浙江省杭州市西湖高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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高二數(shù)學(xué)10月月考試題一、單選題1.直線的傾斜角為()AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用斜率和傾斜角的關(guān)系即可求傾斜角.【詳解】設(shè)斜率為,傾斜角為,∵,∴,.故選:D.2.過點A(1,2)的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零,則該直線方程為()A.x-y+1=0B.x+y-3=0C.y=2x或x+y-3=0D.y=2x或x-y+1=0【答案】D【解析】【分析】考慮直線是否過坐標(biāo)原點,設(shè)出直線方程,分別求解出直線方程.【詳解】當(dāng)直線過原點時,其斜率為,故直線方程為y=2x;當(dāng)直線不過原點時,設(shè)直線方程為,代入點(1,2)可得,解得a=-1,故直線方程為x-y+1=0.綜上,可知所求直線方程為y=2x或x-y+1=0,故選:D.【點睛】本題主要考查直線方程截距式以及分類討論思想的應(yīng)用,考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算.在利用直線方程的截距式解題時,一定要注意討論直線的截距是否為零.3.直線關(guān)于點對稱的直線方程為()A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】設(shè)對稱的直線方程上的一點的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點對稱的點的坐標(biāo)為,代入已知直線即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)對稱的直線方程上的一點的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點對稱的點的坐標(biāo)為,以代換原直線方程中的得,即.故選:D.4.已知直線,,,則“”的必要不充分條件是()A.B.C.或D.【答案】C【解析】【分析】直線,平行的充要條件是“”,進(jìn)而可得答案.詳解】解:直線,,若,則,解得:或當(dāng)時,與重合,故“”“”,故“”的必要不充分條件是“或”,故選:C.5.在四面體中,,點在棱上,且,為中點,則()A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得答案.【詳解】點在線段上,且,為中點,,, .故選:B.6.從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球,現(xiàn)有如下說法:①至少有一個黑球與都是黑球是互斥而不對立的事件;②至少有一個黑球與至少有一個紅球不是互斥事件;③恰好有一個黑球與恰好有兩個黑球是互斥而不對立的事件;④至少有一個黑球與都是紅球是對立事件.在上述說法中,正確的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】利用互斥事件和對立事件的定義逐個判斷即可【詳解】①“至少有一個黑球”等價于“一個黑球和一個紅球或兩個黑球”與“都是黑球”可以同時發(fā)生,不是互斥事件,故錯誤.②“至少有一個黑球”等價于“一個黑球和一個紅球或兩個黑球”,“至少有一個紅球”等價于“一個黑球和一個紅球或兩個紅球”,可以同時發(fā)生,故正確.③“恰好有一個黑球”等價于“一個黑球和一個紅球”,與“恰好有兩個黑球”,不同時發(fā)生,還有可能都是紅球,不是對立事件,故正確.④“至少有一個黑球”等價于“一個黑球和一個紅球或兩個黑球”,與“都是紅球”,不同時發(fā)生,但一定會有一個發(fā)生,是對立事件,故正確.上述說法中,正確的個數(shù)為3.故選:C【點睛】此題考查互斥事件和對立事件的判斷,屬于基礎(chǔ)題7.已知兩點到直線的距離相等,則()A.2B.C.2或D.2或【答案】D 【解析】【分析】分在的同側(cè)和異側(cè)分類討論求解.【詳解】(1)若在的同側(cè),則,所以,,(2)若在的異側(cè),則的中點在直線上,所以解得,故選:D.8.正三棱柱中,,點在棱上,,則二面角的正切值是()A.B.C.D.3【答案】B【解析】【分析】作出圖形,結(jié)合題意證明平面,得出平面,推出是二面角所成的平面角,求出的值即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知,如圖,取BC的中點E,的中點,連接AE、,則,,,且所以四邊形為矩形,在上取一點使得,過作,垂足為,則,且;作,垂足為D,則,,所以且,連接,所以四邊形為平行四邊形,所以.所以,又平面ABC,所以平面ABC,所以,又,,所以平面,又,所以平面,因為,所以平面,故是二面角所成的平面角; 因為,所以,在中,,所以.故選:B二、多選題9.如圖,點,,,,是正方體的頂點或所在棱的中點,則滿足平面的有()A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】結(jié)合線面的位置關(guān)系以及線面平行的判定定理確定正確選項.【詳解】對于A選項,由下圖可知,平面,平面,所以平面,A正確. 對于B選項,設(shè)是的中點,由下圖,結(jié)合正方體的性質(zhì)可知,,所以六點共面,B錯誤.對于C選項,如下圖所示,根據(jù)正方體的性質(zhì)可知,由于平面,所以平面.所以C錯誤.對于D選項,設(shè),由于四邊形是矩形,所以是中點,由于是中點,所以,由于平面,平面,所以平面,D正確.故選:AD10.已知向量,,,則() A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算一一計算可得.【詳解】解:因為,,所以,所以,故A錯誤;因為,,所以,故B正確;因為,所以,故C正確;因為,,所以,所以,故D正確.故選:BCD11.如圖,在棱長為1的正方體中()A.與的夾角為B.二面角的平面角的正切值為C.與平面所成角的正切值D.點到平面的距離為【答案】BCD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系,利用坐標(biāo)法逐項判斷即得.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系, 則,∴,,即,與的夾角為,故A錯誤;設(shè)平面的法向量為,,所以,令,則,平面的法向量可取,二面角的平面角為,則,所以,故B正確;因為,設(shè)與平面所成角為,則,故C正確;因為,設(shè)點到平面的距離為,則,故D正確.故選:BCD.12.(多選題)光線自點射入,經(jīng)傾斜角為的直線反射后經(jīng)過點,則反射光線還經(jīng)過下列哪個點()A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】求出點關(guān)于直線 的對稱點的坐標(biāo),求出反射光線所在直線的方程,逐一驗證各選項中的點是否在反射光線所在直線上,由此可得出合適的選項.【詳解】因為直線的傾斜角為,所以直線的斜率為,設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為,則,解得,所以,反射光線經(jīng)過點和點,反射光線所在直線的斜率為,則反射光線所在直線的方程為,當(dāng)時,;當(dāng)時,.故選:BD.【點睛】結(jié)論點睛:若點與點關(guān)于直線對稱,由方程組可得到點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)(其中,).三、填空題13.一個布袋中,有大小、質(zhì)地相同的4個小球,其中2個是紅球,2個是白球,若從中隨機(jī)抽取2個球,則所抽取的球中至少有一個紅球的概率是______.【答案】【解析】【分析】先求出“所抽取的球中至少有一個紅球”的對立事件的概率,再用1減去此概率的值,即得所求.【詳解】從中隨機(jī)抽取2個球,所有的抽法共有種,事件“所抽取的球中至少有一個紅球”的對立事件為“所抽取的球中沒有紅球”,而事件:“所抽取的球中沒有紅球”的概率為,故事件“所抽取的球中至少有一個紅球”的概率等于, 故答案為.【點睛】本題考查等可能事件的概率,“至多”、“至少”問題的概率通常求其的對立事件的概率,再用1減去此概率的值,屬于簡單題.14.已知,則的值為______.【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡所求式子,根據(jù)正余弦齊次式的求法可直接求得結(jié)果.【詳解】.故答案為:.15.已知O為坐標(biāo)原點,,,若與的夾角為120°,則實數(shù)______.【答案】【解析】【分析】求出,,,,,,再由與的夾角為,能求出的值.【詳解】,,,,,,,,,,,,,,,與的夾角為,,解得.故答案為:16.如圖,在正方體中,和相交于點O,若,則 ________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合已知條件將用表示出來即可求出的值,從而可求得答案.【詳解】因為在正方體中,和相交于點O,所以,因為,所以,所以,故答案為:四、解答題17.已知函數(shù).(1)求的值;(2)若,求的最大值和最小值.【答案】(1) (2)最大值為,最小值為【解析】【分析】(1)將代入直接計算即可,(2)化簡變形函數(shù)得,然后由,得,再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出其最值.【小問1詳解】=.【小問2詳解】.因為,所以,所以,所以所以的最大值為,最小值為.18.統(tǒng)計某班級名學(xué)生數(shù)學(xué)期末考試成績(單位:分)的頻率頻率分布直方圖如圖所示:(1)分別求出成績落在與中的學(xué)生人數(shù);(2)從成績在和的學(xué)生中按照分層抽樣的方法抽取 人參加全校數(shù)學(xué)文化知識競賽,如果有人獲獎,求這人的成績都在中的概率.【答案】(1)成績落在中學(xué)生人數(shù)為,成績落在中學(xué)生人數(shù)為;(2).【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為求出實數(shù)的值,并計算出成績落在與中的學(xué)生所占的頻率,乘以可得結(jié)果;(2)列出所有的基本事件,并確定事件“所抽的人的成績都在中”所包含的基本事件數(shù),利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】(1)據(jù)直方圖知組距為,由,解得,成績落在中學(xué)生人數(shù)為,成績落在中學(xué)生人數(shù)為;(2)從成績在和的學(xué)生中按照分層抽樣的方法抽取人,成績落在有人,成績落在有人,記成績落在中的人為、,成績落在中的人為、、、,則從人選人的基本事件共有個:、、、、、、、、、、、、、、.其中人的成績都在中的基本事件有6個.故所求概率為.【點睛】方法點睛:求解古典概型概率的方法如下:(1)列舉法;(2)列表法;(3)數(shù)狀圖法;(4)排列組合數(shù)的應(yīng)用.19.已知銳角內(nèi)角,,的對邊分別為,,.若.(1)求; (2)若,求的取值范圍.【答案】(1);(2).【解析】【分析】(1)利用正弦定理進(jìn)行邊角互換,再結(jié)合三角形內(nèi)角和、誘導(dǎo)公式和二倍角公式得到,即可得到;(2)利用正弦定理、三角形內(nèi)角和和和差公式將轉(zhuǎn)化成,再結(jié)合的范圍求的范圍即可.【小問1詳解】,又為銳角,所以,,因為為銳角,所以,.【小問2詳解】因為,所以,,因為三角形為銳角三角形,所以,解得,令,所以,,所以.20.過點 作直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸相交,當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和最小時,求此直線方程.【答案】【解析】【分析】由題意設(shè)直線的方程為,則可得,所以,化簡后利用基本不等式可求出其最小值,從而可求出的值,進(jìn)而可求出直線方程.【詳解】解:設(shè)直線的方程為.把點代入可得.,當(dāng)且僅當(dāng)時取等號,的最小值為9,此時直線的方程為.21.如圖,在三棱錐中,平面平面,,為的中點.(1)證明:;(2)若是邊長為1的等邊三角形,點在棱上,,且二面角的大小為,求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析;(2).【解析】【分析】(1)由題意首先證得線面垂直,然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可;(2)方法二:利用幾何關(guān)系找到二面角的平面角,然后結(jié)合相關(guān)的幾何特征計算三棱錐的體積即可. 【詳解】(1)因為,O是中點,所以,因為平面,平面平面,且平面平面,所以平面.因為平面,所以.(2)[方法一]:通性通法—坐標(biāo)法如圖所示,以O(shè)為坐標(biāo)原點,為軸,為y軸,垂直且過O的直線為x軸,建立空間直角坐標(biāo)系,則,設(shè),所以,設(shè)為平面的法向量,則由可求得平面的一個法向量為.又平面的一個法向量為,所以,解得.又點C到平面的距離為,所以,所以三棱錐的體積為.[方法二]【最優(yōu)解】:作出二面角的平面角如圖所示,作,垂足為點G.作,垂足為點F,連結(jié),則. 因為平面,所以平面,為二面角的平面角.因,所以.由已知得,故.又,所以.因為,.[方法三]:三面角公式考慮三面角,記為,為,,記二面角為.據(jù)題意,得.對使用三面角的余弦公式,可得,化簡可得.①使用三面角的正弦公式,可得,化簡可得.②將①②兩式平方后相加,可得,由此得,從而可得.如圖可知,即有, 根據(jù)三角形相似知,點G為的三等分點,即可得,結(jié)合的正切值,可得從而可得三棱錐的體積為.【整體點評】(2)方法一:建立空間直角坐標(biāo)系是解析幾何中常用方法,是此類題的通性通法,其好處在于將幾何問題代數(shù)化,適合于復(fù)雜圖形的處理;方法二:找到二面角的平面角是立體幾何的基本功,在找出二面角的同時可以對幾何體的幾何特征有更加深刻的認(rèn)識,該法為本題的最優(yōu)解.方法三:三面角公式是一個優(yōu)美的公式,在很多題目的解析中靈活使用三面角公式可以使得問題更加簡單、直觀、迅速.22.如圖,在三棱錐中,,,為正三角形,為的中點,,.(1)求證:平面;(2)求與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析;(2)與平面所成角的正弦值為.【解析】【分析】(1)、取的中點,連接,證明結(jié)合,先證明平面,得到,再證明,然后證明平面;(2)、以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系,計算平面的法向量及,利用向量法求線面角.【詳解】(1)證明:作的中點,連接,因為是正三角形,所以,又平面,所以平面,又平面,所以,因為∥,所以,又平面,所以平面; (2)以為坐標(biāo)原點,所在直線分別為為軸非負(fù)半軸,建立空間直角坐標(biāo)系如圖示,則,所以,設(shè)平面的法向量為,則,取,則,

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