安徽省亳州市第二完全中學2023-2024學年高二上學期開學質量檢測數(shù)學試卷 Word版含解析.docx

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亳州二中2023-2024學年度高二第一學期開學質量檢測數(shù)學試題考試時間：120分鐘試卷滿分：150分一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知為虛數(shù)單位，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法公式，分子分母同乘可得答案.【詳解】.故選：B.2.在中，已知D為BC上一點，且滿足，則（????）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量的線性運算求得正確答案.【詳解】在中，，所以.故選：B 3.設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，下列命題正確的是（）A.若，則∥B.若，則C.若，則D.若，則【答案】C【解析】【分析】根據(jù)線面，面面平行的判定和性質，線面垂直的判定和性質分析判斷即可.【詳解】對于A，當時，可能與平行，可能在內，所以A錯誤，對于B，當時，可能平行，可能異面，所以B錯誤，對于C，當時，由線面垂直的性質可得，所以C正確，對于D，當時，與可能垂直，可能相交不垂直，可能平行，所以D錯誤，故選：C4.設為單位向量，，當夾角為時，在上的投影向量為（）AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義即可求得答案.【詳解】由題意，在上的投影向量為，故選：B．5.已知函數(shù)，若，其中，，則的最大值是（）A.B.πC.D.【答案】D【解析】【分析】確定的最大值和最小值，根據(jù)可得或，求出，從而可求出的最大值. 【詳解】由，得，因為，所以或，由，得，即，因為，所以取得最大值時，的取值為或，由，得，即，因為，所以取得最小值時，的取值為或，所以的最大值為故選：D6.定義行列式．若函數(shù)在上恰有3個零點，則m的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先根據(jù)新定義和輔助角公式表示出，然后作出圖像，利用圖像解決零點問題.【詳解】由題意，，當時，，設，故有個零點等價于在有個根，令，作出，的圖像如下： 時，令，如圖所示，可解得四個交點的橫坐標為：，由題意，區(qū)間中只能恰好含有中這個值，故，解得.故選：B7.中國古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運城市永濟市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而流芳后世．如圖，某同學為測量鸛雀樓的高度MN，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物AB，高約為37m，在地面上點C處（B，C，N三點共線）測得建筑物頂部A，鸛雀樓頂部M的仰角分別為和，在A處測得樓頂部M的仰角為，則鸛雀樓的高度約為（）A.74mB.60mC.52mD.91m【答案】A【解析】【分析】求出，，，在中，由正弦定理求出，從而得到的長度.【詳解】在中，，，，在中，， 由，，在中，.故選：A8.如圖，在三棱錐中，，均為等腰直角三角形，,若二面角的大小為，則三棱錐的外接球的表面積為（）A.80πB.64πC.48πD.π【答案】C【解析】【分析】取，的中點，得為二面角的平面角，過作平面，則在的延長線上，求出，過作垂直于平面的直線，則三棱錐的外接球球心在上，過作，則四邊形為矩形，設，利用可得答案.【詳解】由題意知，，又，為等腰直角三角形，，分別取，的中點，，連接，，，，，所以，則為二面角的平面角即，過作平面，則在的延長線上，∴，，，，所以，過作垂直于平面的直線，則三棱錐的外接球球心在上，過作，則四邊形為矩形，設，利用， ，解得，得，∴外接球的表面積.故選：C.【點睛】關鍵點點睛：解題的關鍵點是過作垂直于平面的直線，則三棱錐的外接球球心在上，過作，則四邊形為矩形，本題考查學生的空間想象能力、運算能力.二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，，是三個平面向量，則下列敘述錯誤的是（）A.若，則B.若，且，則C.若，，則D.若，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)平面向量垂直和平行的性質及零向量的性質求解即可.【詳解】，即，故A正確；若，且，當，時，則與不一定相等，故B錯誤；若，，當時，與不一定平行，故C錯誤；若，則，所以，，故，故D正確.故選：BC.10.已知函數(shù)的圖象關于直線對稱，則（）A.函數(shù)為偶函數(shù) B.函數(shù)在上單調遞增C.若，則的最小值為D.將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的圖象關于直線對稱，由求得函數(shù)的解析式，再逐項判斷.【詳解】因為函數(shù)的圖象關于直線對稱，所以，即，又因為，則，所以，A.函數(shù)為奇函數(shù)，故錯誤；B.因為，則，又在上遞增，所以函數(shù)在上單調遞增，故正確；C.因為，則分別為函數(shù)的最大值和最小值，則的最小值為，故正確；D.將函數(shù)圖象上所有點的橫坐標縮小為原來的，得到函數(shù)的圖象，故錯誤；故選：BC11.某班級到一工廠參加社會實踐勞動，加工出如圖所示的圓臺，在軸截面中，，則下列說法正確的是（） A.該圓臺的高為.B.該圓臺的體積為.C.圓臺的軸截面面積為D.一只小蟲從點C沿著該圓臺的側面爬行到AD的中點，所經(jīng)過的最短路程為.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)勾股定理、圓臺體積公式、等腰梯形的面積公式，結合側面展開圖進行求解即可.【詳解】如圖所示圓臺的軸截面，A：過點作，因此有，所以A選項錯誤.B：由圓臺體積公式求得該圓臺的體積為所以B選項正確.C：由梯形面積公式可得圓臺的軸截面面積為，所以C選項正確；D：把圓臺補成圓錐，圓錐的頂點為，圓錐的側面展開圖如下圖所示：因為，所以，，于是有，因此， 由余弦定理可知：因此D選項正確.故選：BCD【點睛】關鍵點題：本題的關鍵是把圓臺補成圓錐.12.在中，角，，所對的邊分別為，，，且，則下列結論正確的是（）A.B.是鈍角三角形C.的最大內角是最小內角的倍D.若，則外接圓半徑為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)，得到，然后利用正、余弦定理和三角恒等變換知識逐項判斷即可.【詳解】對A，因為在中，所以，解得，所以根據(jù)正弦定理知，故A正確；對B，易知角C為最大角，則， ，所以角C為銳角，故是銳角三角形，故B錯誤；易角A為最小角，則，所以，即，又，所以，所以，故C正確；設外接圓的半徑為R，則由正弦定理得，解得，故D正確；故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分.13.已知，且，則___________.【答案】【解析】【分析】由可知，，再根據(jù)，即可求出的值．【詳解】因為，所以，而，所以．故答案為：．14.在長方體中，，則異面直線與所成角的余弦值為________；【答案】【解析】【分析】由可得或其補角即為異面直線與所成角即可求解. 【詳解】因為，，所以四邊形是平行四邊形，所以，所以或其補角即為異面直線與所成角，因為，所以，，所以，故答案為：.15.已知向量，滿足，且，則向量，的夾角為______，______．【答案】①.##②.1【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用向量的夾角公式及數(shù)量積的運算律求解作答.【詳解】設的夾角為，則，而，因此，所以．故答案為：；116.在中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足，點D在邊AB上，且CD平分，若，則面積的最小值為________.【答案】【解析】 【分析】由余弦定理可得，再根據(jù)可得，再結合基本不等式與三角形面積公式求解即可.【詳解】由得，故，又，故.因為平分，且，由可得，即.又，故，即，當且僅當時取等號.故，即面積的最小值為.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共計70分．解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17.已知復數(shù)，．（1）若是純虛數(shù)，求的值；（2）若在復平面內對應的點在第三象限，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由實部為且虛部不為列式求解；（2）由實部與虛部均小于得到不等式組，求出的取值范圍．【小問1詳解】是純虛數(shù)，故，解得【小問2詳解】因為在復平面內對應的點在第三象限，所以，解得， 故的取值范圍為．18.已知，且．（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦二倍角公式、正弦兩角和公式以及同角的三角函數(shù)關系求解即可.（2）根據(jù)求解即可.【小問1詳解】，【小問2詳解】，，，，，則19.如圖，在四棱錐中，ABCD，四邊形ABCD是菱形，，M，N分別為的中點． （1）證明：平面；（2）若，求點N到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）取中點，連接，證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)線面平行的判定定理即可證明結論；（2）根據(jù)等體積法即，即可求得答案.【小問1詳解】在四棱錐中，取中點，連接，如圖，由于四邊形是菱形，分別為的中點，則，，于是四邊形是平行四邊形，有，而平面，平面，所以平面.【小問2詳解】由（1）知，，平面，平面，則平面， 于是點到平面的距離等于點A到平面的距離，設為d，由平面，平面，得，而四邊形ABCD是菱形，，，則為正三角形，所以，則，底邊上的高，于是的面積，而，由，得，即，解得d=，所以點到平面的距離是.20.已知，函數(shù)．（1）求圖象的對稱中心及其單調遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)，計算的值．【答案】（1），Z，.(Z)（2）2022【解析】【分析】（1）利用向量的數(shù)量積運算以及三角恒等變形求得函數(shù)解析式，利用正弦函數(shù)的性質求得對稱中心以及單調遞增區(qū)間；（2）利用函數(shù)的周期性求解可得答案.【小問1詳解】由已知得，令Z，解得， 所以圖象的對稱中心坐標為，，令Z，解得，，所以單調遞增區(qū)間(）；【小問2詳解】，該函數(shù)周期為，所以，，，，，因為函數(shù)周期為，且，所以，而，所以.21.中國古代數(shù)學經(jīng)典《數(shù)書九章》中，將底面為矩形且有一條側棱與底面垂直的四棱錐成為“陽馬”.在如圖所示的陽馬中，底面為矩形，平面，，，以的中點為球心，為直徑的球面交于（異于點），交于（異于點）.（1）證明：；（2）求直線與平面所成角的正弦值. 【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）由題易知平面，可得，又，即證出平面，從而；（2）方法一：利用幾何法，由等積法求出點到平面的距離，即可由求出；方法二：利用向量法，以為原點，，，所在直線為，，軸建立直角坐標系，求出平面的法向量，再根據(jù)線面角的向量公式即可求出．【詳解】（1）∵是球的直徑，∴又∵平面，面，∴∵矩形，∴，∵，∴平面∵平面，∴∵，∴平面∵平面，∴.（2）解法一：由第一問可知，又∵，則是的中點，∴，∵，∴，∵，，，∴面，∴∵，∴在中，，∴， ∵，∴，，∴∵面，∴在三棱錐中，∵面，∴，∴設到平面的距離為，則，∴記與平面所成角為，則.解法二：∵底面為矩形，平面，∴，，兩兩互相垂直；∴如圖，以為原點，，，所在直線為，，軸建立直角坐標系.則，，，∴，，由第一問可知，又∵，則是的中點，∴∴，，設平面的法向量為.由，得.設，∴ ∵，∴，解得，∴，記與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.22.在中，角的對邊分別為，且，．（1）求；（2）求邊上中線長的取值范圍．【答案】（1）6（2）.【解析】【分析】（1）由已知條件，利用正弦定理邊化角化簡可得角B，利用正弦定理化簡求得，又，可得結果；（2）根據(jù)余弦定理結合基本不等式可得，設邊上的中點為D，因為，利用向量數(shù)量積運算可得邊上中線的取值范圍.小問1詳解】因為，由正弦定理可得，整理得，且，則，可得，即，且，則，由正弦定理，其中為的外接圓半徑，可得，，又因， 所以.【小問2詳解】在中，由余弦定理，即，則，當且僅當時，等號成立，可得，即設邊上的中點為D，因為，則，即，所以邊上中線長的取值范圍為.