安徽省六安市六安二中教育集團2024屆高三上學期第二次（10月）月考數(shù)學Word版含解析.docx

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六安二中教育集團2024屆高三第二次月考數(shù)學試題分值：150分時間：120分鐘注意事項或溫馨提示1．考生務必將自已的姓名、考生號、考試科目涂寫在答題卡上．2．每小題選出答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號．不能答在試題卷上．3．請按照題號在各題的答題區(qū)域（黑色線框）內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.4．保持答題卡卷面清潔，不折疊，不破損.一、單項選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的，請將正確的選項填涂在答題卡上．1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】先根據(jù)一元二次不等式的解法和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別求得集合，再結合集合的交集和補集的運算，即可求解.【詳解】由不等式，解得或，即或又由有意義，則滿足，解得，即，可得，所以.故選：D.2.若命題“，”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為對任意的，不等式恒成立，結合二次函數(shù)的性質(zhì)，列出不等式，即可求解.【詳解】由命題“”為假命題，可得命題“”為真命題，即對任意的，不等式恒成立，則滿足，解得，即實數(shù)的取值范圍是.故選：A.3.在中，已知，，若有兩解，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)正弦定理及圖形關系得到即可得到答案.【詳解】如上圖所示，要使有兩解，則以為圓心，為半徑的圓與射線有兩個交點，有兩解的充要條件為，代入題設得.故選：C.4.已知，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用同角三角函數(shù)的基本關系求出、，即可得解.【詳解】因為， 所以，即，即，顯然，所以，則，又，所以，所以.故選：D5.教室通風的目的是通過空氣的流動，排出室內(nèi)的污濁空氣和致病微生物，降低室內(nèi)二氧化碳和致病微生物的濃度，送進室外的新鮮空氣．按照國家標準，教室內(nèi)空氣中二氧化碳最高容許濃度為0.15%．經(jīng)測定，剛下課時，空氣中含有0.25%的二氧化碳，若開窗通風后教室內(nèi)二氧化碳的濃度為，且隨時間（單位：分鐘）的變化規(guī)律可以用函數(shù)描述，則該教室內(nèi)的二氧化碳濃度達到國家標準需要的時間（單位：分鐘）的最小整數(shù)值為（）A.7B.8C.9D.10【答案】A【解析】【分析】根據(jù)已知條件求得，然后列不等式來求得的取值范圍，進而求得的最小整數(shù)值.【詳解】當時，，所以，由得，，所以的最小整數(shù)值為.故選：A6.已知函數(shù)（），若在區(qū)間內(nèi)有且僅有3個零點和3條對稱軸，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A 【解析】【分析】利用整體換元法，結合余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】函數(shù)．當時，令，則，若在有且僅有3個零點和3條對稱軸，則在有且僅有3個零點和3條對稱軸，則，解得.故選：A．7.已知，，，則，，的大小關系為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】構造函數(shù)，，，令求導分析單調(diào)性可判斷，再令，求導分析單調(diào)性可判斷.【詳解】，，，構造函數(shù)，，，令，，則，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，所以，所以．令，，，所以上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以，所以． 故選：D8.已知函數(shù)f（x）＝sinx的圖像與直線恰好有三個公共點，這三個點的橫坐標從小到大分別為，，則的值為（）A.－2B.－1C.0D.1【答案】A【解析】【分析】注意到過定點，該點為f（x）＝sinx的對稱中心，則，.又恰好有3個交點，則直線為f（x）＝sinx在處切線，則，據(jù)此可得答案.【詳解】，得直線過定點，該點為f（x）＝sinx的對稱中心，則，.得，.又恰好有3個交點，則直線為f（x）＝sinx在處切線，則.又，則.故選：A二、多項選擇題：本大題共4小題，每題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求的，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．請將正確的選項填涂在答題卡上．9.下列說法正確的是（）A.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為B.冪函數(shù)在上為減函數(shù)，則的值為1C.“”是“”的既不充分也不必要條件 D.在，“”是“”的充要條件【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)的定義域求法，可判定A錯誤；根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)，實數(shù)的運算性質(zhì)，以三角形的性質(zhì)和正弦定理，結合充分、必要條件的判定方法，可判定BCD正確.【詳解】對于A中，由函數(shù)的定義域為，令，解得，即函數(shù)的定義域為，所以A錯誤；對于B中，由冪函數(shù)，可得，即，解得或，當時，可得，此時函數(shù)在上為減函數(shù)，符合題意；當時，可得，此時函數(shù)在上為增函數(shù)，不符合題意，所以的值為，所以B正確；對于C中，例如：當時，可得，即充分性不成立；反之：當，時，滿足，但，即必要性不成立，所以是既不充分也不必要條件，所以C正確；對于D中，在，若，可得，由正弦定理得；反之：若，由正弦定理得，則，所以“”是“”的充要條件，所以D正確.故選：BCD.10.若，，且，則下列說法正確的是（）A.有最大值B.有最大值2C有最小值4D.有最小值【答案】AC【解析】【分析】利用基本不等式逐一判斷即可.【詳解】對于A，， 當且僅當時取等號，所以有最大值，故A正確；對于B，因為，所以，所以，當且僅當時取等號，所以有最大值，故B錯誤；對于C，，當且僅當，即時取等號，所以有最小值4，故C正確；對于D，因為，所以，所以，當且僅當時取等號，所以有最小值，故D錯誤.故選：AC.11.已知函數(shù)，若存在實數(shù)a使得方程有五個互不相等的實數(shù)根分別為，，，，，且，則下列說法正確的有（）A.B.C.D.的取值范圍為【答案】BCD【解析】【分析】作出在上的圖象，由方程有五個互不相等的實數(shù)根，結合圖象可得，從而判斷A；由對數(shù)的性質(zhì)可得，從而有 ，結合基本不等式即可判斷B；由題意可得，結合，即可判斷C；由余弦函數(shù)的對稱性可得，，代入得，利用二次函數(shù)的性質(zhì)及不等式的性質(zhì)可求得的范圍，從而判斷D.【詳解】作出在上的圖象，如圖所示：對于A，因為，又因為方程有五個互不相等的實數(shù)根，所以，故A錯誤；對于B，由題意可得，且有所以，所以，當且僅當，即時，等號成立，故B正確；對于C，由題意可得，由A可知，所以，故C正確；對于D，由圖可知：與關于對稱，與關于對稱，且，，所以，所以 因為，所以，所以，又因為，所以，所以，所以，即，故D正確.故選：BCD【點睛】關鍵點睛：這道題的關鍵是能夠準確作出在上的圖象，再結合對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)和余弦函數(shù)的對稱性，即可求解問題.12.已知函數(shù)及其導函數(shù)的定義域均為，若函數(shù)，都為偶函數(shù)，令，則下列結論正確的有（）A.的圖象關于對稱B.的圖象關于點對稱C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性可求得函數(shù)的圖象關于對稱，的圖象關于點成中心對稱，即AB正確；又可知，所以，即C錯誤；經(jīng)計算可知，又，，即可得是等差數(shù)列，由前項和公式可得D正確.【詳解】根據(jù)題意偶函數(shù)可得，即可知，所以函數(shù)的圖象關于對稱，即A正確；由是偶函數(shù)可得為奇函數(shù)， 所以滿足，即，因此的圖象關于點成中心對稱，所以B正確；由可知，所以；即，所以的圖象關于點成中心對稱，因此，即C錯誤；易知，，由可得，聯(lián)立可得；所以；即，易知是以為首項，公差的等差數(shù)列；所以代入等差數(shù)列前項和公式可知，即D正確；故選：ABD【點睛】方法點睛：求解函數(shù)性質(zhì)綜合問題時，往往借助函數(shù)奇偶性、對稱性、周期性等性質(zhì)進行推理證明，結合對稱軸、對稱中心等實現(xiàn)求和計算即可.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分．）13.已知函數(shù)，則__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)解析式，結合對數(shù)的運算，準確計算，即可求解.【詳解】由函數(shù)，可得，所以.故答案為：.14.已知，，則______. 【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結合二倍角公式，以及余弦的兩角差公式，即可求解．【詳解】由得，，又，則則，，所以.故答案為：．15.在中，，，當取最大值時，的面積為______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正弦定理，結合三角恒等變換可得，其中，，再根據(jù)正弦型函數(shù)的最值結合面積公式求解即可.【詳解】在中，利用正弦定理，所以，，有，即，其中，， 取最大值，即時，有，，所以，，所以.故答案為：.16.已知是函數(shù)在其定義域上的導函數(shù)，且，，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)存在零點，則實數(shù)m的取值范圍是______．【答案】【解析】【分析】先根據(jù)及得到，利用同構得到有解，構造，得到，故，參變分離得到在有解，令，求導得到其單調(diào)性，極值和最值情況，得到答案.【詳解】，所以，故，所以，為常數(shù)，因為，又，故，所以，若在區(qū)間內(nèi)存在零點，則在區(qū)間內(nèi)存在零點，整理得， 設，則，令得，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，所以在處取得極小值，也是最小值，，故時，成立，即存在，使得有解，即有解，令，則，當時，，當時，，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極小值，也是最小值，又，故，所以，故實數(shù)m的取值范圍.故答案為：【點睛】方法點睛：利用函數(shù)與導函數(shù)的相關不等式構造函數(shù)，然后利用所構造的函數(shù)的單調(diào)性解不等式，是高考?？碱}目，以下是構造函數(shù)的常見思路：比如：若，則構造，若，則構造，若，則構造，若，則構造.四、解答題（本題共6小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．）17.在中，角，，所對的邊分別為，，，滿足． （1）求的值；（2）若，且的面積為，求的周長．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理結合三角恒等變換得到，計算得到答案.（2）根據(jù)面積公式得到，根據(jù)余弦定理得到，整理得到答案.【小問1詳解】，則即，因為，則，所以，，則．【小問2詳解】，得，又，得，所以，即，又，，所以，所以周長是.18.已知，其中，，，且滿足，．（1）求的解析式；（2）若關于的方程在區(qū)間上總有實數(shù)解，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）．【解析】 【分析】（1）利用三角函數(shù)的倍角公式對原函數(shù)化簡，可求得與的關系式，再結合導數(shù)的運算法則即可求解；（2）利用正弦函數(shù)的單調(diào)性可得出函數(shù)的值域，再利用對數(shù)函數(shù)得單調(diào)性即可得解.【小問1詳解】由題意，函數(shù)，由得，，又因為，由，得：，所以，所以的解析式為：.【小問2詳解】由（1）得，因為，所以，所以，則有，即又因為方程在區(qū)間上總有實數(shù)解，所以在區(qū)間上成立，所以，，所以，所以實數(shù)的取值范圍為. 19.已知函數(shù)，當時，有極大值，且.（1）求函數(shù)的解析式；（2）在（1）的條件下，討論函數(shù)在上的最大值.【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意，可求得，再結合，即可求解；（2）分、和三種情況結合單調(diào)性討論即可求解.【小問1詳解】因為，所以，因為時，有極大值所以：，即，即.當時，，令，即；令，即或，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故在處取得極大值，符合題目條件.又，所以，所以.【小問2詳解】由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.①當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，；②當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增， 又，所以；③當是，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，綜上所述，當或時，；當時，.20.如圖，已知扇形是一個觀光區(qū)的平面示意圖，其中扇形半徑為10米，，為了便于游客觀光和旅游，提出以下兩種設計方案：（1）如圖1，擬在觀光區(qū)內(nèi)規(guī)劃一條三角形形狀的道路，道路的一個頂點B在弧上（不含端點），，另一頂點A在半徑OM上，且，的周長為，求的表達式并求的最大值；（2）如圖2，擬在觀光區(qū)內(nèi)規(guī)劃一個三角形區(qū)域種植花卉，三角形花圃的一個頂點B在弧MN上，另兩個頂點A、C分別在半徑OM、ON上，且，，求花圃面積的最大值．【答案】（1），（2）【解析】 【分析】(1)由題意結合圖形，可得，由正弦定理得，，代入的周長得，由三角恒等變換化簡得，根據(jù)的范圍即可求出的最大值；(2)由圖可知，的面積的面積相等，由余弦定理得，再由基本不等式得，代入的面積公式即可求面積的最大值．【小問1詳解】因為，，所以，，又因為，，所以在中，由正弦定理知得，∴，，周長為，，所以，∵，∴，∴當時，即時，周長取最大值，為．【小問2詳解】由題意，可知（2）中的面積與（1）中同底等高，即二者面積相等，在中，，，，，由余弦定理知：，∴，當且僅當時等號成立， ∴，．即花圃面積的最大值為．21.已知.（1）當時，求的最小值；（2）當時，有恒成立，求b的取值范圍.【答案】（1）0（2）【解析】【分析】（1）求函數(shù)的定義域和導函數(shù)，根據(jù)的單調(diào)性確定函數(shù)的取值規(guī)律，由此判斷函數(shù)的單調(diào)性，求其最值；（2）已知條件等價于等價于在上恒成立，利用導數(shù)求函數(shù)的最小值可得b的取值范圍.【小問1詳解】由題意知，，所以，易見在上遞增，且，所以當時，，即，在上單調(diào)遞減，當時，，即，在上單調(diào)遞增，故，所以的最小值為0.【小問2詳解】由已知在上恒成立，即在上恒成立， 也即在上恒成立.令，，所以，令，則是上的增函數(shù)，又因為，，所以在區(qū)間上存在唯一的零點，即，由得，又由函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，上式等價于所以，，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，所以，所以.【點睛】對于恒成立問題，常用到以下兩個結論：(1)恒成立?；(2)恒成立?.22.已知函數(shù)的圖象在點處的切線與軸垂直．（1）求實數(shù)的值．（2）討論在區(qū)間上的零點個數(shù)．【答案】（1） （2）在區(qū)間上的零點個數(shù)為2【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導函數(shù)，依題意可得，解得即可；（2）由（1）知，求出函數(shù)導函數(shù)，令，利用導數(shù)說明的單調(diào)性，即可得到在上的零點情況，當時，將變形得，令，利用導數(shù)說明的單調(diào)性，即可判斷其零點個數(shù)，從而得解.【小問1詳解】因為，則，由題意得，函數(shù)的圖象在點處的切線斜率為，即，解得．【小問2詳解】由（1）知，，，令，則．當時，，，此時，單調(diào)遞增，，故函數(shù)單調(diào)遞減，所以，故函數(shù)在上無零點．當時，將變形得，設，則，設，則，易知當時，，當時，，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又，，， 故存在，使，當時，，單調(diào)遞增；當時，，單調(diào)遞減，又，故，又，故函數(shù)在上沒有零點，在上有1個零點．綜上所述，在區(qū)間上的零點個數(shù)為2．【點睛】方法點睛：導函數(shù)中常用的兩種常用的轉(zhuǎn)化方法：一是利用導數(shù)研究含參函數(shù)的單調(diào)性，常化為不等式恒成立問題．注意分類討論與數(shù)形結合思想的應用；二是函數(shù)的零點、不等式證明常轉(zhuǎn)化為函數(shù)的單調(diào)性、極(最)值問題處理．