安徽省2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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高一數(shù)學(xué)試卷本試卷共4頁，22題.全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.考生注意事項(xiàng)：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4．考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并上交.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，集合，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】解一元二次方程結(jié)合交集的概念即可得解.【詳解】因?yàn)?，，所?故選：C.2.已知命題，則是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)特稱命題的否定，可得答案.【詳解】“”變?yōu)椤啊?，“”變成其否定“?故選：D.3.若p是q的必要不充分條件，q的充要條件是r，則r是p的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件 【答案】A【解析】【分析】利用題給條件判斷出r與p的邏輯關(guān)系，進(jìn)而得到正確選項(xiàng).【詳解】p是q的必要不充分條件，q的充要條件是r，則有則，又由，可得,則r是p的充分不必要條件.故選：A4.冪函數(shù)（）具有如下性質(zhì)：，則（）A.是奇函數(shù)B.是偶函數(shù)C.既是奇的數(shù)又是偶函數(shù)D.是非奇非偶函數(shù)【答案】B【解析】【分析】已知條件變形后求出即可.【詳解】所以是偶函數(shù).故選：B.5.已知，若，則（）A.2B.C.1D.0【答案】B【解析】【分析】由題可得，進(jìn)而即得.【詳解】∵，，∴必有，∴， 解得或（舍去），∴.故選：B.6.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足，且，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】將變形得到得到大小關(guān)系，對(duì)變形得到得到大小關(guān)系，從而得到答案.【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?故選：B.7.水池有兩個(gè)相同的進(jìn)水口和一個(gè)出水口，每個(gè)口進(jìn)出的速度如圖甲乙所示．某天零點(diǎn)到六點(diǎn)該水池的蓄水量如圖丙所示（至少打開一個(gè)水口）．給出以下三個(gè)論斷：①零點(diǎn)到三點(diǎn)只進(jìn)水不出水；②三點(diǎn)到四點(diǎn)不進(jìn)水只出水；③四點(diǎn)到六點(diǎn)不進(jìn)水也不出水．其中正確論斷的序號(hào)是（）A.①②B.②③C.①③D.①【答案】D【解析】【分析】根據(jù)已知得出每個(gè)時(shí)間段水量變化情況得出每小時(shí)水量增減數(shù)量，結(jié)合每個(gè)進(jìn)水口與出水口的速度，即可得出答案.【詳解】由丙圖可知，從零點(diǎn)到三點(diǎn)該水池的蓄水量是6，即每小時(shí)增加水量為2 ，因此是兩個(gè)進(jìn)水口同時(shí)打開，且出水口沒有打開，所以①對(duì)；從三點(diǎn)到四點(diǎn)蓄水量由6降到5，一個(gè)小時(shí)減少水量為1，因此需要打開一個(gè)進(jìn)水口，一個(gè)出水口，所以②錯(cuò)；從四點(diǎn)到六點(diǎn)蓄水量不變，又題設(shè)要求至少打開一個(gè)水口，所以需要打開兩個(gè)相同的進(jìn)水口和一個(gè)出水口，故③錯(cuò)．故選：D．8.設(shè)函數(shù)，且的定義城為，若所在點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，求出的定義域和值域，根據(jù)構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，列出等式關(guān)系，求出的值.【詳解】因?yàn)榈闹涤驗(yàn)?，所以的值域?yàn)?設(shè)的兩根是，且，則定義域.而點(diǎn)，構(gòu)成一個(gè)正方形區(qū)域，于是.故選：A.二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題中，正確的是（）A.“”是“”的充分不必要條件B.“”是“”的必要不充分條件C.“”是“”的充要條件D.“”是“”的必要不充分條件【答案】AB 【解析】【分析】A項(xiàng)：利用不等式知識(shí)即可判斷；B，C項(xiàng)：根據(jù)充分條件與必要條件知識(shí)即可判斷；D項(xiàng)：根據(jù)交并集知識(shí)即可判斷.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)：由“”可以推出，但反之不可以，故A項(xiàng)正確.對(duì)于B項(xiàng)：由“”推不出“”，但反之可以，故B項(xiàng)正確.對(duì)于C項(xiàng)：由“”可以推出“”，但反之不可以，故C項(xiàng)錯(cuò)誤.對(duì)于D項(xiàng)：由題意知：是(A∩B)∪C的子集，所以“”可以推出“，但反之不可以，故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:AB.10.下列命題中正確的是（）A.函數(shù)在內(nèi)是減函數(shù)B.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)C.如果函數(shù)在上是減函數(shù),那么它在上也是減函數(shù)D.函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)單調(diào)性判斷A；分離常數(shù)，根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性判斷B；判斷函數(shù)為奇函數(shù)，從而確定函數(shù)對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性；利用二次函數(shù)的特征判斷D.【詳解】對(duì)于A，因?yàn)椋詢绾瘮?shù)在內(nèi)是減函數(shù)，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)椋鋱D象關(guān)于中心對(duì)稱，所以在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，函數(shù)是奇函數(shù)，所以它在上也是減函數(shù)，故C正確；對(duì)于D，拋物線的對(duì)稱軸是，在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)，但和的大小不定，故D錯(cuò)誤，故選：ABC. 11.“關(guān)于的方程有實(shí)數(shù)解”的一個(gè)充分不必要條件是（）A.B.C.D.【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)充分不必要條件的定義，結(jié)合分式函數(shù)的值域，可得答案.【詳解】有實(shí)數(shù)解有實(shí)數(shù)解在函數(shù)的值域中取值.由，則的值域是，選項(xiàng)中和是的真子集.故選：CD.12.定義在上的函數(shù)滿足：，且是偶函數(shù)，則（）A.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱B.函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)可得圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，是偶函數(shù)得到函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，逐項(xiàng)判斷可得答案.【詳解】的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故A錯(cuò)誤；是偶函數(shù)函數(shù)的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，故B正確；因?yàn)?，代入中，得到，進(jìn)而，因此，故C正確；由此得到， 所以，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在一間窗戶面積（a）小于地板面積（b）的房子里，窗戶與地板的面積同時(shí)增加（m），則采光條件可變好.根據(jù)這個(gè)事實(shí)可以提煉出一個(gè)不等式，常常稱為“陽光不等式”，它就是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，列出不等關(guān)系，然后利用作差法加以證明.【詳解】.因?yàn)椋?，，因此，?故答案為：14.已知函數(shù)的圖像關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，則實(shí)數(shù)的值為______.【答案】【解析】【分析】對(duì)分離常數(shù)化簡(jiǎn)，根據(jù)反比例函數(shù)的對(duì)稱中心，得到答案.【詳解】因?yàn)閳D象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以且，因此.故答案為：.15.若a，b均為正實(shí)數(shù)，，則的最小值是______.【答案】8【解析】 【分析】由，可化簡(jiǎn)為：，再結(jié)合基本不等式求解.【詳解】由題意得：，當(dāng)且僅當(dāng)，即或時(shí)，取到等號(hào)，故的最小值是.故答案為：.16.已知函數(shù)，則使得的的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】令，則，利用奇偶性和單調(diào)性求解不等式.【詳解】令，顯然是偶函數(shù)，且在內(nèi)單增.因?yàn)椋?，解?故答案為：.四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的值域?yàn)?（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意求出集合，再根據(jù)并集的定義即可得解；（2）由，得，求出函數(shù)的值域，進(jìn)而可得出答案. 【小問1詳解】由，解得.所以，當(dāng)時(shí)，，所以的值域，故；【小問2詳解】因?yàn)椋?，顯然，函數(shù)的值域，從而，即，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍是.18.設(shè)，命題；命題.（1）若為真命題，求的最大值；（2）若一真一假，求m的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）為真命題等價(jià)于，利用基本不等式求出的最小值，即可得解；（2）分別求出為真命題時(shí)的范圍，再分真假和假真兩種情況討論即可.【小問1詳解】為真命題等價(jià)于，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取到等號(hào)， 所以的最小值為，因此，所以，故的最大值是；【小問2詳解】一真一假，當(dāng)為真命題時(shí)，，所以或，若真假，則，解得，若假真，則，解得，綜上可知，的取值范圍是.19.已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，求不等式的解集；（2）若當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的整數(shù)值的集合.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）轉(zhuǎn)化為，再解不等式可得答案；（2）轉(zhuǎn)化為在上恒成立，利用單調(diào)性再求在上的最小值可得答案.【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，就是， 即，且，解得，且，或，故不等式的解集是；【小問2詳解】在上恒成立等價(jià)于在上恒成立，令，設(shè)，，因?yàn)?，所以，所以，，在上單調(diào)遞減，可得函數(shù)在上的最小值為，因此，解得，所以，故的整數(shù)值的集合是.20.某快遞公司為降低新冠肺炎疫情帶來的經(jīng)濟(jì)影響，引進(jìn)智能機(jī)器人分練系統(tǒng)，以提高分練效率和降低物流成本.已知購買x臺(tái)機(jī)器人的總成本為（單位：萬元）.（1）應(yīng)買多少臺(tái)機(jī)器人，可使每臺(tái)機(jī)器人平均成本最低；（2）現(xiàn)按（1）中的數(shù)量購買機(jī)器人，需要安排m人將物件放在機(jī)器人上，機(jī)器人將物件送達(dá)指定分揀處.經(jīng)過實(shí)驗(yàn)知，每臺(tái)機(jī)器人日平均分揀量為（單位：件）.求引進(jìn)機(jī)器人后，日平均分揀量的最大值.【答案】（1）200臺(tái)（2）件【解析】 【分析】（1）根據(jù)題意，每臺(tái)機(jī)器人的平均成本為，然后利用基本不等式求出最小值，即平均成本最低.（2）根據(jù)每臺(tái)機(jī)器人日平均分揀量方程，求出每臺(tái)機(jī)器人日平均分揀量的最大值，然后乘以機(jī)器人數(shù)即可得到答案.【小問1詳解】每臺(tái)機(jī)器人的平均成本為，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào).因此應(yīng)買200臺(tái)機(jī)器人，可使每臺(tái)機(jī)器人的平均成本最低.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，每臺(tái)機(jī)器人日平均分揀量的最大值為450，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，每臺(tái)機(jī)器人的日平均分揀量的最大值為480.因此引進(jìn)200臺(tái)機(jī)器人后，日平均分揀量的最大值為件.21.我們知道，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.即a，b的算術(shù)平均數(shù)的平方不大于a，b平方的算術(shù)平均數(shù).此結(jié)論可以推廣到三元，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立（1）證明：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.（2）已知.若不等式恒成立，利用（1）中的不等式，求實(shí)數(shù)的最小值.【答案】21.證明見解析22.【解析】【分析】（1）運(yùn)用作差法比較并配方后即得；（2）將題中的相關(guān)量整體替換入（1）中的不等式并化簡(jiǎn)，再運(yùn)用參變分離法即可求得.【小問1詳解】 故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，由（1）中的不等式得，，所以，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.因此的最大值為.由恒成立可得：，因的最大值為，故有：即實(shí)數(shù)的最小值為.22.已知函數(shù)，其中.若存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方壁有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根.（1）求的整數(shù)值；（2）設(shè)函數(shù)?。?）中的整數(shù)值.若在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）2（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)圖象可得時(shí)函數(shù)與的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)在，轉(zhuǎn)化為存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，根據(jù)圖象可得答案；（2）根據(jù)的單調(diào)性可得答案.【小問1詳解】 因，，所以當(dāng)時(shí)函數(shù)與的交點(diǎn)中，當(dāng)時(shí)，，是增函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，也增函數(shù)，當(dāng)“點(diǎn)在點(diǎn)上方”時(shí)，存在實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即存在實(shí)數(shù)，使直線與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，所以，只有適合.故的整數(shù)值是2；【小問2詳解】，在上，單調(diào)遞增，等價(jià)于，即，在上，單調(diào)遞增，等價(jià)于，即，綜上知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.