湖南省衡陽市第八中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次階段性測試數(shù)學(xué)（解析版）.docx

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數(shù)學(xué)試卷一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符合題目要求的．1.已知，，則在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】D【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法法則計算出，得到其所在象限.【詳解】，故所對應(yīng)的點的坐標為，位于第四象限.故選：D2.集合的子集個數(shù)為（）A.2B.4C.8D.16【答案】B【解析】【分析】確定，再計算子集個數(shù)得到答案.【詳解】，故子集個數(shù).故選：B3.已知向量，若，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)向量共線的規(guī)則求出x，再根據(jù)向量的坐標運算規(guī)則求解.【詳解】，；故選：A. 4.（）A.B.C.D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)倍角余弦公式和同角平方關(guān)系即可求解.【詳解】．故選：C5.小李在如圖所示的跑道（其中左、右兩邊分別是兩個半圓）上勻速跑步，他從點處出發(fā)，沿箭頭方向經(jīng)過點、、返回到點，共用時秒，他的同桌小陳在固定點位置觀察小李跑步的過程，設(shè)小李跑步的時間為（單位：秒），他與同桌小陳間的距離為（單位：米），若，則的圖象大致為（）A.B.CD.【答案】D【解析】【分析】分析在整個運動過程中，小李和小陳之間的距離的變化，可得出合適的選項.【詳解】由題圖知，小李從點到點的過程中，的值先增后減，從點到點的過程中，的值先減后增，從點到點的過程中，的值先增后減，從點到點的過程中，的值先減后增，所以，在整個運動過程中，小李和小陳之間的距離（即的值）的增減性為：增、減、增、減、增，D選項合乎題意，故選：D. 6.將邊長為1的正六邊形進行如下操作：第一次操作，在每條邊上，以邊長的為長度作正六邊形，保留新作的六個小正六邊形，刪除其余部分；第二次操作，將上一次操作剩余的正六邊形進行第一次操作……以此方法繼續(xù)下去，如圖所示．若要使保留下來的所有小正六邊形面積之和小于，則至少需要操作的次數(shù)為（）（，）A.17B.18C.19D.20【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意得到第次操作后保留的小正六邊形得個數(shù)和邊長，再求出其面積表達式，得到不等式，解出即可.【詳解】由題可知，第次操作后共保留了個小正六邊形，其邊長為，所以保留下來的所有小正六邊形面積之和為，由，得，所以至少需要操作20次，才能使保留下來的所有小正六邊形面積之和不超過．故選：D.7.如圖所示，圓錐底面半徑為2，為底面圓心，，為底面圓上的點，且，，則直線與所成角的余弦值為（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】連接，取，，的中點分別為，，，連接，從而得到，，進而得到（或其補角）為直線與所成的角，再根據(jù)條件求得，，的長度，結(jié)合余弦定理和異面直線的夾角范圍,即可求解.【詳解】連接，取，，的中點分別為，，，連接，則，，平面，所以（或其補角）為直線與所成的角，又平面，平面，所以，，因為，，，所以，，，，所以，，，則由余弦定理得：，所以直線與所成角的余弦值為，故選：A.8.函數(shù)最大值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用導(dǎo)數(shù)，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可得解. 【詳解】因為，所以，易知，則，所以當時，；當時，；即當時，單調(diào)遞增；當時，單調(diào)遞減；故在處取得極大值即最大值，所以.故選：B.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項中有多項符合題目要求，全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯的得0分．9.已知條件p：；條件q：.若p是q的必要條件，則實數(shù)a的值可以是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)p是q的必要條件得出的取值，結(jié)合選項可得答案.【詳解】由，得或，由，得.因為是的必要不充分條件，可知或，解得或.故選：BC.10.設(shè)是公比為正數(shù)等比數(shù)列的前n項和，若，，則（）A.B.C.為常數(shù)D.為等比數(shù)列【答案】ACD【解析】 【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)可得公比，進而可得通項公式與，再逐個選項判斷即可.【詳解】設(shè)公比為，則，解得，故，則，.對A，，故A正確；對B，，故B錯誤；對C，為常數(shù)，故C正確；對D，，，故為等比數(shù)列，故D正確；故選：ACD11.已知函數(shù)，則（）A.函數(shù)的圖像可由的圖像向左平移個單位長度，再向下平移個單位長度得到B.函數(shù)的一個對稱中心為C.函數(shù)的最小值為D.函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減【答案】CD【解析】【分析】化簡得，逐項驗證即可解決.【詳解】由題知，，對于A，的圖像向左平移個單位長度，得， 再向下平移個單位長度得到，故A錯誤；對于B，，所以函數(shù)的一個對稱中心為，故B錯誤；對于C，，當時，函數(shù)取最小值為，故C正確；對于D，，所以單調(diào)減區(qū)間應(yīng)滿足，解得，所以單調(diào)減區(qū)間為，因為，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，故D正確.故選：CD12.“楊輝三角”是二項式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國南宋數(shù)學(xué)家楊輝年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn)，比歐洲發(fā)現(xiàn)早年左右.如圖所示，在“楊輝三角”中，除每行兩邊的數(shù)都是外，其余每個數(shù)都是其“肩上”的兩個數(shù)之和，例如第行的為第行中兩個的和.則下列命題中正確的是（）A.在“楊輝三角”第行中，從左到右第個數(shù)是 B.由“第行所有數(shù)之和為”猜想：C.D.存在，使得為等差數(shù)列【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)楊輝三角的特征即可判斷A，根據(jù)二項式系數(shù)和的性質(zhì)即可判斷B，根據(jù)組合數(shù)的性質(zhì)即可求解C，根據(jù)等差數(shù)列的定義即可求解D.【詳解】對于A，在“楊輝三角”第行中，從左到右第個數(shù)是，A錯；對于B，由二項式系數(shù)的性質(zhì)知，B對；對于C，由于故C正確；對于D，取，則，因為，所以數(shù)列為公差為的等差數(shù)列，D對.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，，若，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量垂直的坐標運算可得，進而可求，再利用模長公式運算求解.【詳解】因為，所以，解得，可得，所以．故答案：.14.已知變量和的統(tǒng)計數(shù)據(jù)如右表：若由表中數(shù)據(jù)得到經(jīng)驗回歸直線方程為，則時的殘差為______（注：觀測值減去預(yù)測值稱為殘差）． 6789103.54566.5【答案】【解析】【分析】求出回歸直線方程，再求出預(yù)測值即可得解.【詳解】由表可知，，則，解得，所以當時，，所以時的殘差為.故答案為：15.已知分別是雙曲線的左?右焦點，點是雙曲線的右頂點，點在過點且斜率為的直線上，為等腰三角形，，則雙曲線的離心率為___________.【答案】【解析】【分析】作出輔助線，得到，求出，求出離心率.【詳解】由題知，過作軸于，則，， ，解得，故答案為：16.已知函數(shù)滿足時，，．若函數(shù)的圖像與x軸恰好有個不同的交點，則_________．【答案】【解析】【分析】由題意可知函數(shù)的周期為4，結(jié)合題意和圖象可知，直線與第個半圓相切，根據(jù)點到直線的距離公式可知，可得，由裂項相消法即可求出結(jié)果.【詳解】∵，∴，所以函數(shù)周期為4，當時，，即；當時，，函數(shù)周期為4，令，即與函數(shù)恰有個不同的交點，根據(jù)圖象知，直線與第個半圓相切，故， 故，所以．故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足，．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）若數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用等差數(shù)的性質(zhì)，結(jié)合通項公式與前項和公式即可得解；（2）利用分組求和差，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列的前項和公式即可得解.【小問1詳解】依題意，設(shè)數(shù)列的公差為，因為，所以，則，因為，即，所以，所以，，所以，即．【小問2詳解】因為，所以，所以 ．18.在①，②，③中選一個，補充在下面的橫線中，并解答.在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足________.（1）求A；（2）若內(nèi)角A的角平分線交BC于點，且，求的面積的最小值.（注：如果選擇多個條件分別解答，那么按第一個解答計分）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若選①：根據(jù)余弦定理分析運算；對于②③：根據(jù)正弦定理結(jié)合三角恒等變換分析運算；（2）根據(jù)面積公式可得，再利用基本不等式可得，進而可得結(jié)果.【小問1詳解】若選①：因為，整理得，由余弦定理可得，因為，所以；若選②：因為，由正弦定理可得，則，因為，則，則，可得，所以；若選③：因為，由正弦定理可得，則， 因為，則，則可得，所以.【小問2詳解】由題意可得：，且，則，即，且，則，當且僅當時，等號成立，可得，所以，故的面積的最小值為.19.如圖所示，為等邊三角形，平面，，，，為線段上一動點．（1）若為線段的中點，證明：．（2）若，求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直可得，再證明平面，再根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可得證；（2）設(shè)的中點為，連接，在平面內(nèi)，過點作交于點，以為原點建立空間直角坐標系，利用向量法求解即可.【小問1詳解】 因為為線段的中點，且為等邊三角形，所以，因為平面，平面，所以，因為，所以，，，四點共面，因為平面，平面，，所以平面，因為平面，所以；【小問2詳解】設(shè)的中點為，連接，在平面內(nèi)，過點作交于點，由（1）可得兩兩垂直，分別以，，所在直線為，，軸建立空間直角坐標系，如圖所示，因為，，，所以，，，，所以，，．，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，所以平面的一個法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，得，，所以平面的一個法向量為， 所以，所以二面角的余弦值為．20.素質(zhì)教育是指一種以提高受教育者諸方面素質(zhì)為目標的教育模式．它重視人的思想道德素質(zhì)、能力培養(yǎng)、個性發(fā)展、身體健康和心理健康教育．由此，某校的一位班主任在其班的課后服務(wù)課中展開羽毛球比賽，采用五局三勝制，經(jīng)過一段時間緊張激烈的角逐，最終甲、乙兩人進行總決賽，在總決賽的比賽中，甲每局獲勝的概率為，且各局比賽之間沒有影響．（1）求甲獲勝的概率；（2）比賽結(jié)束時，甲比賽的局數(shù)為，求的分布列及其期望．【答案】（1）（2）分布列見解析；期望為【解析】【分析】（1）甲獲勝有三種情況，分別是3：0，3：1，3：2，對應(yīng)的局數(shù)分別3局，4局，5局且各種情況相互獨立，分別計算其概率并相加即可；（2）比賽結(jié)束時必有一方贏另一方輸，至少為3局，至多為5局，每種情況可能是甲贏或者乙贏，分別計算其概率，列出分布列，再根據(jù)期望公式即可求得數(shù)學(xué)期望.【小問1詳解】 甲獲勝有三種情況，第一種甲以3：0獲勝，其概率為；第二種甲以3：1獲勝，其概率為；第三種甲以3：2獲勝，其概率．所以甲獲勝的概率為：．【小問2詳解】由題知，的所有可能的取值為3，4，5．，，，所以的分布列為345所以．21.已知函數(shù)，．（1）證明：對于，，都有．（2）當時，直線：與曲線和均相切，求直線的方程．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）由得，根據(jù)轉(zhuǎn)化為證明，構(gòu)造函數(shù)后利用導(dǎo)函數(shù)證不等式. （2）先設(shè)的切線方程為，結(jié)合其和也相切，聯(lián)立后根據(jù)二次方程有唯一解可得，利用的性質(zhì)，求出即可.【小問1詳解】因為，所以，即．當時,，欲證，，只需證在上恒成立．令，，當時，當且僅當即時等號成立，故，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以．綜上所述，對于，，都有．【小問2詳解】當時，，設(shè)直線與曲線的切點為，因為，所以曲線在點的切線方程為，聯(lián)立方程，得，由，得，即．由（1）知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以方程有且只有一個實根，所以，即， 代入得，所以直線的方程為．22.已知直線：與雙曲線：相交于兩個不同的點，，線段的垂直平分線分別與，軸相交于，兩點．（1）若，且點，都在雙曲線的右支上，求的取值范圍；（2）若（為坐標原點）的面積為，且，求的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）通過聯(lián)立方程組，利用判別式結(jié)合雙曲線漸近線的位置，求的取值范圍；（2）設(shè)點設(shè)直線方程，利用韋達定理表示出線段的垂直平分線方程，得到，兩點坐標，由的面積結(jié)合判別式求的取值范圍.【小問1詳解】雙曲線：漸近線方程為，當時，直線的方程為，由，得，由，解得，因為點，都在右支上，所以．所以的取值范圍為．【小問2詳解】 設(shè)，，把代入并整理得，由，得，設(shè)線段的中點為，則，，所以線段的垂直平分線的方程為，所以點的坐標為，點的坐標為，因為的面積為，所以，整理得，所以，所以，解得或，所以的取值范圍為．【點睛】方法點睛：解答直線與雙曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關(guān)系，并結(jié)合題設(shè)條件建立有關(guān)參變量的等量關(guān)系．強化有關(guān)直線與雙曲線聯(lián)立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數(shù)之間的關(guān)系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．