安徽省宿州市省、市示范高中2022-2023學(xué)年高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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宿州市省?市示范高中2022-2023學(xué)年度高一第二學(xué)期期中考試（人教版）數(shù)學(xué)試卷（時間：120分鐘，分值：150分）一?單選題1.已知平面內(nèi)作用于點的三個力，且它們的合力為，則三個力的分布圖可能是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由平行四邊形法則判斷即可.【詳解】因為，所以與的合力與方向相反，長度相等，則由平行四邊形法則可知，只有D項滿足.故選：D2.如圖，是水平放置的△AOB的直觀圖，但部分圖象被茶漬覆蓋，已知為坐標(biāo)原點，頂點、均在坐標(biāo)軸上，且△AOB的面積為12，則的長度為（）A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】【分析】畫出△AOB的原圖，根據(jù)三角形△AOB的面積為12可得答案.【詳解】畫出△AOB的原圖為直角三角形，且，因為，所以，所以. 故選：B.3.蕭縣皇藏峪國家森林公園位于蕭縣城區(qū)東南30公里，是中國歷史文化遺產(chǎn)?中國最大古樹群落?國家AAAA級旅游景區(qū)?國家森林公園.皇藏峪有“天然氧吧”之稱.皇藏峪，原名黃桑峪.漢高祖劉邦稱帝前，曾因避秦兵追捕而藏身于此，故改名皇藏峪.景區(qū)內(nèi)古樹繁多，曲徑通幽，庭院錯落有致.一庭院頂部可以看成一個正四棱錐，其底面四邊形的對角線長是側(cè)棱長的倍，則該正四棱錐的一個側(cè)面與底面的面積之比為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由已知條件和正四棱錐的定義，以及面積公式即可求解.【詳解】如圖所示， 將庭院頂部可以看成一個正四棱錐,是正四棱錐的高，設(shè)底面邊長為，則底面四邊形的對角線長為，側(cè)棱長為，則底面面積為，側(cè)面是正三角形，其面積，.故選：B.4.歐拉是18世紀(jì)最偉大的數(shù)學(xué)家之一，在很多領(lǐng)域中都有杰出的貢獻.人們把歐拉恒等式“”與麥克斯韋方程組并稱為“史上最偉大的公式”.其中，歐拉恒等式是歐拉公式：的一種特殊情況.根據(jù)歐拉公式，則（）A.2B.1C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)歐拉公式寫出對應(yīng)復(fù)數(shù)的三角形式并化簡，即可求模.【詳解】由題設(shè)，.故選：B5.已知可以作為平面向量的一組基底，集合，，則關(guān)于集合說法正確的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】向量的共線定理：；向量基本定理：平面內(nèi)一組基底向量可表示出該平面內(nèi)所有向量，，根據(jù)上述向量性質(zhì)進行判斷兩集合元素范圍即可選出答案.【詳解】根據(jù)向量的共線充要條件可知，集合A={與共線的所有向量}， 根據(jù)平面向量基本定理可知：集合B={平面內(nèi)所有向量}，故集合A是集合B子集.故選：B6.已知的重心為，若向量，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由三角形法則和平行四邊形法則求解即可.【詳解】由三角形法則和平行四邊形法則可得，則.故選：A7.已知向量，若與垂直，則實數(shù)（）A.或7B.或-2C.或2D.【答案】C【解析】【分析】確定，，根據(jù)垂直得到，代入數(shù)據(jù)計算得到答案.【詳解】，則，，與垂直，則，解得或.故選：C8.將一直徑為的圓形木板，截成一塊四邊形形狀的木板，且這塊四邊形木板的一個內(nèi)角滿足，則這塊四邊形木板周長的最大值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】 【分析】根據(jù)正弦定理得，進而由余弦定理結(jié)合基本不等式即可求解.【詳解】如圖：不妨設(shè),則,由正弦定理可得,在三角形中，由余弦定理可得,由于,所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，在中，,由余弦定理可得,由于,所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，故這塊四邊形的周長，所以這塊四邊形木板周長的最大值為.故選：D二?多選題9.在下面的四個命題中，正確的命題為（） A.復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位的虛部為B.用平面去截一個圓錐，則截面與底面之間的部分為圓臺C.角為三個內(nèi)角，則“”是“”的充要條件D.在復(fù)平面內(nèi)，若復(fù)數(shù)（均為實數(shù)），則滿足的點的集合表示的面積為【答案】CD【解析】【分析】由復(fù)數(shù)定義判斷A，由圓錐與圓臺的結(jié)構(gòu)特征判斷B，根據(jù)三角形性質(zhì)，結(jié)合充分、必要性定義判斷C，由復(fù)數(shù)模的幾何意義，數(shù)形結(jié)合法判斷D.【詳解】A：復(fù)數(shù)的虛部為，錯誤；B：用平行于底面的平面去截一個圓錐，則截面與底面之間的部分為圓臺，錯誤；C：在三角形中，由知：，若時則，若時則，故充分性成立；若時，則，故；若時，則，此時，故，所以必要性成立，正確；D：由，故，所以點在以為圓心，半徑的圓（含圓內(nèi)），其面積為，正確.故選：CD10.唐朝詩人羅隱在《詠蜂》中寫到：不論平地與大山，無限風(fēng)光盡被占：采得百花成蜜后，為誰辛苦為誰甜.蜜蜂的巢房是令人驚嘆的神奇天然建筑物.巢房是嚴(yán)格的六角柱狀體，它的一端是平整的六角形開口，另一端是封閉的六角菱形的底，由三個相同的菱形組成.巢中被封蓋的是自然成熟的蜂蜜.如圖是一個蜂巢的正六邊形開口，且其邊長為1.下列說法正確的是（）A.B.C.D.五邊形的外接圓面積為 【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)正六邊形的特點，在圖中作出相關(guān)向量，對A利用向量減法運算結(jié)合圖形即可判斷，對B借助圖形和共線向量的定義即可判斷，對C利用向量數(shù)量積公式和相關(guān)模長的關(guān)系即可判斷，由正六邊形的特點確定五邊形的外接圓的半徑，進而判斷D.【詳解】對A，，顯然由圖可得與為相反向量，故A錯誤；對B，由圖易得，直線平分角，且為正三角形，根據(jù)平行四邊形法則有與共線且同方向，易知均為含的直角三角形，故，則，而，故，故，故B正確；對C，，，則，又，，，，故C正確；對D，五邊形的外接圓就是正六邊形的外接圓，其半徑為，則五邊形的外接圓面積為，故D正確；故選：BCD 11.如圖，在海岸上有兩個觀測點C，D，C在D的正西方向，距離為2km，在某天10:00觀察到某航船在A處，此時測得∠ADC=30°，5分鐘后該船行駛至B處，此時測得∠ACB=60°，∠BCD=45°，∠ADB=60°，則（）A.當(dāng)天10:00時，該船位于觀測點C北偏西15°方向B.當(dāng)天10:00時，該船距離觀測點CkmC.當(dāng)船行駛至B處時，該船距觀測點CkmD.該船在由A行駛至B的這5min內(nèi)行駛了km【答案】ABD【解析】【分析】利用方位角的概念判斷A，利用正弦定理、余弦定理求解后判斷BCD．【詳解】A選項中，∠ACD=∠ACB+∠BCD=60°+45°=105°，因為C在D的正西方向，所以A在C的北偏西15°方向，故A正確.B選項中，在△ACD中，∠ACD=105°，∠ADC=30°，則∠CAD=45°.由正弦定理，得AC=，故B正確.C選項中，在△BCD中，∠BCD=45°，∠CDB=∠ADC+∠ADB=30°+60°=90°，即∠CBD=45°，則BD=CD=2，于是BC=2，故C不正確.D選項中，在△ABC中，由余弦定理，得AB2=AC2+BC2－2AC·BCcos∠ACB=2+8－22=6，即AB=km，故D正確.故選：ABD．12.如圖所示，一圓錐的底面半徑為，母線長為，為圓錐的一條母線，為底面圓的一條直徑，為底面圓的圓心，設(shè)，則（） A.過的圓錐的截面中，的面積最大B.當(dāng)時，圓錐側(cè)面的展開圖的圓心角為C.當(dāng)時，由點出發(fā)繞圓錐側(cè)面旋轉(zhuǎn)一周，又回到點的細(xì)繩長度最小值為D.當(dāng)時，點為底面圓周上一點，且，則三棱錐的外接球的表面積為【答案】BD【解析】【分析】對于選項A，利用斜三角形面積公式即可判斷；對于選項B，由于圓錐側(cè)面的展開圖為扇形，可利用扇形圓心角公式進行計算；對于選項C，由于圓錐側(cè)面的展開圖為扇形，利用兩點之間直線最短即可知，由點出發(fā)繞圓錐側(cè)面旋轉(zhuǎn)一周，又回到點的細(xì)繩長度最小值為圓錐側(cè)面的展開圖得到的扇形的圓心角所對的弦長；對于選項D，由三棱錐外接球的性質(zhì)可知，此外接球的直徑為外接長方體的體對角線.【詳解】對于選項A：設(shè)點是底面圓上異于點的任意一點，則，.且.當(dāng)時，，此時的面積最大；當(dāng)時，若，則，此時的面積不是最大；故選項A錯誤.對于選項B：當(dāng)時，，即.圓錐側(cè)面的展開圖的圓心角為.故選項B正確.對于選項C：如圖，由點出發(fā)繞圓錐側(cè)面旋轉(zhuǎn)一周，又回到點的細(xì)繩長度最小值為圓錐側(cè)面的展開圖得到的扇形的圓心角所對的弦長. 當(dāng)時，，即.圓錐側(cè)面的展開圖的圓心角為，此時的弦長為，故選項C錯誤.對于選項D：當(dāng)時，，即.當(dāng)時，.因為，所以三棱錐的外接球的半徑為，則三棱錐的外接球的表面積為.故選項D正確.故選：BD.【點睛】方法點睛：幾何體內(nèi)接于球的問題，解題時要認(rèn)真分析圖形，明確接點的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系。如長方體內(nèi)接于球，長方體的頂點均在球面上，長方體的體對角線長等于球的直徑.三?填空題13.在中，若命題p：，命題q：是等邊三角形，則命題p是命題q的________條件（指充分必要性）．【答案】必要非充分【解析】【分析】根據(jù)正弦定理與充分條件、必要條件的概念進行正反推理，對充分性與必要性分別加以討論，可得由命題不可以推出命題成立，命題可以推出命題成立，可得答案．【詳解】解：先看充分性，當(dāng)成立時即滿足正弦定理，是任意三角形，即命題 不成立，故充分性不成立；再看必要性，若是等邊三角形，則且，由此可得成立，即命題成立，故必要性成立．因此，命題是命題的必要非充分條件．故答案為：必要非充分．14.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第__________象限.【答案】三【解析】【分析】先由已知條件寫出的共軛復(fù)數(shù)，再根據(jù)它所對應(yīng)的點來判斷所在象限即可.【詳解】由復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位的共軛復(fù)數(shù)為：，所以對應(yīng)的點為，因為，所以，所以，因為，所以，所以，故復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)對應(yīng)的點在第三象限，故答案為：三.15.已知平面內(nèi)非零向量，滿足，則__________.【答案】【解析】分析】由已知條件可求得，，將平方展開代入求值即可得答案.【詳解】解：因為，所以，所以， 又因，兩邊平方得：，解得，所以,所以.故答案為：16.甲烷分子式為，其結(jié)構(gòu)抽象成的立體幾何模型如圖所示，碳原子位于四個氫原子的正中間位置，四個碳?xì)滏I長度相等，用表示碳原子的位置，用表示四個氫原子的位置，設(shè)，則__________.【答案】【解析】【分析】設(shè)正四面體的棱長為，外接球半徑為，計算，根據(jù)余弦定理得到，再利用二倍角公式計算得到答案.【詳解】根據(jù)題意知三棱錐為正四面體，為正四面體外接球球心，延長與平面相交于，則為的中心，連接，設(shè)正四面體的棱長為，外接球半徑為，則， 平面，平面，故，，故，解得，則，.故答案為：四?解答題17.如圖所示，在平面四邊形中，.（1）求的值；（2）將四邊形繞著邊所在的直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體為，求的體積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由余弦定理得出，結(jié)合三角形為正三角形得出的值；（2）幾何體為：上面一個圓錐，下面為一個圓臺，根據(jù)體積公式求解即可.【小問1詳解】連接，在三角形中，由余弦定理知：，易知，故.又，故三角形為正三角形.所以. 【小問2詳解】幾何體為：上面一個圓錐，下面為一個圓臺，圓錐的底面的半徑為，故的體積為.18.蕭縣的蕭窯?淮南的壽州窯和蕪湖的繁昌窯是安徽三大名窯.2015年，安徽省啟動對蕭縣歐盤村窯址的考古發(fā)掘，大量瓷器的出土和窯爐遺跡的揭露，將蕭窯的歷史提溯至隋代.為進一步摸清蕭窯窯址的分布狀況?時空框架以及文化內(nèi)涵等，經(jīng)國家文物局批準(zhǔn)，2021年3月，正式對蕭縣白土寨窯址進行主動性考古發(fā)掘.如圖，為該地出土的一塊三角形瓷器片，其一角已破損.為了復(fù)原該三角形瓷器片，現(xiàn)測得如下數(shù)據(jù)：，.（參考數(shù)據(jù)：取）（1）求三角形瓷器片另外兩邊的長；（2）求兩點之間的距離.【答案】（1）兩邊的長皆為（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，利用正弦定理求解；（2）根據(jù)數(shù)據(jù)，利用余弦定理求解.【小問1詳解】解：如圖， 延長交于點，因為，所以，故，即另外兩邊的長皆為；【小問2詳解】由題意得，故，故兩點之間距離為.19.平面內(nèi)給定三個向量，且.（1）求實數(shù)關(guān)于的表達式；（2）如圖，在中，為中線的中點，過點的直線與邊分別交于點（不與重合）.設(shè)向量，求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的坐標(biāo)運算分別表示出和，利用平行的坐標(biāo)表示可得答案；（2）利用向量運算得到，結(jié)合三點共線得到，再結(jié)合基本不等式可求答案. 【小問1詳解】因為,所以，即.【小問2詳解】由（1）可知，，由題意可知.因為，所以；因為三點共線，所以..所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，即時，取最小值.20.在斜三角形中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求角的大??；（2）若，且上的中線長為，求斜三角形的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理將已知式子進行化簡，再利用余弦定理即可求出角的大??；（2）根據(jù)為為上的中線得，結(jié)合余弦定理求出，進而求出面積.【小問1詳解】因為，所以由正弦定理可得：，即，所以， 又，所以，所以.【小問2詳解】因為為上的中線，所以，即，所以，即，所以①，由余弦定理可得：，所以②①-②得：，所以.21.（1）證明：平行四邊形的四邊平方和等于對角線的平方和；（2）在平行四邊形中，若，求面積的最大值.【答案】（1）證明見解析；（2）【解析】【分析】（1）由平面向量的四則運算即可證明；（2）利用（1）中結(jié)論，并根據(jù)基本不等式和三角形面積公式計算可得.【詳解】（1）證明：由向量的加法和減法運算得：，，所以有：，即，故平行四邊形的四邊平方和等于對角線的平方和.（2）由（1）的結(jié)論知：，由已知有：，所以，故由基本不等式有， ，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號，所以面積的最大值為，此時四邊形為正方形.22.研究表明：正反粒子碰撞會湮滅.某大學(xué)科研團隊在如下圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)（包含邊界）進行粒子撞擊實驗，科研人員在A?O兩處同時釋放甲?乙兩顆粒子.甲粒子在A處按方向做勻速直線運動，乙粒子在O處按方向做勻速直線運動，兩顆粒子碰撞之處記為點P，且粒子相互碰撞或觸碰邊界后爆炸消失.已知長度為6分米，O為中點.（1）已知向量與的夾角為，且足夠長.若兩顆粒子成功發(fā)生碰撞，當(dāng)點距碰撞點處多遠時？兩顆粒子運動路程之和的最大，并求出最大值；（2）設(shè)向量與向量的夾角為（），向量與向量的夾角為（），甲粒子的運動速度是乙粒子運動速度的2倍.請問的長度至少為多少分米，才能確保對任意的，總可以通過調(diào)整甲粒子的釋放角度，使兩顆粒子能成功發(fā)生碰撞？【答案】（1），最大值為6（2）分米【解析】【分析】（1）根據(jù)余弦定理得到，根據(jù)均值不等式得到，得到答案.（2）過作，垂足為，設(shè)，則，計算，，根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)得到最值，得到答案.【小問1詳解】 設(shè)兩顆粒子在點相撞，在中：，即，，故，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，此時時，兩顆粒子運動路程和的最大值，最大值為6【小問2詳解】過作，垂足為，設(shè)，則，則，，故，由余弦定理可得，故，，，，當(dāng)即時，即取得最大值，故，的長度至少為分米，才能確保對任意的，總可以通過調(diào)整乙粒子的釋放角度，使兩顆粒子成功碰撞.