資源描述：
《安徽省合肥市六校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
合肥六校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二年級第一學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（考試時間：120分鐘滿分：150分）一、單選題（本大題共8小題，共40分.在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）1.直線的傾斜角是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的傾斜角與斜率的關(guān)系，即可求解．【詳解】設(shè)直線的傾斜角為，，直線可化為，所以直線的斜率，，故選：D．2.三棱柱ABC－A1B1C1中，若，，，則等于（）A.＋－B.－＋C.－＋＋D.－＋－【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間向量對應(yīng)線段位置關(guān)系，及向量加減的幾何意義用表示出即可.【詳解】.故選：D
3.已知圓的方程圓心坐標(biāo)為，則它的半徑為A.B.C.D.【答案】D【解析】【詳解】分析：先根據(jù)圓心坐標(biāo)求出a的值，再求圓的半徑.詳解：由題得所以圓的半徑為故答案為D點睛：(1)本題主要考查圓的一般方程，意在考查學(xué)生對該基礎(chǔ)知識的掌握能力.(2)當(dāng)時，表示圓心為，半徑為的圓.4.如果向量，，共面，則實數(shù)的值是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)，由空間向量的坐標(biāo)運算可得出方程組，即可解得的值.【詳解】由于向量，，共面，設(shè)，可得，解得.故選：B.5.已知圓經(jīng)過兩點，，且圓心在直線上，則圓的方程為（）A.B.C.D.【答案】C
【解析】分析】先求出線段的垂直平分線，利用弦的垂直平分線的交點是圓心即可得到圓心坐標(biāo)，再算出圓心與A點的距離即半徑，即可得到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，從而得到一般方程.【詳解】因為線段的中點坐標(biāo)為，直線的斜率為，所以線段的垂直平分線方程為，即與直線方程聯(lián)立，得圓心坐標(biāo)為.又圓的半徑，所以，圓的方程為，即.故選：C.【點睛】本題考查圓的方程以及直線與圓的位置關(guān)系，考查考生的邏輯推理能力和運算求解能力，是一道容易題.6.如圖，已知點在正方體的對角線上，設(shè)，則的值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】以D為原點，以方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.寫出
的坐標(biāo)，根據(jù)向量夾角的坐標(biāo)表示計算可得.【詳解】以D為原點，以的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.不妨設(shè)，則，所以，所以，因為，所以，整理得，解得或，由題可知，所以.故選：C7.從直線x－y＋3＝0上的點向圓x2＋y2－4x－4y＋7＝0引切線，則切線長的最小值為( )
A.B.C.D.【答案】B【解析】【詳解】設(shè)直線上的點為，已知圓的圓心和半徑分別為，則切線長為，故當(dāng)時，，應(yīng)選答案B．點睛：本題求解時先設(shè)直線上動點，運用勾股定理建立圓的切線長的函數(shù)關(guān)系，再運用二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)求出其最小值，從而使得問題獲解．本題的求解過程綜合運用了函數(shù)思想與等價轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想．8.在正方體中，若棱長為，，分別為線段，上的動點，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.平面B.直線與平面所成角的正弦值為定值C.平面平面D.點到平面的距離為定值【答案】B【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征，利用空間向量逐個計算判斷即可【詳解】以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，
則，令，得，令，得，，對于A，，顯然，即，，而，平面，因此平面，A正確；對于B，由平面，平面，得，因為，，平面，則平面，于是為平面的一個法向量，，設(shè)直線與平面所成角為，則不是定值，B錯誤；對于C，由選項A知平面，即為平面的一個法向量，而，則，即有，又，平面，因此平面，
則平面平面，C正確；對于D，顯然，因此點到平面的距離為，為定值，D正確.故選：B二、多選題（本大題共4小題，共20.0分.在每小題有多項符合題目要求）9.正方體的棱長為1，體對角線與，相交于點，則（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運算的幾何表示，向量數(shù)量積的定義及運算律結(jié)合正方體的性質(zhì)即得.【詳解】方法一：，故A正確；，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤；方法二：，故A正確；由正方體的性質(zhì)可知，，，，故B錯誤；，故C正確；，故D錯誤.故選：AC．10.下列說法中，正確的有（）A.點斜式可以表示任何直線
B.直線在y軸上的截距為C.點到直線的的最大距離為D.直線關(guān)于對稱的直線方程是【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)點斜式的應(yīng)用范圍即可判斷A；，求出，即可判斷B；求出直線所過的定點，再求出定點與點的距離，即可判斷C；求出交點坐標(biāo)，在求出直線直線上的點關(guān)于直線對稱的點的坐標(biāo)，即可判斷D.【詳解】解：對于，點斜式不能表示斜率不存在得直線，故A錯誤；對于B，令，則，所以直線在y軸上的截距為，故B正確；對于C，直線化為，令，解得，所以直線過定點，則點到直線的的最大距離為，故C正確；對于D，聯(lián)立，解得，即直線與直線的交點為，設(shè)直線上的點關(guān)于直線對稱的點，則，解得，即，所以所求直線方程為，即，故D錯誤.故選：BC
11.已知，，，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.C.為鈍角D.在方向上的投影向量為【答案】BD【解析】【分析】利用向量垂直，平行的坐標(biāo)關(guān)系判斷A，B，根據(jù)向量夾角公式判斷C，根據(jù)投影向量和投影數(shù)量的關(guān)系計算求解判斷D.【詳解】因為，所以，不垂直，A錯，因為，所以，B對，因為，所以，所以不是鈍角，C錯，因為在方向上的投影向量，D對，故選：BD.12.以下四個命題表述正確的是（）A.直線恒過定點B.已知圓，點P為直線上一動點，過點P向圓C引兩條切線PA、PB，A、B為切點，則直線AB經(jīng)過定點C.曲線與曲線恰有三條公切線，則D.圓上存在4個點到直線的距離都等于1【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)直線與圓的相關(guān)知識對各選項逐個判斷即可解出．直線恒過定點，判斷錯誤；求出直線方程，判斷直線經(jīng)過定點，正確；根據(jù)兩圓外切，三條公切線，可得正確；根據(jù)圓心到直線的距離等于1，判斷錯誤.【詳解】對于，直線方程可化為，令，則，，，所以直線恒過定點，錯誤；
對于，設(shè)點的坐標(biāo)為，所以，，以為直徑的圓的方程為，兩圓的方程作差得直線的方程為：，消去得，，令，，解得，，故直線經(jīng)過定點，正確；對于，根據(jù)兩圓有三條公切線，所以兩圓外切，曲線化為標(biāo)準(zhǔn)式得，曲線化為標(biāo)準(zhǔn)式得，所以，圓心距為5，因為有三條公切線，所以兩圓外切，即，解得，正確；對于，因為圓心到直線的距離等于1，所以直線與圓相交，而圓的半徑為2，故到直線距離為1的兩條直線，一條與圓相切，一條與圓相交，因此圓上有三個點到直線的距離等于1，錯誤；故選：．【點睛】本題主要考查直線系過定點的求法，以及直線與圓，圓與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．三、填空題（本大題共4小題，共20分）13.已知，方程表示圓，圓心為__________．【答案】【解析】【分析】由題意可得，和確定出的值，然后將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，從而可求出圓心坐標(biāo).【詳解】由題意得，解得或，當(dāng)時，方程化為，此時，所以此方程表示圓，，所以圓的圓心為，半徑為5，當(dāng)時，方程化為，即，
此時，所以此方程不表示圓，綜上，圓心為，故答案為：14.已知正方體的棱長為，點是的中點，則點A到直線的距離是__________．【答案】##【解析】【分析】以D為原點，以的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用點到直線的向量公式可得.【詳解】以D為原點，以的方向為x軸、y軸、z軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則，所以，記與同向的單位向量為，則，所以，點A到直線BE的距離.故答案為：
15.若圓，與圓：相交于，，則公共弦的長為___________.【答案】【解析】【分析】兩圓方程相減可得公共弦所在直線方程，利用垂徑定理即可得解.【詳解】由題意所在的直線方程為：，即，因為圓心到直線的距離為1，所以.故答案為：16.如圖，把邊長為2的正方形紙片沿對角線折起，設(shè)二面角的大小為，異面直線與所成角為，當(dāng)時，的取值范圍是___________.
【答案】【解析】【分析】設(shè)的中點為，則為二面角的平面角，利用坐標(biāo)法，根據(jù)線線角的向量求法可得，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】設(shè)的中點為，連接，則，所以為二面角的平面角，即，如圖以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，所以，因為，所以，所以.故答案：.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.求經(jīng)過直線ll∶2x-y+4=0與直線l2∶x-y+5=0的交點M，且滿足下列條件的直線方程.（1）與直線x-2y-1=0平行；（2）與直線x+3y+1=0垂直.【答案】（1）；（2）.【解析】
【分析】（1）設(shè)所求直線為，整理為一般方程后利用平行直線的系數(shù)關(guān)系可求，從而可求與已知直線平行的直線方程.（2）設(shè)所求直線為，整理為一般方程后利用垂直直線的系數(shù)關(guān)系可求，從而可求與已知直線垂直的直線方程.【詳解】（1）設(shè)所求直線為，故，因為此直線與直線，故，故，故所求直線為.（2）設(shè)所求直線為，故，因為此直線與直線，故，故，故所求直線為.18.如圖，已知平行六面體中，底面ABCD是邊長為1的正方形，，設(shè)．（1）求；（2）求．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）先按照空間向量的加減運算表示出，再按照數(shù)量積運算求出；
（2）先表示出，再按照數(shù)量積運算求解.【小問1詳解】，，，，，即有；【小問2詳解】．19.已知的三個頂點的坐標(biāo)為、、，試求：（1）邊上的高所在的直線方程；（2）的面積．【答案】（1）（2）24【解析】【分析】（1）先求出直線的斜率，進(jìn)而得邊上的高的斜率，由點斜式寫出方程即可；（2）先求出及直線方程，再由點到直線距離公式求得到的距離，即可求得面積.【小問1詳解】因為，則邊上的高的斜率為3，又經(jīng)過A點，故方程為，化簡得．
【小問2詳解】，直線方程為，整理得，則到的距離為，則的面積為.20.在正方體中，已知為中點，如圖所示．（1）求證：平面（2）求異面直線與夾角大?。敬鸢浮浚?）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法證明線面平行即可；（2）利用向量法求異面直線的夾角.【小問1詳解】在正方體中，因為，，兩兩垂直，故以為原點，為，，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖：不妨設(shè)正方體的棱長為1，
則，故，，，設(shè)平面的一個法向量為，由，得，令，則，所以．從而，又平面，所以平面.小問2詳解】設(shè)、分別為直線與的方向向量，則由，得,所以，所以兩異面直線與的夾角的大小為．21.已知點，，直線：，設(shè)圓的半徑為，圓心在直線上．（1）若圓心也在直線上，過點作圓的切線，求切線的方程；（2）若圓上存在點，使，為坐標(biāo)原點，求圓心的橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】（1）或.（2）或.【解析】【分析】
（1）求出圓C：后，利用圓心到切線的距離等于半徑可得答案；（2）根據(jù)可得點M在以為圓心，2為半徑的圓上.再根據(jù)兩圓有交點，列式可解得結(jié)果.【詳解】(1)由得：，所以圓C：..當(dāng)切線的斜率存在時,設(shè)切線方程為，由，解得：當(dāng)切線的斜率不存在時，即也滿足所以切線方程為：或.(2)由圓心在直線l：上，設(shè)設(shè)點，由得：化簡得：，所以點M在以為圓心，2為半徑的圓上.又點M在圓C上，所以圓C與圓D有交點，則即，解得：或.【點睛】本題考查了求圓的方程及其切線方程，考查了圓與圓的位置關(guān)系，屬于中檔題.22.如圖,在四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD⊥底面ABCD,側(cè)棱PA=PD=,PA⊥PD,底面ABCD為直角梯形,其中BC∥AD,AB⊥AD,AB=BC=1,O為AD的中點.(1)求直線PB與平面POC所成角的余弦值.(2)線段PD上是否存在一點Q,使得二面角Q-AC-D的余弦值為?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.
【答案】（1）；（2）存在，【解析】【詳解】試題分析：由PA=PD,O為AD中點，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，可得PO⊥平面ABCD.又在直角梯形ABCD中,易得,所以可以O(shè)為坐標(biāo)原點,OC為x軸,OD為y軸,OP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量求解.試題解析：(1)在中，，為AD的中點，所以,側(cè)面PAD底面ABCD,則PO面ABCD.又在直角梯形ABCD中，連接,則,以O(shè)為坐標(biāo)原點，直線OC為x軸，直線OD為y軸,直線為z軸建立空間直角坐標(biāo)系.,,,所以，直線PB與平面所成角的余弦值為.(2)假設(shè)存在，則設(shè)=λ因為=（0，1，﹣1），所以Q（0，λ，1﹣λ）．設(shè)平面CAQ的法向量為=（a，b，c），則，所以取=（1﹣λ，λ﹣1，λ+1），平面CAD的法向量=（0，0，1），因為二面角Q﹣AC﹣D的余弦值為，所以=，所以3λ2﹣10λ+3=0．
所以λ=或λ=3（舍去），所以=.點睛：高考對空間向量與立體幾何的考查主要體現(xiàn)在以下幾個方面：①求異面直線所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量的夾角；②求直線與平面所成的角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為直線的方向向量和平面的法向量的夾角；③求二面角，關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為兩平面的法向量的夾角.建立空間直角坐標(biāo)系和表示出所需點的坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵.
