湖南省長沙市湖南師范大學附屬中學2023-2024學年高三上學期月考卷（一）數(shù)學Word版含解析.docx

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大聯(lián)考湖南師大附中2024屆高三月考試卷（一）數(shù)學試卷時量：120分鐘滿分：150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設，，則中整數(shù)個數(shù)為（）A.2B.3C.4D.52.已知母線長為5的圓錐的側面積為，則這個圓錐的體積為（）A.B.C.D.3.若，是銳角的兩個內角，則復數(shù)在復平面內所對應的點位于（）A第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4.已知，，，，且四邊形為平行四邊形，則（）A.B.C.D.5.已知數(shù)列的前項和為，若，，則有（）A.為等差數(shù)列B.為等比數(shù)列C.為等差數(shù)列D.為等比數(shù)列6.為了保障交通安全，某地根據(jù)《道路交通安全法》規(guī)定：汽車駕駛員血液中的酒精含量不得超過0.09mg/mL.據(jù)儀器監(jiān)測，某駕駛員喝了二兩白酒后，血液中的酒精含量迅速上升到0.3mg/mL，在停止喝酒后，血液中每小時末的酒精含量都比上一個小時末減少25%，那么此人在開車前至少要休息（參考數(shù)據(jù)：，）（）A.4.1小時B.4.2小時C.4.3小時D.4.4小時7.已知函數(shù)的定義域為，設的導數(shù)是，且恒成立，則（）A.B.C.D.8.若正三棱錐滿足，則其體積的最大值為（） A.B.C.D.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.下列命題為真命題的是（）A.若，且，則B.若，則C.若，則D.若，則10.設正方體中，，的中點分別為，，，則（）A.B.平面與正方體各面夾角相等C.，，，四點共面D.四面體，體積相等11.已知函數(shù)滿足，且在上有最大值，無最小值，則下列結論正確的是（）A.B.若，則C.的最小正周期為4D.在上的零點個數(shù)最少為1012個12.已知直線與曲線相交于，兩點，與曲線相交于，兩點，，，的橫坐標分別為，，.則（）A.B.C.D.選擇題答題卡題號123456789101112得分答案三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.曲線在點處的切線與直線垂直，則______.14.若圓關于直線對稱，則的值是______.15.如圖，正四棱錐的每個頂點都在球的球面上，側面是等邊三角形，若半球的球心為四棱錐的底面中心，且半球與四個側面均相切，則半球的體積與球的體積的比值為______. 16.已知數(shù)列的各項均為非零實數(shù)，其前項和為，，且對于任意的正整數(shù)均有.（1）若，則______；（2）若，則滿足條件的無窮數(shù)列的一個通項公式可以是______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）如圖，在梯形中，，，.（1）求的值；（2）若的面積為4，求的長.18.（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿足，當時，.（1）求數(shù)列的通項公式；（2）證明：.19.（本小題滿分12分）如圖，在多面體中，四邊形為正方形，平面，，，是線段上的一動點，過點和直線的平面與，分別交于，兩點. （1）若為的中點，請在圖中作出線段，并說明，的位置及作法理由；（2）線段上是否存在點，使得直線與平面所成角的正弦值為？若存在，求出的長；若不存在，請說明理由.20.（本小題滿分12分）面對芯片進口的限制和困境，自研芯片可以減少對外部供應的依賴，提高產品的競爭力和安全性，許多廠商需要通過加大研發(fā)投入和人才培養(yǎng)來提高自身實力.某企業(yè)原有400名技術人員，年人均投入萬元，現(xiàn)為加大對研發(fā)工作的投入，該企業(yè)把原有技術人員分成技術人員和研發(fā)人員，其中技術人員名（且），調整后研發(fā)人員的年人均投入增加，技術人員的年人均投入調整為萬元.（1）若要使調整后研發(fā)人員的年總投入不低于調整前400名技術人員的年總投入，求調整后的研發(fā)人員的人數(shù)最少為多少人？（2）為了激勵研發(fā)人員的工作熱情和保持技術人員的工作積極性，企業(yè)決定在投入方面要同時滿足以下兩個條件：①研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術人員的年總投入；②技術人員的年人均投入始終不減少.請問是否存在這樣的實數(shù)滿足以上兩個條件？若存在，求出的范圍；若不存在，說明理由.21.（本小題滿分12分）已知橢圓的中心在坐標原點，兩焦點，在軸上，離心率為，點在上，且的周長為6.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點的動直線與相交于，兩點，點關于軸的對稱點為，直線與軸的交點為，求的面積的最大值.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，，設表示，的最大值，設. （1）討論在上的零點個數(shù)；（2）當時，求的取值范圍.大聯(lián)考湖南師大附中2024屆高三月考試卷（一）數(shù)學參考答案題號123456789101112答案DBBADBDCADABDACACD一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.D【解析】集合中元素包含的整數(shù)有，，，0，1，2，3，以上整數(shù)滿足集合中不等式的有，，，1，2，故中整數(shù)個數(shù)為5，故選D.2.B【解析】設圓錐的底面圓半徑為，高為，由已知，，則，從而，所以，選B.3.B【解析】∵，，∴，，，故，，即點位于第二象限.選B.4.A【解析】在平行四邊形中，，，，，∴.故選：A.5.D【解析】由題意，數(shù)列的前項和滿足，當時，，兩式相減，可得，可得，即，又由，當時，，所以，所以數(shù)列的通項公式為故數(shù)列既不是等差數(shù)列也不是等比數(shù)列.當時，，又由時，，適合上式，所以數(shù)列的前項和為；又由，所以數(shù)列為公比為3的等比數(shù)列， 綜上可得選項D是正確的.6.B【解析】設經過小時，血液中的酒精含量為，則.由，得，則.因為，則，所以開車前至少要休息4.2小時，選B.7.D【解析】設，則，故在定義域上是增函數(shù)，所以，即，所以，故選D.8.C【解析】設正三棱錐的底邊長為，側棱長為，，又.設，，在上存在唯一的極值點，且在時取得最大值為.故正三棱錐體積的最大值為，故選C.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.AD【解析】對于A，，又，故，A正確.對于B，若，則，故B錯誤.對于C，，∵，∴，，，∴，∴，所以C錯誤. 對于D，，∵，∴，，∴，∴，所以D正確.10.ABD【解析】不妨設正方體的棱長為，則，，，從而，，故，選項A正確.由于平面平面，又平面的法向量之一與正方體各面的夾角相等，即平面與正方體各面夾角相等，選項B正確.由于與異面，故選項C錯誤.由于平面，、到平面距離相等，故選項D正確.11.AC【解析】對于A項，由題意得，在的區(qū)間中點處取得最大值，即，所以A正確；對于B項，假設若，則成立，由A項知，，而，故假設不成立，則B項錯誤；對于C項，，且在上有最大值，無最小值，不妨令，，，則兩式相減，得，即函數(shù)的最小正周期，故C項正確；對于D項，因為，所以函數(shù)在區(qū)間上的長度恰好為506個周期，當，即，時，在區(qū)間上的零點個數(shù)至少為個，故D項錯誤.故選AC.12.ACD【解析】設，得，則.設，得，則，從而可得.由，得 ，故A正確；由，得，即，又，得，則，故B錯誤；由，得，即.又由，即，則，故C正確；由前面知，，得，又由，得，，則，.故D正確.綜上選ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.1【解析】，因為在點處的切線與直線垂直，故切線的斜率為2，所以，解得.14.【解析】由題意知直線過圓心，即，解得.15.【解析】如圖，連接，，取的中點，連接，，過點作于點.易知底面，設，則，，，則為球的球心，設球的半徑為，半球的半徑為，則.易知.在等邊三角形中，，由，則，故. 16.（1）2（2）（答案不唯一）（第一空2分，第二空3分）【解析】（1）當時，，又，，代入上式可求得.（2）已知，得，當時，，即，所以或，又，，所以（答案不唯一）.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.【解析】（1）在中，由正弦定理知，，所以，……（2分）因為，，所以.……（4分）（2）在中，，則為銳角，因為，所以，……（6分）在梯形中，，，則，所以，顯然為銳角，所以，……（8分）因為，所以，所以，所以.……（10分）18.【解析】（1）由已知，，即，則數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列.……（3分）又，則，所以數(shù)列的通項公式是.……（5分） （2）因為，則.……（8分）所以（10分）.……（12分）19.【解析】（1）如圖，取為的中點，為靠近點的三等分點.……（2分）理由如下：由四邊形為正方形得，，又平面，平面，所以平面.……（3分）又平面平面，為的中點，得，且為的中點.由題意知，平面平面，平面平面，平分，得平分，……（5分）又，得到為的三等分點，且，從而作出線段.……（6分）（2）由題意，可建立如圖所示的空間直角坐標系，則，，，，，于是，，，……（7分）設，則的坐標為.設平面的法向量為，則由得令，得平面的一個法向量為.……（9分）設直線與平面所成角為，則，假設存在點使得直線與平面所成角的正弦值為， 則有，解得，.……（11分）所以線段上存在點，位于靠近點的三等分點處，使得直線與平面所成角的正弦值為.……（12分）20.【解析】（1）某企業(yè)原有400名技術人員，年人均投入萬元，現(xiàn)為加大對研發(fā)工作的投入，該企業(yè)把原有技術人員分成技術人員和研發(fā)人員，其中技術人員名（且），調整后研發(fā)人員的年人均投入增加，技術人員的年人均投入調整為萬元，可得調整后研發(fā)人員的年人均投入為萬元，則，，……（2分）整理得，解得，因為且，所以，故，所以要使這名研發(fā)人員的年總投入不低于調整前400名技術人員的年總投入，調整后的研發(fā)人員最少為125人.……（5分）（2）由條件①研發(fā)人員的年總投入始終不低于技術人員的年總投入，得，……（6分）上式兩邊同除以得，整理得；由條件②由技術人員年人均投入不減少，得，解得；……（8分）假設存在這樣的實數(shù)，使得技術人員在已知范圍內調整后，滿足以上兩個條件， 即恒成立，因為，……（10分）當且僅當，即時等號成立，所以，又因為，當時，取得最大值23，所以，所以，即，即存在這樣的滿足條件，其范圍為.……（12分）21.【解析】（1）設橢圓的半長軸長、半短軸長、半焦距分別為，，，因為，則.……（1分）因為，則，即.……（2分）于是，解得，從而，.……（3分）因為橢圓的焦點在軸上，所以橢圓的標準方程是.……（4分）（2）設直線的方程為，代入橢圓方程，得，即.設點，，則，.……（6分）因為點，關于軸對稱，則.設點，因為，，三點共線，則，即，即，即，得 .所以，點為定點，.……（9分）.令，則.…（11分）當且僅當時取等號，所以的面積的最大值為.……（12分）22.【解析】（1），令，則，當時，；當時，，∴在上單調遞減，在上單調遞增.……（2分）①當時，在上單調遞增，，無零點；……（3分）②當時，在上單調遞減，在上單調遞增.∴，而，，∴，使得，∴在上有且只有一個零點.……（4分）綜上所述，當時，在上無零點；當時，在上有且只有一個零點.……（5分）（2）①當時，在上恒成立，顯然；②當時，若，；若，.∴等價于在上恒成立.……（6分）∵，∴. 令，則；令，則.∴在上單調遞減，在上單調遞增，……（8分）不妨令，則，則.……（10分）令，，易得在上單調遞減，在上單調遞增，∴，∴，∴在上單調遞減，在上單調遞增，∴.令，∴，∴在上單調遞減，而，∵在上恒成立，∴，∴，即，∴，綜上所述，的取值范圍為.……（12分）