浙江省杭州市西湖高級中學(xué)2022-2023學(xué)年高二上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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高二數(shù)學(xué)10月月考試題一、單選題1.直線的傾斜角為（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用斜率和傾斜角的關(guān)系即可求傾斜角.【詳解】設(shè)斜率為，傾斜角為，∵，∴，．故選：D．2.過點A（1，2）的直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為零，則該直線方程為（）A.x-y+1=0B.x+y-3＝0C.y＝2x或x+y-3＝0D.y＝2x或x-y+1＝0【答案】D【解析】【分析】考慮直線是否過坐標(biāo)原點，設(shè)出直線方程，分別求解出直線方程.【詳解】當(dāng)直線過原點時，其斜率為，故直線方程為y＝2x；當(dāng)直線不過原點時，設(shè)直線方程為，代入點（1，2）可得，解得a＝－1，故直線方程為x-y+1＝0.綜上，可知所求直線方程為y＝2x或x-y+1＝0，故選：D.【點睛】本題主要考查直線方程截距式以及分類討論思想的應(yīng)用，考查邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算.在利用直線方程的截距式解題時，一定要注意討論直線的截距是否為零.3.直線關(guān)于點對稱的直線方程為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】設(shè)對稱的直線方程上的一點的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點對稱的點的坐標(biāo)為,代入已知直線即可求得結(jié)果.【詳解】設(shè)對稱的直線方程上的一點的坐標(biāo)為,則其關(guān)于點對稱的點的坐標(biāo)為，以代換原直線方程中的得，即.故選：D.4.已知直線，，，則“”的必要不充分條件是（）A.B.C.或D.【答案】C【解析】【分析】直線，平行的充要條件是“”，進(jìn)而可得答案．詳解】解：直線，，若，則，解得：或當(dāng)時，與重合，故“”“”，故“”的必要不充分條件是“或”，故選：C．5.在四面體中，，點在棱上，且，為中點，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得答案.【詳解】點在線段上，且，為中點，，， ．故選：B．6.從裝有兩個紅球和兩個黑球的口袋內(nèi)任取兩個球，現(xiàn)有如下說法：①至少有一個黑球與都是黑球是互斥而不對立的事件；②至少有一個黑球與至少有一個紅球不是互斥事件；③恰好有一個黑球與恰好有兩個黑球是互斥而不對立的事件；④至少有一個黑球與都是紅球是對立事件.在上述說法中，正確的個數(shù)為（）A.1B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】利用互斥事件和對立事件的定義逐個判斷即可【詳解】①“至少有一個黑球”等價于“一個黑球和一個紅球或兩個黑球”與“都是黑球”可以同時發(fā)生，不是互斥事件，故錯誤.②“至少有一個黑球”等價于“一個黑球和一個紅球或兩個黑球”，“至少有一個紅球”等價于“一個黑球和一個紅球或兩個紅球”，可以同時發(fā)生，故正確.③“恰好有一個黑球”等價于“一個黑球和一個紅球”，與“恰好有兩個黑球”，不同時發(fā)生，還有可能都是紅球，不是對立事件，故正確.④“至少有一個黑球”等價于“一個黑球和一個紅球或兩個黑球”，與“都是紅球”，不同時發(fā)生，但一定會有一個發(fā)生，是對立事件，故正確.上述說法中，正確的個數(shù)為3.故選：C【點睛】此題考查互斥事件和對立事件的判斷，屬于基礎(chǔ)題7.已知兩點到直線的距離相等，則（）A.2B.C.2或D.2或【答案】D 【解析】【分析】分在的同側(cè)和異側(cè)分類討論求解.【詳解】（1）若在的同側(cè)，則，所以，，（2）若在的異側(cè)，則的中點在直線上，所以解得,故選:D.8.正三棱柱中，，點在棱上，，則二面角的正切值是（）A.B.C.D.3【答案】B【解析】【分析】作出圖形，結(jié)合題意證明平面，得出平面，推出是二面角所成的平面角，求出的值即可得出結(jié)果.【詳解】由題意知，如圖，取BC的中點E，的中點，連接AE、，則，，，且所以四邊形為矩形，在上取一點使得，過作，垂足為，則，且；作，垂足為D，則，，所以且，連接，所以四邊形為平行四邊形，所以.所以，又平面ABC，所以平面ABC，所以，又，，所以平面，又，所以平面，因為，所以平面，故是二面角所成的平面角； 因為，所以，在中，，所以.故選：B二、多選題9.如圖，點，，，，是正方體的頂點或所在棱的中點，則滿足平面的有（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】結(jié)合線面的位置關(guān)系以及線面平行的判定定理確定正確選項.【詳解】對于A選項，由下圖可知，平面，平面，所以平面，A正確. 對于B選項，設(shè)是的中點，由下圖，結(jié)合正方體的性質(zhì)可知，，所以六點共面，B錯誤.對于C選項，如下圖所示，根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，由于平面，所以平面.所以C錯誤.對于D選項，設(shè)，由于四邊形是矩形，所以是中點，由于是中點，所以，由于平面，平面，所以平面，D正確.故選：AD10.已知向量，，，則（） A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算一一計算可得.【詳解】解：因為，，所以，所以，故A錯誤；因為，，所以，故B正確；因為，所以，故C正確；因為，，所以，所以，故D正確.故選：BCD11.如圖，在棱長為1的正方體中（）A.與的夾角為B.二面角的平面角的正切值為C.與平面所成角的正切值D.點到平面的距離為【答案】BCD【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法逐項判斷即得.【詳解】如圖建立空間直角坐標(biāo)系， 則，∴，，即，與的夾角為，故A錯誤；設(shè)平面的法向量為，，所以，令，則，平面的法向量可取，二面角的平面角為，則，所以，故B正確；因為，設(shè)與平面所成角為，則，故C正確；因為，設(shè)點到平面的距離為，則，故D正確.故選：BCD.12.（多選題）光線自點射入，經(jīng)傾斜角為的直線反射后經(jīng)過點，則反射光線還經(jīng)過下列哪個點（）A.B.C.D.【答案】BD【解析】【分析】求出點關(guān)于直線 的對稱點的坐標(biāo)，求出反射光線所在直線的方程，逐一驗證各選項中的點是否在反射光線所在直線上，由此可得出合適的選項.【詳解】因為直線的傾斜角為，所以直線的斜率為，設(shè)點關(guān)于直線的對稱點為，則，解得，所以，反射光線經(jīng)過點和點，反射光線所在直線的斜率為，則反射光線所在直線的方程為，當(dāng)時，；當(dāng)時，.故選：BD.【點睛】結(jié)論點睛：若點與點關(guān)于直線對稱，由方程組可得到點關(guān)于直線的對稱點的坐標(biāo)（其中，）.三、填空題13.一個布袋中，有大小、質(zhì)地相同的4個小球，其中2個是紅球，2個是白球，若從中隨機(jī)抽取2個球，則所抽取的球中至少有一個紅球的概率是______.【答案】【解析】【分析】先求出“所抽取的球中至少有一個紅球”的對立事件的概率，再用1減去此概率的值，即得所求．【詳解】從中隨機(jī)抽取2個球，所有的抽法共有種，事件“所抽取的球中至少有一個紅球”的對立事件為“所抽取的球中沒有紅球”，而事件：“所抽取的球中沒有紅球”的概率為，故事件“所抽取的球中至少有一個紅球”的概率等于， 故答案為.【點睛】本題考查等可能事件的概率，“至多”、“至少”問題的概率通常求其的對立事件的概率，再用1減去此概率的值，屬于簡單題.14.已知，則的值為______.【答案】【解析】【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡所求式子，根據(jù)正余弦齊次式的求法可直接求得結(jié)果.【詳解】.故答案為：.15.已知O為坐標(biāo)原點，，，若與的夾角為120°，則實數(shù)______．【答案】【解析】【分析】求出，，，，，，再由與的夾角為，能求出的值．【詳解】，，，，，，，，，，，，，，，與的夾角為，，解得．故答案為：16.如圖，在正方體中，和相交于點O，若，則 ________．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合已知條件將用表示出來即可求出的值，從而可求得答案.【詳解】因為在正方體中，和相交于點O，所以,因為，所以，所以，故答案為：四、解答題17.已知函數(shù).（1）求的值；（2）若，求的最大值和最小值.【答案】（1） （2）最大值為，最小值為【解析】【分析】（1）將代入直接計算即可，（2）化簡變形函數(shù)得，然后由，得，再利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可求出其最值.【小問1詳解】=.【小問2詳解】.因為，所以，所以，所以所以的最大值為，最小值為.18.統(tǒng)計某班級名學(xué)生數(shù)學(xué)期末考試成績（單位：分）的頻率頻率分布直方圖如圖所示：（1）分別求出成績落在與中的學(xué)生人數(shù)；（2）從成績在和的學(xué)生中按照分層抽樣的方法抽取 人參加全校數(shù)學(xué)文化知識競賽，如果有人獲獎，求這人的成績都在中的概率.【答案】（1）成績落在中學(xué)生人數(shù)為，成績落在中學(xué)生人數(shù)為；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中所有矩形面積之和為求出實數(shù)的值，并計算出成績落在與中的學(xué)生所占的頻率，乘以可得結(jié)果；（2）列出所有的基本事件，并確定事件“所抽的人的成績都在中”所包含的基本事件數(shù)，利用古典概型的概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】（1）據(jù)直方圖知組距為，由，解得，成績落在中學(xué)生人數(shù)為，成績落在中學(xué)生人數(shù)為；（2）從成績在和的學(xué)生中按照分層抽樣的方法抽取人，成績落在有人，成績落在有人，記成績落在中的人為、，成績落在中的人為、、、，則從人選人的基本事件共有個：、、、、、、、、、、、、、、.其中人的成績都在中的基本事件有6個.故所求概率為.【點睛】方法點睛：求解古典概型概率的方法如下：（1）列舉法；（2）列表法；（3）數(shù)狀圖法；（4）排列組合數(shù)的應(yīng)用.19.已知銳角內(nèi)角，，的對邊分別為，，．若．（1）求； （2）若，求的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用正弦定理進(jìn)行邊角互換，再結(jié)合三角形內(nèi)角和、誘導(dǎo)公式和二倍角公式得到，即可得到；（2）利用正弦定理、三角形內(nèi)角和和和差公式將轉(zhuǎn)化成，再結(jié)合的范圍求的范圍即可.【小問1詳解】，又為銳角，所以，，因為為銳角，所以，.【小問2詳解】因為，所以，，因為三角形為銳角三角形，所以，解得，令，所以，，所以.20.過點 作直線與兩坐標(biāo)軸的正半軸相交，當(dāng)直線在兩坐標(biāo)軸上的截距之和最小時，求此直線方程．【答案】【解析】【分析】由題意設(shè)直線的方程為，則可得，所以，化簡后利用基本不等式可求出其最小值，從而可求出的值，進(jìn)而可求出直線方程.【詳解】解：設(shè)直線的方程為．把點代入可得．，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，的最小值為9，此時直線的方程為．21.如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.（1）證明：；（2）若是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)證明見解析；(2).【解析】【分析】(1)由題意首先證得線面垂直，然后利用線面垂直的定義證明線線垂直即可；(2)方法二：利用幾何關(guān)系找到二面角的平面角，然后結(jié)合相關(guān)的幾何特征計算三棱錐的體積即可. 【詳解】（1）因為，O是中點，所以，因為平面，平面平面，且平面平面，所以平面．因為平面，所以.（2）[方法一]：通性通法—坐標(biāo)法如圖所示，以O(shè)為坐標(biāo)原點，為軸，為y軸，垂直且過O的直線為x軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè),所以，設(shè)為平面的法向量，則由可求得平面的一個法向量為．又平面的一個法向量為，所以，解得．又點C到平面的距離為，所以，所以三棱錐的體積為．[方法二]【最優(yōu)解】：作出二面角的平面角如圖所示，作，垂足為點G．作，垂足為點F，連結(jié)，則． 因為平面，所以平面，為二面角的平面角．因，所以．由已知得，故．又，所以．因為，．[方法三]：三面角公式考慮三面角，記為，為，，記二面角為．據(jù)題意，得．對使用三面角的余弦公式，可得，化簡可得．①使用三面角的正弦公式，可得，化簡可得．②將①②兩式平方后相加，可得，由此得，從而可得．如圖可知，即有， 根據(jù)三角形相似知，點G為的三等分點，即可得，結(jié)合的正切值，可得從而可得三棱錐的體積為．【整體點評】(2)方法一：建立空間直角坐標(biāo)系是解析幾何中常用方法，是此類題的通性通法，其好處在于將幾何問題代數(shù)化，適合于復(fù)雜圖形的處理；方法二：找到二面角的平面角是立體幾何的基本功，在找出二面角的同時可以對幾何體的幾何特征有更加深刻的認(rèn)識，該法為本題的最優(yōu)解.方法三：三面角公式是一個優(yōu)美的公式，在很多題目的解析中靈活使用三面角公式可以使得問題更加簡單、直觀、迅速.22.如圖，在三棱錐中，，，為正三角形，為的中點，，.（1）求證：平面；（2）求與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）與平面所成角的正弦值為.【解析】【分析】（1）、取的中點，連接，證明結(jié)合，先證明平面，得到，再證明，然后證明平面；（2）、以為坐標(biāo)原點建立空間直角坐標(biāo)系，計算平面的法向量及，利用向量法求線面角.【詳解】（1）證明：作的中點，連接，因為是正三角形，所以，又平面，所以平面，又平面，所以，因為∥，所以，又平面，所以平面； （2）以為坐標(biāo)原點,所在直線分別為為軸非負(fù)半軸，建立空間直角坐標(biāo)系如圖示，則，所以，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，