廣東省深圳中學(xué)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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深圳中學(xué)2022-2023學(xué)年度高一第一學(xué)期期中考試試題數(shù)學(xué)試卷考試時長：120分鐘卷面總分：150分注意事項：答案寫在等題卡指定的位置上.寫在試題卷上無效.選擇題作答必須用2B鉛筆.一、單選題（每小題5分，共40分.每個小題僅有一個答案是正確的）1.設(shè)全集U＝R，集合，，則集合（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先求出，由交集的定義即可得出答案.【詳解】因，所以或，所以.故選：C.2.已知函數(shù)．則的值為（）A.6B.5C.4D.3【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，令可得的值，將的值代入，即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意，函數(shù)，若，解可得，將代入，可得，故選：．3.“”是“冪函數(shù)在上是減函數(shù)”的一個（）條件A.充分不必要B.必要不充分C.充要D.既不充分也不必要【答案】A【解析】 【分析】由冪函數(shù)在上是減函數(shù)，可得，由充分、必要條件的定義分析即得解【詳解】由題意，當時，在上是減函數(shù)，故充分性成立；若冪函數(shù)在上是減函數(shù)，則，解得或故必要性不成立因此“”是“冪函數(shù)在上是減函數(shù)”的一個充分不必要條件故選：A4.已知，，且，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由已知等式可得，根據(jù)，利用基本不等式可求得結(jié)果.【詳解】由，，得：，（當且僅當，即，時取等號），的最小值為.故選：C.5.已知（且，且），則函數(shù)與圖像可能是（） AB.C.D.【答案】B【解析】【分析】由對數(shù)的運算性質(zhì)可得ab＝1，討論a，b的范圍，結(jié)合指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的圖像的單調(diào)性，即可得到答案．【詳解】，即為，即有ab＝1；當a＞1時，0＜b＜1，函數(shù)與均為減函數(shù)，四個圖像均不滿足，當0＜a＜1時，b＞1，函數(shù)數(shù)與均為增函數(shù)，排除ACD，在同一坐標系中的圖像只能是B，故選：B．6.已知函數(shù)，滿足對任意x1≠x2，都有0成立，則a的取值范圍是（　　）A.a∈(0,1)B.a∈[,1)C.a∈(0,]D.a∈[,2)【答案】C【解析】 【分析】根據(jù)條件知在R上單調(diào)遞減，從而得出，求a的范圍即可．【詳解】∵滿足對任意x1≠x2，都有0成立，∴在R上是減函數(shù)，∴，解得，∴a的取值范圍是．故選：C．7.設(shè)是定義域為R的奇函數(shù)，且.若，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由題意利用函數(shù)的奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系即可求得的值.【詳解】由題意可得：，而，故.故選：C.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查了函數(shù)奇偶性和函數(shù)的遞推關(guān)系式，靈活利用所給的條件進行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵.8.我國某科研機構(gòu)新研制了一種治療新冠肺炎的注射性新藥，并已進入二期臨床試驗階段．已知這種新藥在注射停止后的血藥含量c（t）（單位：mg/L）隨著時間t（單位：h）的變化用指數(shù)模型描述，假定某藥物的消除速率常數(shù)（單位：），剛注射這種新藥后的初始血藥含量 ，且這種新藥在病人體內(nèi)的血藥含量不低于1000mg/L時才會對新冠肺炎起療效，現(xiàn)給某新冠病人注射了這種新藥，則該新藥對病人有療效的時長大約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.5.32hB.6.23hC.6.93hD.7.52h【答案】C【解析】【分析】利用已知條件，該藥在機體內(nèi)的血藥濃度變?yōu)?000mg/L時需要的時間為，轉(zhuǎn)化求解即可.【詳解】解：由題意得：設(shè)該要在機體內(nèi)的血藥濃度變?yōu)?000mg/L需要的時間為故，故該新藥對病人有療效的時長大約為故選：C二、多選題（每小題5分，共20分，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.下列說法正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，則D.函數(shù)的最小值是2【答案】BC【解析】【分析】對于A選項，取特殊值即可判斷正誤；對于B、C選項，根據(jù)不等式的運算性質(zhì)即可判斷正誤；對于D選項，將函數(shù)化簡為，，然后根據(jù)對勾函數(shù)的單調(diào)性即可判斷正誤 【詳解】對于A選項，取，，，則，故錯誤；對于B選項，，，，，故B正確；對于C選項，，，，，故C正確；對于D選項，函數(shù)，令，由函數(shù)在上單調(diào)遞增，，故D錯誤.故選：BC10.下列說法正確的是（）A.命題“，”的否定是“，”B.函數(shù)（且）的圖象恒過定點C.為奇函數(shù)D.函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定可判斷A，利用對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可判斷B，根據(jù)奇函數(shù)的定義可判斷C，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可判斷D.【詳解】因為命題“，”的否定是“，”，故A錯誤；因為，令，可得，即函數(shù)圖象恒過定點，故B正確；因為，可知定義域為關(guān)于原點對稱，又，故函數(shù)為奇函數(shù)，故C正確；因為，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為，，故D正確.故選：BCD. 11.關(guān)于函數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（）A.當時，是增函數(shù)B.當時，的值域為C.當時，是奇函數(shù)D.若的定義域為，則【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可判斷A，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)可得函數(shù)的值域可判斷B，根據(jù)奇函數(shù)的定義可判斷C，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)及基本不等式可判斷D.【詳解】當時，，由函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增，故A正確；因為，，所以，故B錯誤；當時，定義域為R，而，所以是奇函數(shù)，故C正確；若的定義域為，則恒成立，即，因為，當且僅當，即時取等號，所以，故D正確.故選：ACD.12.已知函數(shù)，若非空集合，，，則下列說法中正確的是（）A.為常數(shù)B.的取值與有關(guān)C.D.【答案】AC 【解析】【分析】不妨設(shè)的解集為，可得，由，解得或，又，為方程的兩個根，可得，進而求出的取值范圍．【詳解】不妨設(shè)的解集為，則有，∴，由，得且，由(1)得，故A正確，B錯誤；∴，∵，D，解得或，又，為方程的兩個根，∴，∴，解得，∴，故C正確，D錯誤.故選：AC.三、填空題（共4小題，每小題5分，共20分）13.若，且，則實數(shù)的值為______.【答案】18【解析】【分析】由指對數(shù)互化可得，，代入題設(shè)等式，結(jié)合換底公式及對數(shù)運算性質(zhì)即可求k的值.【詳解】由題設(shè)，，，所以，則.故答案為：18.14.已知函數(shù)為上奇函數(shù)，當時，，則時，__________. 【答案】【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義即得.【詳解】當時，，則，因為函數(shù)為奇函數(shù)，所以，即.所以當時，.故答案為：.15.方程的一根大于1，一根小于1，則實數(shù)的取值范圍是__________.【答案】【解析】【分析】利用一元二次方程的根的分布與系數(shù)的關(guān)系，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即得．【詳解】∵方程的一根大于1，另一根小于1，令，則，解得.故答案為：.16.不等式的解集為__________.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)對數(shù)函數(shù)確定取值范圍，在判斷和的單調(diào)性以及特殊點點大小，最后根據(jù)雙方單調(diào)性以及臨界值得到解集.【詳解】根據(jù)對數(shù)函數(shù)性質(zhì)可知令 根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性可知在單調(diào)遞減，所以在單調(diào)遞減且，當時，時令，當時，時因此當時，故答案為:四、解答題（共6小題，共70分，其中17題10分，其余題目都是12分）17.已知集合，．（1）若，求實數(shù)的取值范圍；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出，根據(jù)題意列出不等式組，求解即可；（2）由得，分，兩種情況討論可求得的取值范圍．【小問1詳解】由集合，所以，又，，所以，解得；所以實數(shù)的取值范圍是．【小問2詳解】若，則，當時，，解得；當時，有，要使，則，解得， 綜上，實數(shù)的取值范圍是．18.已知函數(shù).（1）畫出的圖象；（2）求的解集.【答案】（1）圖象見解析；（2）或.【解析】【分析】（1）利用零點分段法，得到分段函數(shù)，再畫出函數(shù)的圖象；（2）根據(jù)分段函數(shù)，分段解不等式即得.【小問1詳解】當時，；當時，；當時，；故，函數(shù)圖象如圖所示： ；【小問2詳解】由題得，當時，，解得，則；當時，，解得，則；當時，，解得，則；綜上，的解集為或.19.設(shè)且，函數(shù)的圖象過點.（1）求的值及的定義域；（2）求在上的單調(diào)區(qū)間和最大值.【答案】（1），（2）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；最大值為2【解析】【分析】（1）根據(jù)對數(shù)函數(shù)得性質(zhì)和計算規(guī)則計算即可；（2）復(fù)合函數(shù)單調(diào)性根據(jù)內(nèi)外函數(shù)同增異減，先判斷內(nèi)函數(shù)單調(diào)性，再判斷外函數(shù)單調(diào)性即可.【小問1詳解】∵函數(shù)的圖象過點，∴，∴，即，又且，∴，要使有意義， 則，∴的定義域為；【小問2詳解】，令∵，∴的最大值為4，此時，且在單調(diào)遞增，單調(diào)遞減∴在上的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為，最大值為2.20.已知函數(shù)為奇函數(shù).（1）求實數(shù)的值；（2）判斷在上的單調(diào)性（不必證明）；（3）解關(guān)于的不等式.【答案】（1）（2）單調(diào)遞增（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)求出，再由奇函數(shù)的定義驗證即得；（2）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即得；（3）根據(jù)函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性可得，解不等式即得.【小問1詳解】因為定義在上的奇函數(shù)，可得，都有，令，可得，解得，所以，此時滿足， 所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以；【小問2詳解】在上單調(diào)遞增；理由如下：因為，函數(shù)單調(diào)遞增，函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增；【小問3詳解】因為為奇函數(shù)，可得，又在上單調(diào)遞增，所以，解得，所以原不等式的解集為.21.（1）若，求關(guān)于的不等式的解集；（2）若對任意，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）分，，討論，利用二次不等式解法即得；（2）法一，利用參變分離可得對任意恒成立，然后利用對勾函數(shù)的性質(zhì)及反比例函數(shù)的性質(zhì)可得的最值即得；法二，利用二次函數(shù)的性質(zhì)分類討論即得.【詳解】（1）令，當時，，所以的解集為；當時，，所以的解集為； 當時，，所以的解集為；綜上，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為，當時，不等式的解集為；（2）法一：當時，，成立；當時，由題可得對任意恒成立，令，則有，，，令，，根據(jù)對勾函數(shù)的性質(zhì)可得，所以，所以當時，，故實數(shù)的取值范圍為；法二：令，①當時，，對任意，恒成立；②當時，函數(shù)圖象開口向上，若對任意，恒成立，只需，解得，故當時，對任意，恒成立； ③當時，對任意，，，恒成立；綜上可知，實數(shù)的取值范圍為.22.已知函數(shù)滿足如下條件：①對任意，；②；③對任意，，總有.（1）寫出一個符合上述條件的函數(shù)（寫出即可，無需證明）；（2）證明：滿足題干條件的函數(shù)在上單調(diào)遞增；（3）①證明：對任意的，，其中；②證明：對任意的，都有.【答案】（1）（答案不唯一）（2）證明見解析（3）①證明見解析；②證明見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)條件設(shè)計一個函數(shù)即可；（2）根據(jù)條件，運用函數(shù)單調(diào)性的定義推導(dǎo)即可；（3）運用遞推的方法先證明①，再根據(jù)①的結(jié)論，考慮的x的區(qū)間即可證明.【小問1詳解】，，等，即形如均可；【小問2詳解】任取，.因為，故且.故.故在上單調(diào)遞增.【小問3詳解】①由題意可知：對任意正數(shù)，都有，且， 在③中令，可得，即；故對任意正整數(shù)與正數(shù)，都有；②由①可知：對任意正整數(shù)與正數(shù)，都有，故對任意正整數(shù)與正數(shù)，都有，令，則；對任意，可得，并且，又因為，所以由（2）中已經(jīng)證明的單調(diào)性可知：，，所以.