四川省瀘州市瀘縣瀘縣第五中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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瀘縣五中2023年秋期高二期中考試數(shù)學(xué)試題本試卷共4頁(yè)，22小題，滿分150分.考試用時(shí)120分鐘.第I卷選擇題（60分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知空間上點(diǎn)和，則為（）A.3B.4C.5D.1【答案】C【解析】【分析】有空間向量的坐標(biāo)，向量模的計(jì)算，或者空間兩點(diǎn)間距離公式直接求得即可.【詳解】由空間兩點(diǎn)間距離公式.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查空間向量的模的計(jì)算,難度容易.2.已知復(fù)數(shù)滿足（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)的模等于（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再求模長(zhǎng)即可.【詳解】因?yàn)?，所以所?故選：A.3.已知直線的傾斜角為，若直線與垂直，則的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根據(jù)題意，由直線傾斜角的定義，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)榈膬A斜角為，與垂直，所以的傾斜角為.故選：B.4.某小組做“用頻率估計(jì)概率”的試驗(yàn)時(shí)，繪出的某一結(jié)果出現(xiàn)的頻率折線圖，則符合這一結(jié)果的試驗(yàn)可能是（）A.拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上B.擲一個(gè)正方體的骰子，出現(xiàn)3點(diǎn)朝上C.一副去掉大小王的撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃D.從一個(gè)裝有2個(gè)紅球1個(gè)黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球【答案】D【解析】【分析】由折線圖可知，頻率在0.3到0.4之間，依次分析各選項(xiàng)對(duì)應(yīng)的概率，看是否符合即可【詳解】由折線圖可知，頻率在0.3到0.4之間選項(xiàng)A，拋一枚硬幣，出現(xiàn)正面朝上的概率為0.5，不符合，故A錯(cuò)；選項(xiàng)B，擲一個(gè)正六面體的骰子，出現(xiàn)3點(diǎn)朝上概率為，不符合，故B錯(cuò)；選項(xiàng)C，一副去掉大小王的撲克牌洗勻后，從中任抽一張牌的花色是紅桃概率為，不符合，故C錯(cuò)；選項(xiàng)D，從一個(gè)裝有2個(gè)紅球1個(gè)黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球概率為，在0.3到0.4之間，符合題意，故D對(duì)故選：D5.直線與直線互相平行，則實(shí)數(shù)A.B.4C.D.2【答案】D【解析】【分析】利用兩條直線平行，它們的斜率相等或者斜率都不存在的性質(zhì)求解. 【詳解】當(dāng)時(shí)，，，此時(shí)，不滿足條件，當(dāng)時(shí)，應(yīng)滿足，解得，綜上，.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查含有參數(shù)的兩條直線平行的參數(shù)的求法，判斷斜率相等或者斜率都不存在是關(guān)鍵.6.若方程表示圓，則m的范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】配方變形為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程后可得．【詳解】方程配方后得，它表示圓，則，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查圓的一般方程，二元二次方程表示圓，可通過(guò)配方法化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由圓標(biāo)準(zhǔn)方程得條件．7.設(shè)，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足，若直線上存在點(diǎn)Q使得，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】設(shè)，由兩點(diǎn)距離公式計(jì)算可得根據(jù)題意可得，進(jìn)而利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解．【詳解】設(shè)，，，即． 點(diǎn)P的軌跡為以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓面．若直線上存在點(diǎn)Q使得，則PQ為圓的切線時(shí)最大，，即．圓心到直線的距離，或．故選：C．8.在三棱錐中，PA，PB，PC互相垂直，，M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，且直線AM與平面PBC所成角的正切值的最大值是，則三棱錐外接球的體積是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由線面角的最大值求出邊長(zhǎng)PC，將三棱錐補(bǔ)形成長(zhǎng)方體，再確定外接球的半徑，計(jì)算體積.【詳解】M是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接PM．因?yàn)镻A，PB，PC互相垂直，所以是直線AM與平面PBC所成的角．當(dāng)PM最短，即時(shí)，直線AM與平面PBC所成角的正切值最大，此時(shí)，． 在中，，則，解得．將三棱錐擴(kuò)充為長(zhǎng)方體，則長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)為．故三棱錐外接球的半徑，三棱錐外接球的體積為．所以D正確；故選：D.二.選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.（多選）設(shè)定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則點(diǎn)的軌跡可能是（）A.圓B.線段C.橢圓D.直線【答案】BC【解析】【分析】結(jié)合基本不等式求得，結(jié)合橢圓定義分類討論，即可求解.【詳解】由題意知，定點(diǎn)，，可得，因?yàn)?，可得，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立．當(dāng)時(shí)，可得的，此時(shí)點(diǎn)的軌跡是線段；當(dāng)時(shí)，可得，此時(shí)點(diǎn)的軌跡是橢圓．故選：BC．10.中國(guó)籃球職業(yè)聯(lián)賽（CBA）中，某運(yùn)動(dòng)員在最近幾次比賽中的得分情況如下表： 投籃次數(shù)投中兩分球的次數(shù)投中三分球次數(shù)1006516記該運(yùn)動(dòng)員在一次投籃中，投中兩分球?yàn)槭录嗀，投中三分球?yàn)槭录﨎，沒(méi)投中為事件C，且事件A，B，C是否發(fā)生互不影響，用頻率估計(jì)事件A，B，C發(fā)生的概率，，，下述結(jié)論中正確的是（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)頻率與概率的關(guān)系，結(jié)合互斥事件的加法公式逐個(gè)判斷即可【詳解】，用頻率估計(jì)事件發(fā)生的概率，可得，，，故ABC正確，表示事件B發(fā)生或事件C發(fā)生，故．故D錯(cuò)誤；故選：ABC．11.已知直線的一個(gè)方向向量為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則下列結(jié)論中正確的是（）A.的傾斜角等于B.在軸上截距等于C.與直線垂直D.與直線平行【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)題意求出直線的方程，然后逐個(gè)分析判斷即可.【詳解】因?yàn)橹本€的一個(gè)方向向量為，所以直線的斜率， 因?yàn)橹本€經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，即，A，直線的斜率，則傾斜角等于，A錯(cuò)誤；B，當(dāng)時(shí)，，所以在軸上的截距等于，B錯(cuò)誤；C，因?yàn)橹本€的斜率，直線直線的斜率為，，所以兩直線垂直，C正確；D，因?yàn)橹本€的斜率，直線的斜率，不過(guò)（1，-2），所以兩直線平行，D正確.故選：CD12.在正方體中，點(diǎn)P滿足，其中，，則下列說(shuō)法正確的是（）A.當(dāng)時(shí)，平面B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時(shí)，△PBD的面積為定值D.當(dāng)時(shí)，直線與所成角的取值范圍為【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，確定點(diǎn)在面對(duì)角線上，通過(guò)證明面面平行，得線面平行；對(duì)于B選項(xiàng)，確定點(diǎn)在棱上，由等體積法，說(shuō)明三棱錐的體積為定值；對(duì)于C選項(xiàng)，確定點(diǎn)在棱上，的底不變，高隨點(diǎn)的變化而變化；對(duì)于D選項(xiàng)，通過(guò)平移直線，找到異面直線與所成的角，在正中，確定其范圍.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，如下圖，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)在面對(duì)角線上運(yùn)動(dòng)，又平面，所以平面， 在正方體中，且，則四邊形為平行四邊形，所以，，平面，平面，平面，同理可證平面，，所以，平面平面，平面，所以，平面，A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，如下圖，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，三棱錐的體積為定值，B正確；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，如圖，點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，過(guò)作于點(diǎn)，則，其大小隨著的變化而變化，C錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)，如圖所示，當(dāng)時(shí)，，，三點(diǎn)共線，因?yàn)榍?所以四邊形為平行四邊形，所以， 所以或其補(bǔ)角是直線與所成角，在正中，的取值范圍為，D正確.故選：ABD.第II卷非選擇題（90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知一組數(shù)按從小到大順序排列的數(shù)據(jù)：24，30，36，38，40，50，52，54，57，60；這組數(shù)據(jù)的第30百分位數(shù)為______.【答案】37【解析】【分析】按照百分位數(shù)的定義，直接求得.【詳解】因?yàn)檫@一組數(shù)據(jù)為：24，30，36，38，40，50，52，54，57，60；所以第30百分位數(shù)為.故答案為：37.14.已知三點(diǎn)共線，則的值為________.【答案】【解析】【分析】由條件可得，結(jié)合兩點(diǎn)斜率公式列方程求的值.【詳解】因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，所以，解得.故答案為：. 15.設(shè)橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，，過(guò)作橢圓長(zhǎng)軸的垂線交橢圓于點(diǎn)，若為等腰直角三角形，則橢圓離心率等于__________．【答案】【解析】【詳解】設(shè)到位于軸上方，坐標(biāo)為，∵為等腰直角三角形，∴，即，即，∵，∴，，∴．16.設(shè)點(diǎn)P(x，y)是圓C：x2+(y-2)2=1上的動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)A(1，0)，B(－1，0)，則的最大值為_____【答案】8【解析】【分析】用點(diǎn)的坐標(biāo)表示出，，再求出并借助點(diǎn)P在圓C上的條件即可作答.【詳解】因點(diǎn)在圓C上，即，則，且，而，于是得，顯然在上單調(diào)遞增，則當(dāng)時(shí)，，即，所以的最大值為8.故答案為：8四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.對(duì)某班40名同學(xué)每天參加課外活動(dòng)的時(shí)間進(jìn)行了詳細(xì)統(tǒng)計(jì)，并繪制成頻率分布直方圖，其中 ，，，，在縱軸上對(duì)應(yīng)的高度分別為m，0.02，0.0375，0.0175，m，如圖所示．（1）求實(shí)數(shù)m的值并估計(jì)每位同學(xué)每天參加課外活動(dòng)的平均時(shí)間；（2）從每天參加活動(dòng)不少于50分鐘的人（含男生甲）中任選3人，求其中的男生甲被選中的概率．【答案】（1），平均時(shí)間為34.75分鐘；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1可求，再根據(jù)平均數(shù)公式可求；（2）設(shè)每天參加活動(dòng)不少于50分鐘的人分別為，甲，列出所有可能結(jié)果，再利用古典概型概率公式可計(jì)算.【詳解】（1）由頻率之和為1可得，解得，每位同學(xué)每天參加課外活動(dòng)的平均時(shí)間為分鐘；（2）每天參加活動(dòng)不少于50分鐘的人有人，設(shè)為,甲，則從中任選3人，可能情況有abc，abd，ab甲，acd，ac甲，ad甲，bcd，bc甲，bd甲，cd甲，共10種，其中的男生甲被選中的情況有ab甲，ac甲，ad甲，bc甲，bd甲，cd甲，共6種，則男生甲被選中的概率為.18.如圖，矩形ABCD的兩條對(duì)角線相交于點(diǎn)，AB邊所在直線的方程為，點(diǎn)在AD邊所在直線上． （1）求AD邊所在直線的方程；（2）求對(duì)角線AC所在直線的方程．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)直線垂直的關(guān)系求出直線斜率即可求AD邊所在直線的方程；（2）求出交點(diǎn)A的坐標(biāo)即可求對(duì)角線AC所在直線的方程【小問(wèn)1詳解】解法一：因?yàn)锳B邊所在直線的方程為，所以．又因?yàn)榫匦蜛BCD中，，所以．所以由點(diǎn)斜式可得AD邊所在直線的方程為：，即；解法二：因?yàn)榫匦蜛BCD中，，所以設(shè)AD邊所在直線的方程為：．又因?yàn)橹本€AD過(guò)點(diǎn)，所以將點(diǎn)代入上式得，解得．所以AD邊所在直線的方程為：；【小問(wèn)2詳解】由，解得，即，所以對(duì)角線AC所在直線的方程：，即．19. 甲、乙、丙三個(gè)學(xué)校進(jìn)行籃球比賽，各出一個(gè)代表隊(duì)，簡(jiǎn)稱甲隊(duì)、乙隊(duì)、丙隊(duì)．約定賽制如下：累計(jì)負(fù)兩場(chǎng)者被淘汰；比賽前抽簽決定首先比賽的兩個(gè)隊(duì)，另一隊(duì)輪空；每場(chǎng)比賽的勝隊(duì)與輪空隊(duì)進(jìn)行下一場(chǎng)比賽，負(fù)隊(duì)下一場(chǎng)輪空，直至有一隊(duì)被淘汰；當(dāng)一隊(duì)被淘汰后，剩余的兩隊(duì)繼續(xù)比賽，直至其中一隊(duì)被淘汰，另一隊(duì)最終獲勝，比賽結(jié)束．經(jīng)抽簽，甲、乙兩隊(duì)首先比賽，丙隊(duì)輪空．設(shè)甲隊(duì)與乙隊(duì)每場(chǎng)比賽，甲隊(duì)獲勝概率為0.5，甲隊(duì)與丙隊(duì)每場(chǎng)比賽，甲隊(duì)獲勝概率為0.6，乙隊(duì)與丙隊(duì)每場(chǎng)比賽，乙隊(duì)獲勝概率為0.4．記事件A為甲隊(duì)輸，事件B為乙隊(duì)輸，事件C為丙隊(duì)輸，（1）寫出用A，B，C表示“乙隊(duì)連勝四場(chǎng)”的事件，并求其概率；（2）寫出用A，B，C表示“比賽四場(chǎng)結(jié)束”的事件，并求其概率；（3）求“需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽”的概率．【答案】（1）事件為ACAC，概率為；（2）事件分別為BCBC，ACAC，ABAB和BABA，概率為；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，寫出所求事件，再利用相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算作答.（2）比賽四場(chǎng)結(jié)束的事件是三個(gè)互斥事件的和，寫出該事件，再利用互斥事件、相互獨(dú)立事件的概率公式求解作答.（3）由（2），利用對(duì)立事件求出概率作答.【小問(wèn)1詳解】依題意，，“乙隊(duì)連勝四場(chǎng)”的事件為ACAC，所以.【小問(wèn)2詳解】“比賽四場(chǎng)結(jié)束”共有三種情況，分別是：“甲隊(duì)連勝四場(chǎng)”為事件BCBC；“乙隊(duì)連勝四場(chǎng)”為事件ACAC；“丙隊(duì)上場(chǎng)后連勝三場(chǎng)”為事件ABAB和事件BABA，所以，“比賽四場(chǎng)結(jié)束”的概率為．【小問(wèn)3詳解】根據(jù)賽制，至少需要進(jìn)行四場(chǎng)比賽，至多需要進(jìn)行五場(chǎng)比賽，所以，需要進(jìn)行第五場(chǎng)比賽的概率為.20.已知圓C的圓心在直線上，并且與x軸的交點(diǎn)分別為.（1）求圓C的方程； （2）若直線l過(guò)原點(diǎn)且垂直于直線，直線l交圓C于M，N，求的面積.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)由條件有圓心在線段的中垂線上，又圓心在直線，兩方程聯(lián)立可求出圓心坐標(biāo)，從而求出圓的方程.(2)根據(jù)條件直線l的方程為：，先求出圓心到直線l的距離，再由垂徑定理求出弦長(zhǎng)，則三角形面積可求.【詳解】（1）線段的中垂線方程為：，圓與x軸的交點(diǎn)分別為，則圓心在線段的中垂線上.由，得，∴圓心C為，又半徑，∴圓C的方程為.（2）直線l垂直于直線，則又直線l過(guò)原點(diǎn)，則直線l的方程為：，所以點(diǎn)C到直線l的距離為：，，.【點(diǎn)睛】本題考查利用圓的幾何性質(zhì)求圓的方程，考查圓中垂徑的應(yīng)用，屬于中檔題.21.如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的圓O上，PA垂直于圓O所在平面，G為△AOC的重心.（1）求證：平面平面PAC； （2）若，求二面角A-OP-G的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）要證明面面垂直，轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，即證明平面；（2）以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求平面OPM的一個(gè)法向量和平面AOP的一個(gè)法向量，利用，即可求解.【小問(wèn)1詳解】證明：如圖，延長(zhǎng)OG交AC于點(diǎn)M.因?yàn)镚為△AOC的重心，所以M為AC的中點(diǎn).因?yàn)镺為AB的中點(diǎn)，所以.因?yàn)锳B是圓的直徑，所以，所以.因?yàn)槠矫鍭BC，平面ABC，所以.又平面PAC，平面PAC，，所以平面PAC.即平面PAC又平面OPG，所以平面平面PAC.【小問(wèn)2詳解】以點(diǎn)C為原點(diǎn)，，，方向分別為x，y，z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系C-xyz，則，，，，，， 則，，，平面OPG即為平面OPM，設(shè)平面OPM的一個(gè)法向量為，則令，得.且設(shè)平面AOP的一個(gè)法向量為，則令，得.且設(shè)所求二面角的平面角為，因?yàn)?，因?yàn)樗蠖娼菫殇J角，所以二面角A-OP-G的余弦值為22.已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為、，其離心率為.橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，且.（1）求橢圓的方程；（2）過(guò)的直線與橢圓相交于，（不與頂點(diǎn)重合），過(guò)右頂點(diǎn)分別作直線，與直線相交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓是否恒過(guò)某定點(diǎn)？若是，求出該定點(diǎn)坐標(biāo)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）過(guò)定點(diǎn)；， 【解析】【分析】（1）由題意可得，，從而可求出，再由可求出，進(jìn)而可求得橢圓的方程，（2）設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程化簡(jiǎn)整理再由根與系數(shù)的關(guān)系可得，，再由直線，可求得，，則可得以為直徑的圓的方程，結(jié)合前面的式子化簡(jiǎn)可得，從而可求得圓過(guò)的定點(diǎn)【小問(wèn)1詳解】由離心率.且左右頂點(diǎn)間距離為，所以，，，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，由題意，直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為，代入橢圓的方程，整理得.設(shè)，，則，②由直線，令，得，同理，∴以為直徑的圓的方程為，即，③由②得， 代入③得圓的方程為.若圓過(guò)定點(diǎn)，則解得或