鈍角，所以最長邊為，最短邊為，由，解得或（舍去），又，由正弦定理，所以.18.已知復(fù)數(shù).（1）求的值；（2）設(shè)，，，求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘方運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）由（1）得，即可得到，從而求出其模.【小問1詳解】因?yàn)椋?，所?【小問2詳解】

13由（1）得，所以，因此.19.在中，a，b，c分別為內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，且.（1）求A的大小；（2）若a＝7，且頂點(diǎn)A到邊BC的距離等于，求b和c的長.【答案】（1）（2）b＝3，c＝5或b＝5，c＝3【解析】【分析】（1）先利用正弦定理化角為邊，再利用余弦定理求解；（2）利用面積公式求出，聯(lián)立方程組可求答案.【小問1詳解】由正弦定理，，即.因?yàn)?，，所?【小問2詳解】由（1）可知①.又因?yàn)?，所以②，?lián)立①②解得b＝3，c＝5或b＝5，c＝3.20.某學(xué)校的一個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了正弦定理、余弦定理的應(yīng)用后，準(zhǔn)備測量學(xué)校附近一座建筑物的高度.建筑物最高點(diǎn)在地面上的投影位于建筑物內(nèi)部，不可到達(dá)且不可從外部看到，該小組在學(xué)校操場上任意選擇了相距30m的，兩點(diǎn)進(jìn)行測量.

14有三位同學(xué)各自提出了一種方案，并測出了相應(yīng)的數(shù)據(jù).方案一：從，兩點(diǎn)分別測得點(diǎn)的仰角和，再從點(diǎn)測得.其中，，.方案二：從點(diǎn)處測得，從點(diǎn)處測得和點(diǎn)的仰角.其中，，.方案三：從點(diǎn)處分別測得點(diǎn)和的俯角和，以及.其中，，.從上述三種方案中選擇一種你認(rèn)為能夠測出建筑物的高度的方案，并根據(jù)該方案中的數(shù)據(jù)計(jì)算出的長.（注意：只能使用你所選擇的方案中的數(shù)據(jù)，不能使用未選擇的方案中的數(shù)據(jù).如果選擇多個(gè)方案，則按照所選的第一個(gè)方案的解答計(jì)分.）【答案】答案見解析.【解析】【分析】選擇方案二：首先求出，由正弦定理求出，再由銳角三角函數(shù)求出；選擇方案三：設(shè)，表示出，，再在中利用余弦定理計(jì)算可得；若選擇方案一：首先求出，設(shè)，表示出，，由正弦定理求出，即可得到有兩種可能取值，即可判斷.【詳解】選擇方案二，則，.由于，所以

15.在中，由正弦定理可得，因此，從而.選擇方案三：設(shè)，則，.在中，由余弦定理可得，即，解得（舍去負(fù)根）.所以.如果選擇方案一，因?yàn)椋?，設(shè)，則，.由正弦定理計(jì)算可得，則有兩種可能取值，所以，故不能唯一確定的值.【點(diǎn)睛】21.如圖，已知中，，，，點(diǎn)是的內(nèi)切圓圓心（即三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn)），直線與交于點(diǎn).

16（1）設(shè)，求和的值；（2）求線段的長.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，再根據(jù)平面向量線性運(yùn)算法則計(jì)算可得；（2）根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律求出，即可求出，連結(jié)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)求出.【小問1詳解】由于是的平分線，所以，因此，從而，由平面向量基本定理可得，.小問2詳解】由（1）可知.由題意，，.由得，即，所以.因此，即，又，，所以，連結(jié)，則是的平分線，因此，從而.

1722.凸四邊形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝4，DA＝6.記，.（1）求的值；（2）設(shè)凸四邊形ABCD的面積為S，求S的最大值，以及當(dāng)S取得最大值時(shí)的值.【答案】（1）；（2），.【解析】【分析】（1）在與中，利用余弦定理列式、化簡作答.（2）利用三角形面積公式列式，再與（1）的結(jié)論結(jié)合求得的余弦函數(shù)關(guān)系，利用余弦函數(shù)的性質(zhì)求解作答.【小問1詳解】在內(nèi)，由余弦定理得；在內(nèi)，由余弦定理得，因此，整理得，所以.小問2詳解】依題意，，因此.由（1）知，得，

18兩式相加得，因此當(dāng)時(shí)，取得最大值9，此時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，S的最大值是.

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