重慶市 校2022-2023學(xué)年高二下學(xué)期期末數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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高2024屆高二（下）期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，共40分.在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】解不等式化簡集合A，再利用交集的定義求解作答.【詳解】解不等式，即，解得，即，而，所以.故選：B2.函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先對函數(shù)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出切線的斜率，再根據(jù)條件即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)椋?，故，由?dǎo)數(shù)的幾何意義知，函數(shù)在點(diǎn)處的切線方程為，即.故選：B.3.為等差數(shù)列的前n項(xiàng)和，，，則該等差數(shù)列的公差（）A.1B.2C.3D.4【答案】B 【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列前和公式以及等差數(shù)列定義即可得到答案.【詳解】,故.故選：B.4.已知函數(shù)，則的解析式為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件，通過配湊即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，所?故選：D.5.已知a，且，命題p：，命題q：，則命題p是命題q成立的（）條件A.充分不必要B.必要不充分C充分必要D.既不充分也不必要【答案】A【解析】【分析】對命題q進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化為，再根據(jù)充分不必要條件的判斷即可得到答案.【詳解】，即，即，則命題等價(jià)于，因?yàn)?，則，則，即， 而可以推出，反之，舉例，但，則反推無法推出，故是成立的充分不必要條件，故選：A.6.函數(shù)的定義域?yàn)镽，且，對任意的，有，則不等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】化簡得，則得到的單調(diào)性，對原不等式變形為，利用其單調(diào)性即可得到不等式，解出即可.【詳解】對任意的,有,則，則在上單調(diào)遞增，因?yàn)?，且，，則，故選：D.7.已知有甲乙兩個(gè)盒子.盒中裝有大小.形狀完全相同的小球.甲盒中裝有3個(gè)紅球和2個(gè)白球，乙盒中裝有2個(gè)紅球、1個(gè)白球.現(xiàn)在從甲盒中摸出2個(gè)小球放入乙盒中，再從乙盒中摸出2個(gè)小球，則這2個(gè)小球?yàn)榧t球的概率為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由全概率公式求解即可【詳解】記“從甲盒中取出2個(gè)紅球”為事件，“從甲盒中取出2個(gè)白球”為事件，“從甲盒中取出1個(gè)紅球和1個(gè)白球”為事件，“從乙盒中取出的2個(gè)球均為紅球”為事件D，顯然，事件，，兩兩互斥，且正好為“從甲盒中任取2個(gè)球”的樣本空間， 由全概率公式得，從甲盒中摸出2個(gè)小球放入乙盒中，再從乙盒中摸出2個(gè)小球，則這2個(gè)小球?yàn)榧t球的概率為.故選：C8.若時(shí)，關(guān)于的不等式恒成立，則的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】依題意可得在上恒成立，設(shè)，則在上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)說明的單調(diào)性，再分和兩種情況討論，當(dāng)時(shí)需在上恒成立，參變分離可得在上恒成立，令，，利用導(dǎo)數(shù)求出的最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍.【詳解】由在上恒成立，可得在上恒成立，即在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，則在上恒成立，又，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，由于，則，此時(shí)，，滿足在上恒成立；當(dāng)時(shí)，由于，則， 要使在上恒成立，則需在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，，則，易知當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，所以，則，又，所以綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：B．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解答的關(guān)鍵是將不等式同構(gòu)成，再構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性說明.二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有錯(cuò)選的得0分）9.已知二項(xiàng)式（）的展開式中，的系數(shù)為28，下列說法正確的有（）A.B.的系數(shù)為70C.展開式中沒有常數(shù)項(xiàng)D.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第4項(xiàng)【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)條件，求出展開式的通項(xiàng)公式，再對各個(gè)選項(xiàng)分析判斷即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)檎归_式通項(xiàng)公式為：，由，得到，由題知，得到，故，選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，由，得到，所以的系數(shù)為，所以選項(xiàng)B正確； 選項(xiàng)C，由，得到，所以不存在常數(shù)項(xiàng)，所以選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，因?yàn)?，所以由二?xiàng)式系數(shù)性質(zhì)知，二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為第5項(xiàng)，所以選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：BC.10.近年來，隨著人工智能技術(shù)的不斷發(fā)展，各種AI應(yīng)用也不斷普及，ChatGPT就是一款具有人類溝通能力的智能AI工具.隨著人工智能的加入，各類傳媒、影視、游戲行業(yè)迎來了高速的發(fā)展，AI技術(shù)降低了這些行業(yè)的人力成本，提高了效率.如圖是某公司近年來在人力成本上的投入資金變化情況的散點(diǎn)圖，其中x為年份代號（第1年-第7年），y（單位：萬元）為人力成本的投入資金，小明選用2個(gè)模型來擬合，模型一：，已知，其中決定系數(shù)，模型二：，其中決定系數(shù)，則下列說法正確的有（）A.B.模型一中解釋變量增加1個(gè)單位，響應(yīng)變量則大致減少5個(gè)單位C.模型一中第7年的殘差為5D.模型一的擬合效果更好【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)條件，求出，進(jìn)而得出模型一：，從而得出選項(xiàng)A正確，再利用，對B和C逐一分析即可判斷出選項(xiàng)B和C的正誤；對于選項(xiàng)D，利用題設(shè)中，即可判斷選項(xiàng)D的正誤.【詳解】選項(xiàng)A，因?yàn)?，所以，又，代入，得到，解得，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，因?yàn)槟Ｐ鸵粸椋海式忉屪兞吭黾?個(gè)單位，響應(yīng)變量則大致減少5個(gè)單位，故選項(xiàng)B正確. 選項(xiàng)C，令，則，則殘差為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D，因?yàn)?，故模型二擬合效果更好，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤.故選：AB.11.已知過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，設(shè)，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則下列說法正確的有（）A.為定值－8B.的最小值為4C.的最小值為D.點(diǎn)的軌跡方程為【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)直線的方程，與拋物線的方程聯(lián)立，可得兩根之和及兩根之積，再一一判斷即可．【詳解】由題意可得直線斜率不為0，設(shè)直線的方程為，顯然，兩點(diǎn)在軸的兩側(cè)，設(shè)，且，，聯(lián)立，整理可得，顯然，，，，，所以A正確；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以B不正確；因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，所以C正確；由題意可得的中點(diǎn)，設(shè)，則，消參可得，整理可得，所以D正確． 故選：ACD．12.“紫藤掛穗，藍(lán)楹花開，黃桷新綠，菩提蔥蔚”，巴蜀中學(xué)即將迎來90周年校慶，學(xué)校設(shè)計(jì)了3個(gè)吉樣物“誠誠”，“盈盈”，“嘉嘉”.現(xiàn)在袋中有6個(gè)形狀.大小完全相同的小球，每一個(gè)小球上寫有一個(gè)字（其中有2個(gè)小球?qū)懼罢\”，2個(gè)小球?qū)懼坝保?個(gè)小球?qū)懼凹巍保?，現(xiàn)在有四位同學(xué)，平均分成甲、乙兩隊(duì)，進(jìn)行比賽活動，規(guī)則如下：每輪參與活動的隊(duì)伍每位同學(xué)抽取1次小球，每次抽取后小球放回袋中，若兩次抽取的球上的字組成了吉樣物名稱（如：誠誠），則該隊(duì)得1分，并且該隊(duì)繼續(xù)新一輪比賽活動，否則，該隊(duì)得本輪得0分，由對方組接著抽取，活動開始時(shí)由甲隊(duì)先抽取，若第n輪由甲隊(duì)抽取的概率為，n輪結(jié)束后，甲隊(duì)得分均值為，則下列說法正確的有（）A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】對于選項(xiàng)A，利用古典概率公式即可求解出結(jié)果；對于選項(xiàng)B，利用題設(shè)得出與間的關(guān)系并適當(dāng)變形得出，從而判斷出選項(xiàng)B的正誤；對于選項(xiàng)C，通過條件求出第二輪結(jié)束后，甲隊(duì)可能的得分及對應(yīng)概率，再利用均值的定義即可求出結(jié)果，從而判斷出選項(xiàng)的正誤；對于選項(xiàng)D，根據(jù)條件，第輪結(jié)束后，甲隊(duì)得分可以分2種情況，從而得出，判斷出選項(xiàng)D的正誤.【詳解】選項(xiàng)A，第一輪甲輪兩名成員必須抽到“誠誠”，“盈盈”，“嘉嘉”，則第二輪繼續(xù)由甲隊(duì)抽取，則，故選項(xiàng)A正確；選項(xiàng)B，第輪由甲隊(duì)抽取，可分兩類情況：第一類是第輪由甲抽取并且下一輪繼續(xù)由甲抽取；第二類是輪由乙抽取并且下一輪由甲抽取， 則，可變形為，又易知，故數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，所以，即，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，第二輪結(jié)束后，甲隊(duì)可能的得分為，，，，所以，故選項(xiàng)C正確；選項(xiàng)D，第輪結(jié)束后，甲隊(duì)得分可以分2種情況：一類是第輪甲隊(duì)的得分加上1分，則第輪必須由甲抽取且得1分，一類是第輪甲隊(duì)的得分加上0分，則第輪由甲抽取且不得分，或第輪由乙抽取，則，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解題的關(guān)鍵有兩個(gè)，一是選項(xiàng)B，根據(jù)題意得到，從而可得數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，二是選項(xiàng)D，第輪結(jié)束后，甲隊(duì)得分可以分2種情況：一類第輪甲隊(duì)的得分加上1分，一類是第輪甲隊(duì)的得分加上0分，從而得出.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t的定義域?yàn)開________.【答案】【解析】【分析】先由題意求出函數(shù)的定義域?yàn)?，再由求解，即可得出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以；即函?shù)的定義域?yàn)?；由解得?因此的定義域?yàn)?故答案為：14.不等式的解集為____________.【答案】【解析】【分析】分、兩種情況討論，分別求出不等式的解集，即可得解.【詳解】不等式，當(dāng)時(shí)即，等價(jià)于，解得，當(dāng)時(shí)即，等價(jià)于，解得，綜上可得不等式的解集為.故答案為：15.已知橢圓，過左焦點(diǎn)作直線l在x軸上方交橢圓于點(diǎn)A，過右焦點(diǎn)作直線交直線l于點(diǎn)B（B在橢圓外），若為正三角形，則橢圓的離心率為_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正三角形的性質(zhì)可推出，，則，再根據(jù)橢圓的定義可求得，再解在即可.【詳解】因?yàn)闉檎切危裕?因?yàn)檩S，所以，，所以，又，所以，在中，，所以橢圓的離心率為.故答案為：.16.對任意的正實(shí)數(shù)a，b，c，滿足，則的最小值為_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)條件，得到，利用基本不等式得到，再通過構(gòu)造，二次運(yùn)用基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號.故答案為：. 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)晴：解答本題關(guān)鍵在于，利用條件將變形成，再整理成，再利用均值不等式即可求出結(jié)果.四、解答題（本題共6小題，第17小題10分，其余小題每題12分，共70分.解答過程應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.已知正項(xiàng)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，滿足：.（1）計(jì)算并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）令，求的前n項(xiàng)和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)求解即可；（2）利用分組求和法求解即可.【小問1詳解】由①，當(dāng)時(shí)，，解得（舍去），當(dāng)時(shí)，②，由①②得，即，又，所以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以；【小問2詳解】由（1）得， 則.18.“五一”假期，各地掀起了旅游的熱浪，“淄博燒烤”，“洪崖洞寵粉”等等沖上熱搜.現(xiàn)調(diào)查性別因素是否對市內(nèi)外旅游的選擇有影響，在某旅行團(tuán)抽取了五一期間出行旅游的100名游客，男性50人，女性50人，其中男性有40%選擇在重慶市內(nèi)旅游，在重慶市外旅游的游客中，男女的比例為2∶1，完成下列的2×2列聯(lián)表，并回答相關(guān)問題.性別旅游地選擇合計(jì)重慶市內(nèi)重慶市外男性女性合計(jì)（1）依據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為性別對重慶市內(nèi)外旅游的選擇有關(guān)聯(lián)？（2）從選擇重慶市外旅游的游客中按性別進(jìn)行分層抽樣，抽取了6名游客，再從這6名游客中抽取3名游客，記X為其中女性游客的人數(shù)，求.附：參考公式及數(shù)據(jù)：，其中.0.400.250.100.0100.0050.0010.7081.3232.7066.6357.87910.828【答案】（1）能認(rèn)為性別對重慶市內(nèi)外旅游的選擇有關(guān)聯(lián)（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，得出的列聯(lián)表，求得，結(jié)合附表，即可得到結(jié)論；（2）根據(jù)題意求得男性4人，女性2人，利用對立事件的概率公式，即可求解.【小問1詳解】 解：根據(jù)題意，得到的列聯(lián)表：性別旅游地選擇合計(jì)重慶市內(nèi)重慶市外男性203050女性351550合計(jì)5545100則，所以依據(jù)小概率的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能認(rèn)為性別對重慶市內(nèi)外旅游的選擇有關(guān)聯(lián).【小問2詳解】解：抽取的6名游客中，男性有人，女性有人，從這6名游客中抽取3名游客，記為其中女性游客的人數(shù)，則.19.如圖，在四棱錐中，為平行四邊形，，平面平面，，，.（1）求證：平面平面；（2）若與平面所成角為，E為的中點(diǎn)，求銳二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用勾股定理證明，再根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得平面，再根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證； （2）先說明即為與平面所成角的平面角，再以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】在中，，，，則，所以，則，所以，又平面平面，平面平面，平面，所以平面，又平面，所以平面平面；【小問2詳解】作于點(diǎn)，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面，則即為與平面所成角的平面角，所以，又，所以為等邊三角形，故，如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則，則，則，因?yàn)槠矫?，所以即為平面的一條法向量，設(shè)平面的法向量為， 則，令，則，所以，則，即銳二面角的余弦值.20.某商店搞促銷活動，消費(fèi)滿1000元即可選擇下列某一種活動贏得現(xiàn)金.活動一：擲三顆均勻骰子，若三顆骰子點(diǎn)數(shù)一樣，則獲得200元：若三顆骰子有且僅有2顆骰子點(diǎn)數(shù)一樣，則獲得100元；若三顆骰子均不一樣則獲得50元，用表示該消費(fèi)者在該活動中獲得的獎(jiǎng)金數(shù).活動二：消費(fèi)者先選擇1至6的某一個(gè)整數(shù)，然后擲三顆均勻骰子，若所選擇的數(shù)在骰子上出現(xiàn)了次，則贏得元（，1，2，3），用表示該消費(fèi)者在該活動中獲得的獎(jiǎng)金數(shù).（1）求的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）求的分布列及數(shù)學(xué)期望，為了能獲得更高的獎(jiǎng)金，從概率學(xué)的角度來看應(yīng)該選擇哪個(gè)活動？【答案】（1）分布列見解析，（2）分布列見解析，，選擇活動一【解析】【分析】（1）依題意可能的取值為，，，求出所對應(yīng)的概率，即可得到分布列與數(shù)學(xué)期望；（2）由已知，每一個(gè)點(diǎn)數(shù)每次出現(xiàn)的概率為，則選中的那個(gè)點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)，則可能的取值為：，，，，計(jì)算對應(yīng)概率，寫出分布列與期望，比較，，從而確定哪個(gè)活動更合適．小問1詳解】根據(jù)題意可知，可能的取值為，，， 則，，，則的分布列為：50100200所以；【小問2詳解】由已知，每一個(gè)點(diǎn)數(shù)每次出現(xiàn)的概率為，則選中的那個(gè)點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)，則可能的取值為：，，，，，，，，所以的分布列為：40100160220，，，因?yàn)?，故?yīng)該選擇活動一．21.已知雙曲線C：的漸近線方程為，其左右焦點(diǎn)為，，點(diǎn)D為雙曲線上一點(diǎn)，且的重心G點(diǎn)坐標(biāo)為.（1）求該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過x軸上一動點(diǎn)作直線l交雙曲線的左支于A，B兩點(diǎn)，A點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為（與B不重合），連接并延長交x軸于點(diǎn)Q，問 是否為定值？若是定值，求出該定值；若不是定值，說明理由.【答案】（1）（2）4【解析】【分析】（1）根據(jù)雙曲線方程設(shè)，，根據(jù)重心坐標(biāo)公式求出，代入原方程即可得到的值，則得到雙曲線方程；（2）設(shè)的方程為，，將其與雙曲線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，寫出直線的方程，令，解出，將韋達(dá)定理式代入整理得，則得到定值.【小問1詳解】因?yàn)殡p曲線的漸近線方程為，故可設(shè)雙曲線的方程為，設(shè)，因?yàn)榈闹匦狞c(diǎn)的坐標(biāo)為，所以，解得，所以，則代入得，所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為【小問2詳解】由題意知直線的斜率必存在，設(shè)的方程為，，則，聯(lián)立，化簡得，則，且，由韋達(dá)定理得 ，，則直線的方程為：，令，則，故..【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題第二問的關(guān)鍵是采用設(shè)線法，即設(shè)的方程為，再將其與雙曲線方程聯(lián)立得到韋達(dá)定理式，22.（1）不等式對任意的恒成立，求m的取值范圍；（2）當(dāng)，求證：.（參考數(shù)據(jù)：，）【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】【分析】（1）通過分離常量得到，通過構(gòu)造函數(shù)，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)最大值，再利用導(dǎo)數(shù)求出的單調(diào)區(qū)間即可求解；（2）先利用和（1）中結(jié)果，將問題轉(zhuǎn)化成證明，構(gòu)造函數(shù)，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系，求出函數(shù)的最小值即可證明結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)椴坏仁綄θ我獾暮愠闪?，故對任意的恒成立，令，則， 所以，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，即在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，故.（2）因?yàn)?，故，故只需要證明，又由（1）知，故只需要證明，即證：，令，則，令，則，所以，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，而，又，，，又因?yàn)?，所以，故存在，，即，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，則，又因?yàn)?，所以，故，所以，?