河南省TOP二十2023屆高三上學(xué)期12月調(diào)研考試數(shù)學(xué)（理）Word版含解析.doc

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2022－2023學(xué)年高三年級TOP二十名校十二月調(diào)研考理科數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．設(shè)集合，，則（）A．B．C．D．2．若復(fù)數(shù)z滿足，則（）A．B．1C．D．23．已知，，，則（）A．a(chǎn)＜b＜cB．b＜c＜aC．c＜b＜aD．a(chǎn)＜c＜b4．將6名志愿者分配到3個社區(qū)參加服務(wù)工作，每名志愿者只分配到1個小區(qū)，每個小區(qū)至少分配1名志愿者，若分配到3個小區(qū)的志愿者人數(shù)均不相同，則不同的分配方案共有（）A．60種B．120種C．180種D．360種5．下列點中，曲線的一個對稱中心是（）A．B．C．D．6．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，若輸出的S為1，則判斷框內(nèi)應(yīng)該填入的條件是（）A．B．C．i＜5D．i＞57．有一組樣本數(shù)據(jù)，，，，，該樣本的平均數(shù)和方差均為2，在該組數(shù)據(jù)中加入1個數(shù)2得到新的樣本數(shù)據(jù)，則兩組樣本數(shù)據(jù)相同的為（）A．平均數(shù)和中位數(shù)B．中位數(shù)和方差C．方差和極差D．平均數(shù)和極差8．已知數(shù)列滿足，，，則的前n項積的最大值為（）A．1B．2C．3D．49．已知四面體ABCD的各頂點都在球O的表面上，，E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點，O為EF的中點．若，直線AC與BD所成的角為60°，AB＜EF，則球O的表面積為（）A．B．C．D． 10．已知O為坐標(biāo)原點，，，則（）A．的最小值為B．的最大值為C．的最小值為1D．的最大值為211．已知拋物線C：的焦點為F，A是C的準(zhǔn)線與x軸的交點，P是C上一點，∠APF的平分線與x軸交于點B，則的最大值為（）A．B．C．D．12．已知及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，若為奇函數(shù)，為偶函數(shù)．設(shè)，則（）A．－1B．0C．1D．2二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．曲線的一條切線經(jīng)過點，則該切線的斜率為______．14．已知雙曲線C：，直線x＝a與C的兩條漸近線交于A，B兩點，O為坐標(biāo)原點，若的面積為，則C的離心率為______．15．在中，D為BC邊上一點，∠BAD＝90°，∠B＝∠CAD，若，則______．16．在空間中，如果將幾何體繞著某條直線l旋轉(zhuǎn)一定角度后與原來重合，我們稱這個變換過程為l軸旋轉(zhuǎn)對稱變換，并稱的最小值為最小旋轉(zhuǎn)角．已知三棱錐A－BCD的所有棱長均為1，將三棱錐A－BCD進行軸旋轉(zhuǎn)對稱變換，最小旋轉(zhuǎn)角為180°，若將三棱錐A－BCD繞著直線l旋轉(zhuǎn)90°得到三棱錐，則兩個三棱錐的公共部分的體積為______．三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．（本小題滿分12分）已知數(shù)列為等差數(shù)列，數(shù)列滿足，且，．（1）求，的通項公式；（2）證明：．18．（本小題滿分12分）電機（或變壓器）繞組采用的絕緣材料的耐熱等級也叫絕緣等級，電機與變壓器中常用的絕緣材料耐熱等級分為如下7個級別：耐熱等級YAEBFHC絕緣耐溫（℃）某絕緣材料生產(chǎn)企業(yè)為測試甲、乙兩種生產(chǎn)工藝對絕緣耐溫的影響，分別從兩種工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品中各隨機抽取50件，測量各件產(chǎn)品的絕緣耐溫（單位：℃），其頻率分布直方圖如下： （1）若10月份該企業(yè)采用甲工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品為65萬件，估計其中耐熱等級達到C級的產(chǎn)品數(shù)；（2）若從甲、乙兩種工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品中分別隨機選擇1件，用頻率估計概率，求2件產(chǎn)品中耐熱等級達到C級的產(chǎn)品數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．19．（本小題滿分12分）如圖，在平行四邊形ABCM中，AB＝AC＝2，∠BAC＝90°．以AC為折痕將折起，使點M到達點D的位置，且二面角D－AC－B的大小為120°．（1）求BD；（2）設(shè)P為BD上一點，求直線CP與平面ABD所成角的正弦值的最大值．20．（本小題滿分12分）已知橢圓C：的長軸比短軸長2，焦距為．（1）求橢圓C的方程；（2）已知，，過點P的直線l與C交于A，B兩點，延長AQ到D，延長BQ到E，且滿足軸．證明：D，E兩點到直線的距離之積為定值．21．（本小題滿分12分）已知a＞0，函數(shù)．（1）當(dāng)時，討論的單調(diào)性；（2）若曲線與直線y＝1有且只有一個交點，求a．（二）選考題：共10分．請考生從22、23題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題計分．22．【選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程】（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線，的參數(shù)方程分別為：（t為參數(shù)），： （為參數(shù)）．（1）將，的參數(shù)方程化為普通方程；（2）以坐標(biāo)原點O為極點，x軸的非負半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，設(shè)，的第一象限的交點為A，求以O(shè)A為直徑的圓的極坐標(biāo)方程．23．【選修4－5：不等式選講】（10分）已知函數(shù)．（1）設(shè)m＝1，求不等式的解集；（2）若恒成立，求m的取值范圍． 2022－2023學(xué)年高三年級TOP二十名校十二月調(diào)研考高三理科數(shù)學(xué)參考答案1．【答案】C【解析】，，則．故選C．2．【答案】A【解析】因為，所以，所以．故選A．3．【答案】D【解析】，，，所以a＜c＜b．4．【答案】D【解析】若分配3個小區(qū)的志愿者人數(shù)均不相同，則1個小區(qū)1人，1個小區(qū)2人，1個小區(qū)3人，則不同的分配方案共有種．故選D．5．【答案】C【解析】．令，則，即，故對稱中心可以是．故選C．6．【答案】C【解析】執(zhí)行該程序框圖，i＝1，K＝0，S＝130，執(zhí)行第1次循環(huán)i＝1，K＝1，S＝65；執(zhí)行第2次循環(huán)i＝2，K＝3，S＝13；執(zhí)行第3次循環(huán)i＝5，K＝8，S＝1；當(dāng)i＝5時不滿足i＜5，輸出S＝1．故選C．7．【答案】D【解析】新樣本的平均數(shù)為，方差；因為加入的2是原樣本數(shù)據(jù)的平均值，故不是最大和最小的數(shù)，所以極差不變但中位數(shù)有可能發(fā)生改變．故選D．8．【答案】B【解析】由類比得，兩式相除得，即．由，，得，設(shè)的前n項積為，則有，，，，…，則數(shù)列是以3為周期的數(shù)列，的最大值為2．故選B．9．【答案】B【解析】依題意，作出球O的內(nèi)接正四棱柱IDJC－AHBG，，因為，所以∠AKG＝60°或120°，又AB＜EF，則∠AKG＝60°．因為，則AG＝2，，在中，，，則，則球O的表面積．故選B． 10．【答案】D【解析】由，可得點A的軌跡是以原點為圓心，1為半徑的圓，根據(jù)向量減法的幾何意義，由，可得點B的軌跡是以A為圓心，1為半徑的圓，如圖所示．當(dāng)點B在坐標(biāo)原點位置時，取最小值0，當(dāng)點B在射線OA與圓A的交點位置時，取最大值2，A，B選項錯誤．根據(jù)向量數(shù)量積的幾何意義，當(dāng)點B在坐標(biāo)原點位置時，在方向上的投影取最小值0，此時取最小值0，當(dāng)點B在射線OA與圓A的交點位置時，在方向上的投影取最大值2，此時取最大值2，C選項錯誤，D選項正確．故選D．11．【答案】B【解析】不妨設(shè)點P在第一象限，作垂直準(zhǔn)線于點，則有，由角平分線定理得，當(dāng)直線AP與拋物線相切時，最大，最大，設(shè)直線AP的方程為x＝my－1（m＞0），由整理得，由，得m＝1，則當(dāng)直線AP與拋物線相切時，則，設(shè)O為原點，則，由上可知，，整理得，則，當(dāng)直線AP與拋物線相切時取最大值．故選B．12．【答案】A【解析】因為為奇函數(shù)，所以，即，兩邊同時求導(dǎo)，則有，所以的圖象關(guān)于直線x＝1對稱．因為為偶函數(shù)，所以，即，兩邊同時求導(dǎo)，則有，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點對稱．則有 ，，所以．故選A．13．【答案】－1【解析】設(shè)切點的坐標(biāo)為，由題意得，則該切線的斜率，解得，則切線的斜率k＝－1．14．【答案】【解析】雙曲線C的一條漸近線為，令x＝a，則有y＝b，則，由雙曲線的性質(zhì)可知為等腰三角形，其面積，則a＝b，即，所以C的離心率．15．【答案】【解析】在中，由正弦定理可得，又∠B＝∠CAD，可得，且，則有①．又②，①②聯(lián)立，得，即，則，整理得，解得或（舍去）．故．16．【答案】【解析】經(jīng)過三棱錐不共面的兩條棱的中點作一條直線，三棱錐繞著這條直線最小旋轉(zhuǎn)180°后與原三棱錐重合．如圖所示，三棱錐A－BCD與三棱錐的公共部分為正八面體EFGHIJ．在四棱錐E－GHIJ中，底面GHIJ為邊長為的正方形，高為，則四棱錐E－GHIJ的體積，正八面體EFGHIJ的體積為，故兩個三棱錐的公共部分的體積為． 17．【答案】見解析【解析】（1）∵為等差數(shù)列，設(shè)公差為d．，∴，．∵，即，∴．，即，∴，∴，∴，．（2）由（1）可知，則．18．【答案】見解析【解析】（1）由頻率分布直方圖可知，65萬件產(chǎn)品中，耐熱等級達到C級的產(chǎn)品數(shù)為（萬件），故耐熱等級達到C級的產(chǎn)品數(shù)約為52萬件．（2）設(shè)采用甲工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品中耐熱等級達到C級的產(chǎn)品數(shù)為X，采用乙工藝生產(chǎn)的產(chǎn)品中耐熱等級達到C級的產(chǎn)品數(shù)為Y，則耐熱等級達到C級的產(chǎn)品總數(shù)為X＋Y．由頻率分布直方圖可知，隨機選擇1件采用甲工藝的產(chǎn)品耐熱等級達到C級的概率為，隨機選擇1件采用乙工藝的產(chǎn)品耐熱等級達到C級的概率為．X＋Y所有可能的取值為0，1，2，則，，．分布列如下表所示：X＋Y012P．19．【答案】見解析 【解析】（1）在MC的延長線上取點Q，因為，，所以∠DCQ即為二面角D－AC－B的平面角，則∠DCQ＝120°，且∠DCM＝60°．因為，，，所以平面CDM，又因為平面ABCM，所以平面平面ABCM．作DH垂直CM于H，連接BH，所以平面ABCM，又平面ABCM，所以，且H為CM的中點．由題意可知，，在中，．（2）以C為原點，，的方向分別為x軸，y軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則有，，，，，，，．設(shè)，則．設(shè)平面ABD的一個法向量，由得可?。畡t．所以直線CP與平面ABD所成角的正弦值，當(dāng)時，t取最大值．所以直線CP與平面ABD所成角的正弦值的最大值．20．【答案】見解析【解析】（1）由長軸比短軸長2，則2（a－b）＝2，即a－b＝1①，由焦距為，則，即②，①②聯(lián)立，得a＋b＝3，則a＝2，b＝1，所以C的方程為．（2）由題意可知，直線l的斜率不為0．當(dāng)l的斜率不存在時，直線l的方程為x＝1，由對稱性可知，四邊形ABDE為矩形，則D，E兩點到直線的距離之積為．當(dāng)l的斜率存在時，設(shè)l的方程為，，， 結(jié)合題意可設(shè)，．由，可得，整理得，，．由A，Q，D三點共線，可知，即①，由B，Q，E三點共線，可知，即②，①×②得：，又，則．，則．故D，E兩點到直線的距離之積為定值．21．【答案】見解析【解析】（1）當(dāng)時，，，易知在上單調(diào)遞增，且．所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增．（2）依題意，a＞0，的定義域為．．令，，易知在上單調(diào)遞增，，，，，則，故存在，使得．當(dāng)時，，當(dāng)時，．因為x＞0，所以當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)，取極小值，也是唯一的最小值點． 由得，即，①兩邊同時取自然對數(shù)，則有，則．②由①②得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立．當(dāng)時函數(shù)取最小值1，函數(shù)過點，函數(shù)與有且只有一個交點．由，可得，解得a＝1．所以曲線與直線y＝1有且只有一個交點時，a＝1．22．【答案】見解析【解析】（1）由的參數(shù)方程得，，兩式相減得，所以的普通方程為．由的參數(shù)方程得的普通方程為．（2）由得到所以A的直角坐標(biāo)為．以O(shè)A為直徑的圓的圓心的極坐標(biāo)為，半徑為1，則OA為直徑的圓的極坐標(biāo)方程為，所以所求圓的極坐標(biāo)方程為．23．【答案】見解析【解析】（1）由m＝1，則，當(dāng)時，，則；當(dāng)x＜1時，成立，則x＜1，綜上，不等式的解集為．（2）因為恒成立，所以恒成立，設(shè)當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，當(dāng)x＜m時，．所以函數(shù)的最小值為m，所以，故m的取值范圍為．