湖北省荊州中學2023-2024學年高三上學期10月半月考數學Word版含解析.docx

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荊州中學2024屆高三十月半月考數學試卷一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求．）1．已知復數（為虛數單位），則（）A．B．C．D．2．設為兩條直線，為兩個平面，下列四個命題中，正確的命題是（）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則3．函數的一條對稱軸為（）A．B．C．D．4．等比數列的各項均為實數，其前項和為，已知，則（）A．4B．16C．32D．645．由1，2，3，4，5，6組成沒有重復數字的六位數，其中奇數不相鄰，且2不在第二位，則這樣的六位數個數為（）A．120種B．108種C．96種D．72種6．已知，設，則（）A．B．C．D．7．若曲線與曲線有公切線，則實數的取值范圍是（）A．B．C．D．8．已知為坐標原點，是橢圓上位于上方的點，為右焦點．延長交橢圓于兩點，，則橢圓的離心率為（）A．B．C．D．二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分．） 9．設隨機變量，則下列說法正確的是（）A．服從正態(tài)分布B．C．D．當且僅當時，取最大值10．如圖所示，該曲線是由4個圓：的一部分所構成，則下列敘述正確的是（）A．曲線圍成的封閉圖形面積為B．若圓與曲線有8個交點，則C．與的公切線方程為D．曲線上的點到直線的距離的最小值為411．如圖，正方體棱長為1，是上的一個動點，下列結論中正確的是（）A．的最小值為B．當在上運動時，都有C．當在直線上運動時，三棱錐的體積不變D．的最小值為12．已知雙曲線的一條漸近線方程為，圓上任意一點 處的切線交雙曲線于兩點，則（）A．B．滿足的直線僅有2條C．滿足的直線僅有4條D．為定值2三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13．設為兩個不共線向量，若向量與共線，則實數__________．14．以模型去擬合一組數據時，為了求出回歸方程，設，其變換后得到線性回歸方程，則__________．15．設，函數若函數恰有3個零點，則實數的取值范圍為__________．16．設函數的定義域為，對于任意的，當，有，若，則不等式的解集為__________．四、解答題（本小題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）17．（10分）已知函數．（1）求的值；（2）在中，若，求的最大值．18．（12分）如圖，三棱柱的所有棱長都是2，平面分別是的中點．（1）求證：平面⊥平面；（2）求和平面所成角的正弦值．19．（12分）如圖的形狀出現在南宋數學家楊輝所著的《詳解九章算法·商功》中，后人稱為“三角垛”．“ 三角垛的最上層有1個球，第二層有3個球，第三層有6個球……設各層球數構成一個數列．（1）寫出與的遞推關系，并求數列的通項公式；（2）記數列的前項和為，且，在與之間插入個數，若這個數恰能組成一個公差為的等差數列，求數列的前項和．20．（12分）已知函數．（1）若，求的極值；（2）若對任意恒成立，求整數的最小值．21．（12分）某中學舉辦了詩詞大會選拔賽，共有兩輪比賽，第一輪是詩詞接龍，第二輪是飛花令．第一輪給每位選手提供5個詩詞接龍的題目，選手從中抽取2個題目，主持人說出詩詞的上句，若選手在10秒內正確回答出下句可得10分，若不能在10秒內正確回答出下句得0分．（1）已知某位選手會5個詩詞接龍題目中的3個，求該選手在第一輪得分的數學期望；（2）已知恰有甲、乙、丙、丁四個團隊參加飛花令環(huán)節(jié)的比賽，每一次由四個團隊中的一個回答問題，無論答題對錯，該團隊回答后由其他團隊搶答下一問題，且其他團隊有相同的機會搶答下一問題．記第次回答的是甲的概率為，若．①求；②正明：數列為等比數列，并比較第7次回答的是甲和第8次回答的是甲的可能性的大?。?2．（12分）已知拋物線，過點作斜率互為相反數的直線，分別交拋物線于及兩點．（1）若，求直線的方程；（2）求證：． 荊州中學2024屆高三數學十月半月考參考答案1-4．CDAD5-8．BCAB9．BC10．ACD11．ABC12．AD13．2.514．15．16．17．（1）1（2）【詳解】（1），5分（2）由題意可知，，而可得：，即，，，的最大值為10分18．（1）證明見解析（2）【詳解】（1）取的中點，連接，則，又因為平面，所以平面，則兩兩垂直，2分 如圖，以為原點，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則，可得，設分別為平面和平面的法向量，由，令，則，可得是平面的一個法向量，4分由，令，則，可得是平面的一個法向量，6分因為，即，所以平面平面．7分（2）由（1）可得：是平面的一個法向量，設和平面所成角為，則，所以和平面所成角的正弦值為．12分19．（1）（2）【詳解】（1）由題意可知，， ，所以數列的一個遞推關系為，2分所以當時，利用累加法可得，將代入得，符合，5分所以數列的通項公式為．6分（2）當時，，即，當時，，①，②，得，即，8分所以數列是以3為首項，3為公比等比數列，所以，由題意可知，所以，所以，9分所以，③，④得，11分所以，所以數列的前項和．12分 20．（1）極大值為，無極小值（2）1【詳解】（1）當時，，．　當時，，則在上單調遞增；當時，，則在上單調遞減．所以在時取得極大值且極大值為，無極小值；5分（2）因為對任意恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，設，則．設，顯然在上單調遞減，因為，所以，使得，即，8分當時，；當時，，所以在上單調遞增，在上單調遞減，所以，10分因為，所以， 故整數的最小值為1．12分21．（1）設該選手答對的題目個數為，該選手在第一輪的得分為，則，易知的所有可能取值為0，1，2，則，故的分布列為012則，所以．4分（2）①由題意可知，第一次是甲回答，第二次甲不回答，，則．②由第次回答的是甲的概率為，得當時，第次回答的是甲的概率為，第次回答的不是甲的概率為，則．即，又是以為首項，為公比的等比數列，則，∴第7次回答的是甲的可能性比第8次回答的是甲的可能性大．12分22．（1）（2）證明見解析【詳解】（1）設，．又，即，又或，當時，；當時，，此時直線的斜率不存在，舍去，，∴直線的方程為：．4分（2）設直線，則直線， 設，由，即，則，所以，又，，同理可證：，，