四川省瀘縣第一中學2023-2024學年高三上學期10月月考數(shù)學（文） Word版含解析.docx

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瀘縣一中高2021級高三10月考試數(shù)學（文史類）試卷本試卷共4頁，23小題，滿分150分.考試用時120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)一元二次不等式的求解方法，結合集合的交集，可得答案.【詳解】由不等式，分解因式可得，解得，則，所以.故選：A.2.下列函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【詳解】對于A，在上是增函數(shù)，對于B，在上是增函數(shù)，對于C，在上是減函數(shù)，對于D，是減函數(shù)，所以選A.3.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】 【分析】先求定義域即.令是二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)圖像即可求得其單調(diào)區(qū)間,根據(jù)復合函數(shù)同增異減,即可求得單調(diào)遞增區(qū)間.【詳解】，即，得，定義域為，又單調(diào)遞增區(qū)間為，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間故選：C.【點睛】對于復合函數(shù)單調(diào)性的判斷要掌握同增異減,對函數(shù)的內(nèi)層和外層分別判斷,即可得出單調(diào)性.求單調(diào)區(qū)間時,要先求函數(shù)定義域,單調(diào)區(qū)間是定義域的子集.4.已知m，n為兩條不重合直線，α，β為兩個不重合平面，下列條件中，一定能推出的是（　　）A.B.CD.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)垂直于同一直線的兩平面平行可知正確.【詳解】當時，若，可得又，可知本題正確選項：【點睛】本題考查面面平行的判定，屬于基礎題.5.展開式中，只有第4項的二項式系數(shù)最大，則n的值為（）A.8B.7C.6D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)知中間一項第4項二項式系數(shù)最大即可得解【詳解】因為只有一項二項式系數(shù)最大，所以n為偶數(shù)，故，得. 故選：C6.函數(shù)的定義域是，且滿足，當時，，則圖象大致是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性可排除B,C選項，當時，可知，排除D選項，即可求解.【詳解】因為函數(shù)的定義域是，且滿足，所以是奇函數(shù)，故函數(shù)圖象關于原點成中心對稱，排除選項B,C，又當時，，可知，故排除選項D,故選：A【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，函數(shù)圖象，屬于中檔題.7.已知簡單組合體的三視圖如圖所示，則此簡單組合體的體積為 A.B.C.D.【答案】C【解析】【詳解】由題設中所提供的三視圖可知該幾何體是一個底面半徑為2，高為4的圓錐內(nèi)去掉一個底面邊長為，高為2的四棱柱的組合體，其體積，應選答案C．8.已知，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角恒等變換可得，然后利用同角關系式結合條件即得.【詳解】因為，將，代入化簡，可得，解得（舍去）或，又因為，所以，．故選：B.9.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)：某昆蟲釋放信息素t秒后，在距釋放處x米的地方測得信息素濃度y滿足函數(shù)（A，K為非零常數(shù)）．已知釋放1秒后，在距釋放處2米的地方測得信息素濃度為a，則釋放信息素4秒后，信息素濃度為的位置距釋放處的距離為（）米．A.B.2C.D.4【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知數(shù)據(jù)可得，再根據(jù)即可求出值.【詳解】由題知：當，時，， 代入得：，當，時，，即，而，解得：或（舍）故選：D.10.已知函數(shù)有兩個不同的零點，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】分離參數(shù)，求函數(shù)的導數(shù)，根據(jù)函數(shù)有兩個零點可知函數(shù)的單調(diào)性，即可求解.【詳解】由題意得有兩個零點令,則且所以，在上為增函數(shù)，可得，當，在上單調(diào)遞減，可得，即要有兩個零點，實數(shù)的取值范圍是.故選：A【點睛】方法點睛：已知函數(shù)有零點求參數(shù)取值范圍常用的方法和思路(1)直接法：直接根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式，再通過解不等式確定參數(shù)范圍； (2)分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉化成求函數(shù)值域問題加以解決；(3)數(shù)形結合法：先對解析式變形，在同一平面直角坐標系中，畫出函數(shù)的圖象，然后數(shù)形結合求解．11.過點可作三條直線與曲線相切，則實數(shù)a的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】求導得到導函數(shù)，設切點為，得到切線方程，代入點坐標得到，設，計算函數(shù)的極值，得到答案.【詳解】，，設切點為，則切線方程為，切線過點，，整理得到，方程有三個不等根.令，則，令，則或，當或時，，函數(shù)單調(diào)遞增；當時，，函數(shù)單調(diào)遞減，極大值，極小值，函數(shù)與有三個交點，則，的取值范圍為.故選：D12.已知函數(shù),若,則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】因為函數(shù),判斷的奇偶性和單調(diào)性,即可求解 ,進而求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】則定義是.又可得:是奇函數(shù).則是單調(diào)增函數(shù).故:,化簡可得:,即根據(jù)是單調(diào)減函數(shù),得:,故選:D. 【點睛】本小題主要考查函數(shù)的單調(diào)性,考查函數(shù)的奇偶性,解題關鍵是掌握利用單調(diào)性和奇偶性解函數(shù)不等式,屬于基礎題.第II卷非選擇題二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13.若復數(shù)（i為虛數(shù)單位），則z的實部為________．【答案】1【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)除法運算法則，結合復數(shù)實部的定義進行求解即可.【詳解】因為，所以的實部為1．故答案為：1．【點睛】本題考查了復數(shù)除法運算法則，考查了復數(shù)的實部概念，考查了數(shù)學運算能力，是基礎題．14.已知函數(shù)，則__________．【答案】##1.5【解析】【分析】先計算，再計算的值.【詳解】由題可得：=，所以.故答案為：.15.已知向量，的夾角為，，則向量在方向上的投影為__．【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結合平面向量的投影公式，即可求解．【詳解】向量，夾角為，， ，，，故向量在方向上的投影為．故答案為：．16.長方形中，,將沿折起，使二面角大小為，則四面體的外接球的表面積為________【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意知，矩形的對角線即為三棱錐外接球的直徑，由此求出外接球的表面積．【詳解】如圖所示：設矩形ABCD的對角線AC、BD交于點O，則OA=OB=OC=OD=，∴三棱錐B-ACD的外接球的半徑為R=，其表面積為S=4πR2=4π?=.故答案為.【點睛】本題考查了三棱錐外接球的表面積計算問題，是中檔題,分析各面特點及各邊長特點找出球心所在位置是關鍵.三、解答題：共70分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答.第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答. （一）必考題：共60分.17.已知，，．（1）若，求x的值；（2）求的最大值及取得最大值時相應的x的值．【答案】（1）；（2）的最大值為1，此時．【解析】【分析】（1）由平面向量的數(shù)量積為0可得，再由x的范圍求得x值；（2），結合x的范圍及正弦函數(shù)的最值求解．【小問1詳解】，，若，則，∴，即，∵，∴，可得，即；【小問2詳解】，∵，∴，可得當，即時，取最大值為1．18.在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．（1）證明：（2）若，，求△ABC的面積．【答案】（1）證明見解析（2） 【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理邊化角結合三角恒等變換化簡得，可證明；（2）結合（1）得．，利用正弦定理及面積公式計算即可.【小問1詳解】證明：因為，所以，所以．所以，即．因為在△ABC中，所以，即，故．即．【小問2詳解】解：由（1）可知．因為，所以．則．．由正弦定理可知．則．．故△ABC的面積．19.已知函數(shù).（1）若在處取得極值，求的極值；（2）若在上的最小值為，求的取值范圍.【答案】（1）極大值為，極小值為（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)極值點可得，進而可得，利用導數(shù)即可求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而可求解極值，（2）根據(jù)導數(shù)確定函數(shù)單調(diào)性，結合分類討論即可求解.【小問1詳解】 ，，.因為在處取得極值，所以，則.所以，，令得或1，列表得1+0-0+↗極大值↘極小值↗所以的極大值為，極小值為.【小問2詳解】.①當時，，所以在上單調(diào)遞增，的最小值為，滿足題意；②當時，令，則或，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，此時，的最小值為，不滿足題意；③當時，在上單調(diào)遞減，的最小值為，不滿足題意.綜上可知，實數(shù)的取值范圍時.20.如圖，四棱錐P-ABCD的底面ABCD為平行四邊形，E，F(xiàn)分別為CD，PB的中點．（1）求證：EF∥平面PAD． （2）在線段PC上是否存在一點Q使得A，E，Q，F(xiàn)四點共面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在點符合題意，且此時【解析】【分析】（1）取的中點，連接，可證得四邊形為平行四邊形，可得∥，再由線面平行的判定理可證得結論；（2）取的中點，連接交于，在上取點，使，連接，則四點共面，然后證明即可.【小問1詳解】證明：取的中點，連接，因為分別為的中點，所以∥，，因為四邊形為平行四邊形，所以∥，，因為為的中點，所以，所以∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，因為平面，平面，所以∥平面，【小問2詳解】存在點符合題意，且此時，取的中點，連接交于，在上取點，使，連接，則四點共面，證明如下： 因為在平行四邊形中，分別為的中點，所以∥，，所以四邊形為平行四邊形，所以∥，因為為中點，所以點為的重心，且，因，所以∥，因為∥，所以∥，所以和確定一個平面，因為在直線上，所以，所以四點共面，所以在線段PC上存在一點Q使得A，E，Q，F(xiàn)四點共面.21.已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若函數(shù)有三個零點，證明：當時，．【答案】（1）見解析（2）見解析【解析】【分析】（1）先求導，再對分類討論得到的單調(diào)性.(2)先轉化函數(shù)有三個零點得到，再利用分析法和導數(shù)證明.【小問1詳解】 令,則或,當時,,在上是增函數(shù)；當時,令,得,,所以在,上是增函數(shù)；令,得,所以在上是減函數(shù)當時,令,得,,所以在,上是增函數(shù)；令,得,所以在上是減函數(shù)綜上所述：當時,在上是增函數(shù)；當時,在,上是增函數(shù),在上是減函數(shù).當時,在,上是增函數(shù),在上是減函數(shù).【小問2詳解】由(1)可知：當時,在上是增函數(shù)，函數(shù)不可能有三個零點；當時,在,上是增函數(shù),在上是減函數(shù).的極小值為，函數(shù)不可能有三個零點當時,,要滿足有三個零點,則需,即當時,要證明：等價于要證明即要證：由于，故等價于證明：,證明如下： 構造函數(shù)令,函數(shù)在單調(diào)遞增,函數(shù)在單調(diào)遞增,∴．（二）選考題：共10分.請考生在第22、23題中任選一題作答.如果多做，則按所做的第一題計分.[選修4-4：坐標系與參數(shù)方程]22.在直角坐標系中，點，曲線C的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，已知直線l的極坐標方程為．（1）寫出曲線C的普通方程和直線l的直角坐標方程；（2）設點M為C上的動點，點P滿足，寫出P的軌跡的參數(shù)方程，并判斷l(xiāng)與是否有公共點．【答案】（1），：（2），（為參數(shù)），直線l與圓沒有公共點?！窘馕觥俊痉治觥浚?）根據(jù)消參法可得曲線C的普通方程，利用極坐標與直角坐標之間的轉化公式可得直線的直角坐標方程.（2）設，設，根據(jù)，即可求得P的軌跡的參數(shù)方程，表示圓，計算圓心到直線的距離，即可判斷斷l(xiāng)與是否有公共點．【小問1詳解】 因為曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，所以，即曲線C的普通方程為：，因為，由，可得l的方程為：.【小問2詳解】設，設，因為，所以，則，（為參數(shù)），故P的軌跡的參數(shù)方程為，（為參數(shù)），所以曲線為以為圓心，半徑為4的圓，而圓心到直線l的距離為，因為，所以直線l與圓相離，故直線l與圓沒有公共點.[選修4-5：不等式選講]23.已知、為非負實數(shù)，函數(shù)．（1）當，時，解不等式；（2）若函數(shù)的最小值為，求的最大值．【答案】（1）（2） 【解析】【分析】（1）當，時，可得出，分、、三種情況解不等式，綜合可得出原不等式的解集；（2）利用絕對值三角不等式可得出，再利用柯西不等式可求得的最大值.【小問1詳解】解：當，時，．當時，，解得，此時；當時，，此時原不等式無解；當時，，解得，此時．綜上，不等式的解集為.【小問2詳解】解：由，因為，，當且僅當時，等號成立，．所以，，即，所以，，當且僅當時，即當，時，等號成立，綜上，的最大值為．