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《重慶市字水中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
重慶市字水中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（每小題5分，共40分）1.直線的傾斜角為（）A.0°B.90°C.180°D.不存在【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線與坐標(biāo)軸垂直可得傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€與軸垂直，所以直線的傾斜角為90°.故選：B2.已知為原點(diǎn)，點(diǎn)，以為直徑的圓的方程為()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求圓的圓心和半徑，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解﹒【詳解】由題知圓心為，半徑，∴圓的方程為﹒故選：A﹒3.設(shè)點(diǎn)，直線過點(diǎn)，且與線段相交，則直線的斜率取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】
重慶市字水中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上期期中考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（每小題5分，共40分）1.直線的傾斜角為（）A.0°B.90°C.180°D.不存在【答案】B【解析】【分析】根據(jù)直線與坐標(biāo)軸垂直可得傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€與軸垂直，所以直線的傾斜角為90°.故選：B2.已知為原點(diǎn)，點(diǎn)，以為直徑的圓的方程為()A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】求圓的圓心和半徑，根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程即可求解﹒【詳解】由題知圓心為，半徑，∴圓的方程為﹒故選：A﹒3.設(shè)點(diǎn)，直線過點(diǎn)，且與線段相交，則直線的斜率取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】
【分析】利用直線斜率定義數(shù)形結(jié)合即可求得直線的斜率取值范圍.【詳解】直線過點(diǎn)，且與線段相交，則直線的斜率取值范圍是.故選：C4.在三棱錐P—ABC中，PA、PB、PC兩兩垂直，且PA=PB=PC，M、N分別為AC、AB的中點(diǎn)，則異面直線PN和BM所成角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，求出直線PN和BM的方向向量代入公式即可得出答案.【詳解】以點(diǎn)P為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，，方向?yàn)閤軸，y軸，z軸的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，令，則，，，，
則，，設(shè)異面直線PN和BM所成角為，則.故選：B.5.已知點(diǎn)在線段上，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】將問題化為求原點(diǎn)到線段上點(diǎn)距離的平方的范圍，進(jìn)而求目標(biāo)式的距離.【詳解】由的圖象如下，又是上圖線段上的一點(diǎn)，且為原點(diǎn)到該線段上點(diǎn)距離的平方，上述線段端點(diǎn)分別為，到原點(diǎn)距離的平方分別為，由圖知：原點(diǎn)到線段的距離，則，綜上，，故.故選：B6.已知點(diǎn)，點(diǎn)，點(diǎn)在圓上，則使得的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A.0B.1C.2D.3【答案】C【解析】【分析】利用求出點(diǎn)的軌跡方程為，再根據(jù)圓心距與兩圓的半徑的和的大小關(guān)系可得兩圓相交，從而可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)，點(diǎn)，且，所以點(diǎn)的軌跡是以為直徑的圓，圓心，半徑為，其方程為，所以兩圓的圓心距為，兩圓的半徑和為，因?yàn)?，所以兩圓相交，所以滿足條件的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為，故選：C7.蘇州有很多圓拱懸索拱橋（如寒山橋），經(jīng)測得某圓拱索橋（如圖）的跨度米，拱高米，在建造圓拱橋時(shí)每隔米需用一根支柱支撐，則與相距米的支柱的高度是（）米.（注意：≈）A.6.48B.5.48C.4.48D.3.48【答案】A【解析】【分析】以O(shè)為原點(diǎn),以AB所在直線為x軸,以O(shè)P所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)圓心坐標(biāo)為（0，a），利用待定系數(shù)法求出圓的方程，將x=-30代入即可求得.【詳解】以O(shè)為原點(diǎn),以AB所在直線為x軸,以O(shè)P所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)圓心坐標(biāo)為（0，a），則P(0,10),A(-50,0).可設(shè)圓拱所在圓的方程為,由題意可得：解得：.
所以所求圓的方程為.將x=-30代入圓方程,得:,因?yàn)閥>0,所以.故選：A.8.自點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)過軸反射，其反射光線所在直線正好與圓相切，則反射光線所在直線的所有斜率之和為（）AB.2C.D.4【答案】C【解析】【分析】求出圓心與半徑，點(diǎn)A關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)出直線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，即可求得結(jié)論.【詳解】圓可化為，圓心為，半徑為．點(diǎn)關(guān)于軸對稱的點(diǎn)為，所以設(shè)反射光線所在直線的方程為，即．由反射光線正好與圓相切，得，即，解得，于是．故選：C.二、多選題（每小題全選對得5分，有錯(cuò)誤選項(xiàng)得0分，部分選對得2分，滿分20分）9.已知直線的方程為，則（）A.直線在軸上的截距為2B.直線在軸上的截距為3C.直線的傾斜角為銳角D.過原點(diǎn)且與垂直的直線方程為【答案】BCD
【解析】【分析】根據(jù)直線方程，分別令即可判斷AB，由直線斜率可判斷C，求出原點(diǎn)且與垂直的直線方程即可判斷D.【詳解】在中，令，得，所以A不正確；令，得，所以B正確；因?yàn)橹本€l的斜率為，所以直線l的傾斜角為銳角，故C正確；因?yàn)榕cl垂直的直線方程可設(shè)為，又直線過原點(diǎn)，所以，故D正確.故選：BCD10.已知直線，則（）A.若，則的一個(gè)方向向量為B.若，則或C.若，則D.若不經(jīng)過第二象限，則【答案】ACD【解析】【分析】代入，根據(jù)方向向量定義即可判斷A，根據(jù)直線平行和垂直與斜率的關(guān)系即可判斷B,C，將化簡得，結(jié)合一次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷D.【詳解】對A，當(dāng)時(shí)，，斜率為，則其一個(gè)方向向量為，故A正確；對B，若，當(dāng)時(shí)，顯然不合題意，則，則直線的斜率，直線的斜率，則有，即，解得或，當(dāng)時(shí)，此時(shí)直線，顯然兩條直線重合，故B錯(cuò)誤；對C，若，當(dāng)時(shí)，顯然不合題意，則，則，即，解得，故C正確；對D，若不經(jīng)過第二象限，，化簡得，則，解得，故D正確；故選：ACD.11.下列說法正確的是（）A.直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2
B.點(diǎn)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為C.過兩點(diǎn)的直線方程為D.已知點(diǎn)，向量，過點(diǎn)作以向量為方向向量的直線為，則點(diǎn)到直線的距離為【答案】ABD【解析】【分析】由直線方程，求得在坐標(biāo)軸上的截距，利用面積公式，可判定A正確；根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線的對稱的求法，求得對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，可判定B正確；根據(jù)直線的兩點(diǎn)式方程的條件，可判定C錯(cuò)誤；根據(jù)題意，求得直線的方程，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，可判定D正確.【詳解】對于A中，令，可得，令，可得，則直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，所以A正確；對于B中，設(shè)關(guān)于直線對稱點(diǎn)坐標(biāo)為，則，解得，所以B正確；對于C中，直線的兩點(diǎn)式使用的前提是，所以C錯(cuò)誤；對于D中，以向量為方向向量的直線的斜率，則過點(diǎn)的直線的方程為，即，則點(diǎn)到直線的距離，所以D正確．故選：ABD．12.已知實(shí)數(shù)滿足曲線的方程，則下列選項(xiàng)正確的是（）A.的最大值是B.的最大值是
C.的最小值是D.過點(diǎn)作曲線的切線，則切線方程為【答案】BD【解析】【分析】由表示圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方，可判定A錯(cuò)誤；由表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的斜率，設(shè)，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式，列出不等式，可判定B正確；由表示圓上任意一點(diǎn)到直線的距離的倍，進(jìn)而可判定C錯(cuò)誤；根據(jù)點(diǎn)在圓上，結(jié)合圓的切線的性質(zhì)，可判定D正確.【詳解】由圓可化為，可得圓心，半徑為，對于A中，由表示圓上的點(diǎn)到定點(diǎn)的距離的平方，所以它最大值為，所以A錯(cuò)誤；對于B中，表示圓上的點(diǎn)與點(diǎn)的斜率，設(shè)，即，由圓心到直線的距離，解得，所以的最大值為，所以B正確；對于C中，由表示圓上任意一點(diǎn)到直線的距離的倍，圓心到直線的距離，所以其最小值為，所以C錯(cuò)誤；對于D中，因?yàn)辄c(diǎn)滿足圓的方程，即點(diǎn)在圓上，則點(diǎn)與圓心連線的斜率為，根據(jù)圓的性質(zhì)，可得過點(diǎn)作圓的切線的斜率為，所以切線方程為，即，所以D正確.故選：BD.三、填空題（每小題5分，共20分）
13.甲?乙?丙三人參加一次面試，他們通過面試的概率分別為，所有面試是否通過互不影響．那么三人中恰有兩人通過面試的概率是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)事件獨(dú)立性和互斥性直接計(jì)算求解即可.【詳解】三人中恰有兩人通過面試，可能情況為甲和乙通過、丙未通過；甲和丙通過、乙未通過；乙和丙通過、甲未通過.根據(jù)事件互斥性可知所求概率為.故答案為：14.平行直線與之間的距離為_________．【答案】##0.3【解析】【分析】根據(jù)平行線間的距離公式即可求得答案.【詳解】由題意得即則平行直線與之間的距離為，故答案為：15.如圖，的二面角的棱上有，兩點(diǎn)，直線，分別在這個(gè)二面角的兩個(gè)半平面內(nèi)，且都垂直于已知，，，則的長為__________【答案】【解析】【分析】由向量的線性表示，根據(jù)向量模長根式即可代入求解.
【詳解】解：由條件，知，,所以，所以,故答案為：16.若直線與圓分別交于M、N兩點(diǎn).則弦MN長的最小值為___________.【答案】4【解析】【分析】分析直線過定點(diǎn)，再由勾股定理即可求解.【詳解】由圓可得圓心，半徑3，直線，即，直線過定點(diǎn)P，又因?yàn)?，所以點(diǎn)在圓的內(nèi)部，當(dāng)圓心到直線MN距離最大時(shí)，弦長MN最小，此時(shí)，此時(shí)，故答案為：4.四、解答題（滿分70分，17題滿分10分，18~22題每題滿分12分）17.已知三角形的三個(gè)頂點(diǎn)，求：（1）AC邊所在直線的方程（2）BC邊上中線所在直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)直線方程的截距式方程列式，化簡即得AC邊所在直線的方程；（2）由線段的中點(diǎn)坐標(biāo)公式，算出BC中點(diǎn)D的坐標(biāo)，從而得到直線AD的斜率k，再由直線方程的點(diǎn)斜式列式，化簡即得BC邊上中線所在直線的方程．
【小問1詳解】，∴直線AC的截距式方程為，化簡得即AC邊所在直線的方程為：；【小問2詳解】∴BC中點(diǎn)為D（，），直線AD的斜率為k因此，直線AD的方程為y（x+5），化簡得，即為BC邊上中線所在直線的方程．18.已知圓過點(diǎn)，且圓心在直線上.（1）求圓的方程；（2）設(shè)點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)，記為線段的中點(diǎn)，求的軌跡方程；【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先求的垂直平分線方程為，與的交點(diǎn)即圓心，圓心到點(diǎn)的距離即為半徑，即可得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）由為線段的中點(diǎn)得到坐標(biāo)與坐標(biāo)的關(guān)系，代入圓方程可得軌跡方程.【小問1詳解】，的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，故線段的垂直平分線方程為，即，
聯(lián)立得，即圓的圓心為，半徑為，故圓的方程為【小問2詳解】設(shè)，，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)，所以，則，因點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，所以，則，即的軌跡方程為.19.讀書可以增長知識，開拓視野，修身怡情．某校為了解本校學(xué)生課外閱讀情況，按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全校學(xué)生中抽出一個(gè)容量為100的樣本，其中男生40名，女生60名．經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，分別得到40名男生一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的頻數(shù)分布表和60名女生一周課外閱讀時(shí)間（單位：小時(shí)）的頻率分布直方圖．男生一周閱讀時(shí)間頻數(shù)分布表小時(shí)頻數(shù)92263
（1）由以上頻率分布直方圖估計(jì)該校女生一周閱讀時(shí)間的第75百分位數(shù)；（2）從一周課外閱讀時(shí)間為的樣本學(xué)生中按比例分配抽取7人，再從這7人中任意抽取2人，求恰好抽到一男一女的概率．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)百分位數(shù)的定義，結(jié)合頻率分布直方圖可得答案；（2）由頻數(shù)分布表，頻率分布直方圖知，一周課外閱讀時(shí)間為的學(xué)生中男生有6人，女生有人，按照比例抽樣，利用古典概型可解.【小問1詳解】設(shè)女生一周閱讀時(shí)間的分位數(shù)為a，，解得；【小問2詳解】由頻數(shù)分布表，頻率分布直方圖知，一周課外閱讀時(shí)間為的學(xué)生中男生有6人，女生有（人），若從中按比例分別抽取7人，則男生有2人，記為，，女生有5人，記為，，，，，則樣本空間，共有21個(gè)樣本點(diǎn)．記事件A＝“恰好一男一女”，
則包含10個(gè)樣本點(diǎn)，故所求概率．20.如圖，已知在矩形中，為邊的中點(diǎn)，將沿直線折起到（平面）的位置，為線段的中點(diǎn).（1）求證：平面；（2）已知，當(dāng)平面平面時(shí)，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）延長與相交于點(diǎn),連接，根據(jù)中位線證明，得到證明.（2）證明，以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，計(jì)算平面的一個(gè)法向量為，根據(jù)夾角公式計(jì)算得到答案.【詳解】（1）延長與相交于點(diǎn),連接,∵為邊的中點(diǎn)，四邊形為矩形，∴,,∴為的中位線，∴為線段的中點(diǎn)，∵為線段的中點(diǎn)，∴∵平面，平面,∴平面.
（2）∵,為邊的中點(diǎn)，∴,即,取線段的中點(diǎn),連接,,則由平面幾何知識可得,,又∵四邊形為矩形，,為邊的中點(diǎn)，∴,,∵平面平面，平面平面,,∴平面，∵平面，∴,∴以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則,,,,,,,,設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，不妨取，則，，即，設(shè)直線與平面所成角為，則，∴直線與平面所成角的正弦值為.
【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行和線面夾角，意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.21.如圖，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，，，，，為棱的中點(diǎn).條件①：；條件②：平面平面.從條件①和條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，完成下列問題：（1）求證：；（2）若點(diǎn)在線段上，且點(diǎn)到平面的距離為，求線段的長.注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）選①：先用勾股定理證明，再由線線垂直證明線面垂直，繼而證明。選②：先由面面垂直證明線面垂直，繼而證明。（2）建立空間直角坐標(biāo)系，用向量方法即可求解.【小問1詳解】
選①：.證明：在平行四邊形中，，因?yàn)?，，所以在△中?所以，所以.又，，平面，平面，所以平面.因?yàn)槠矫妫?又因?yàn)?，所?選②：平面平面.證明：因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫?，平?所以平面，因?yàn)槠矫?，所?【小問2詳解】由（2）知，BA，BD，BP兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，為軸、軸、軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，，所以，，.
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則即令，則，.所以．因?yàn)辄c(diǎn)在線段上，設(shè)，所以，故點(diǎn)到平面的距離為，得.所以所以，所以.22.已知點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)P滿足，設(shè)P軌跡為C．（1）求C的軌跡方程；（2）若過點(diǎn)A的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，求取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，由題意列出等式，化為方程，即可得答案；（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立軌跡方程，可得根與系數(shù)關(guān)系式，利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式化簡，即可求得答案.【小問1詳解】設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為，由可得，
化簡得，即C的軌跡方程為；【小問2詳解】由題意知直線MN的斜率不存在時(shí)，不妨取，此時(shí)；直線MN的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，整理得，由于直線過內(nèi)一點(diǎn)，必有，設(shè)，則，則，由于，故，綜合以上可知.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查軌跡方程的求解以及直線和圓的位置關(guān)系中向量數(shù)量積的取值范圍，解答本題的關(guān)鍵是利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出，進(jìn)而結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系式化簡，即可求解答案.
