【數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)】論文——商品的訂購(gòu)與銷售的數(shù)學(xué)模型

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1、商品的訂購(gòu)與銷售的數(shù)學(xué)模型[摘要]:本問(wèn)題是有關(guān)商店獲利的運(yùn)籌學(xué)問(wèn)題.本文通過(guò)對(duì)1~4月4個(gè)月內(nèi)商店銷售商品的總售價(jià)、總成本以及總存貯費(fèi)的計(jì)算，建立了使總利潤(rùn)獲利最大的目標(biāo)函數(shù)的數(shù)學(xué)模型，此模型為一個(gè)二次規(guī)劃的非線性的優(yōu)化模型.對(duì)于所建立的二次規(guī)劃模型，本文把此模型分解為兩個(gè)模型:模型Ⅰ、模型Ⅱ,并利用數(shù)學(xué)軟件（Matlab）分別求解這兩個(gè)模型,得出了1~4月份每月份的進(jìn)貨量分別為5,10,10,8(單位)；售出量分別為10,10,10,8(單位)；以及每月存貯的商品量分別為0(5),0,0,0(單位).從而解出了1~4月份商店商

2、品的總售價(jià)為396千元；總成本為213.5千元；總的存貯費(fèi)為2.5千元.通過(guò)對(duì)以上部分的計(jì)算求出了4個(gè)月內(nèi)商店所獲的最大利潤(rùn)為180.0千元.關(guān)鍵詞：二次規(guī)劃;非線性優(yōu)化;模型分解1問(wèn)題的提出某商店在未來(lái)4個(gè)月內(nèi)，準(zhǔn)備利用商店里一個(gè)倉(cāng)庫(kù)專門經(jīng)銷某種商品，該倉(cāng)庫(kù)最多能存放10單位商品.設(shè)商店每月只能售出倉(cāng)庫(kù)現(xiàn)有的貨，而每月所購(gòu)的貨只能在下個(gè)月初到貨，又設(shè)該商品在1月初的存貨為5單位，而1~4月該商品的售價(jià)分別為12，9，13，7（千元），而進(jìn)貨價(jià)則與進(jìn)貨量有關(guān)，分別為其中為第月份的購(gòu)買量.又設(shè)每個(gè)月月底存貨在下個(gè)月的存貯費(fèi)用每單位為

3、千元.試制訂進(jìn)貨及銷售計(jì)劃，使總利潤(rùn)最大.2問(wèn)題的分析本問(wèn)題是一個(gè)有關(guān)商店獲利的運(yùn)籌學(xué)問(wèn)題，目的是制訂進(jìn)貨及銷售計(jì)劃，使總利潤(rùn)最大，而由題意可以知道:因此，只要對(duì)售出商品總價(jià)、成本、存貯費(fèi)進(jìn)行計(jì)算優(yōu)化，然后再制訂出商品的進(jìn)貨與銷售計(jì)劃，使商店所獲利潤(rùn)最大即可.3問(wèn)題的基本假設(shè)與符號(hào)說(shuō)明3.1基本假設(shè)1該倉(cāng)庫(kù)最多能存放10單位商品2該商店每月只能售出倉(cāng)庫(kù)現(xiàn)有的貨3每個(gè)月所購(gòu)的貨只能在下個(gè)月初到貨4該商品在1月初的存貨為上年剩下的，1月份所到的貨為上年12月所訂5每個(gè)月月底存貨在下個(gè)月的貯存費(fèi)用每單位0.5千元3.2符號(hào)的說(shuō)明1244

4、模型的建立4.1售出商品總價(jià)4.2總成本4.3總的存貯費(fèi)用由假設(shè)4可知:去年12月份存貨1月份商品總數(shù)為1月份剩余商品數(shù)為2月份剩余商品數(shù)為3月份剩余商品數(shù)為4月份剩余商品數(shù)為由于4月份的存貨其貯存費(fèi)算在5月份內(nèi)可忽略4月份的存貨不計(jì)即1-4月份四個(gè)月內(nèi)共存貨總的存貯費(fèi)用為4.4目標(biāo)函數(shù):總利潤(rùn)124目標(biāo)函數(shù):5模型的求解所建立的數(shù)學(xué)模型為二次規(guī)劃模型,含有8個(gè)未知量.為了簡(jiǎn)化計(jì)算,把模型分為兩個(gè)分模型,然后再用數(shù)學(xué)軟件(Matlab)求解出最優(yōu)解.5.1模型的分解我們把目標(biāo)函數(shù)分解為模型Ⅰ:5.2模型Ⅰ的求解的求解：由于此目標(biāo)函

5、數(shù)為二次非線性規(guī)劃,故可以用數(shù)學(xué)軟件(Matlab)中的二次優(yōu)化中的函數(shù)可求出程序(見(jiàn)附錄一):124可以求出:由于為第月份所購(gòu)買的商品量,所以,即取整數(shù).故有從而求得，5.3模型Ⅱ的求解的求解易由題意知：易知，此分模型為一次線性規(guī)劃模型，也可用數(shù)學(xué)軟件（Matlab）求得與.程序(見(jiàn)附錄二)：可得到最優(yōu)解為即當(dāng)時(shí)，5.4的求解所以商店在1~4月份4個(gè)月內(nèi)所獲得的總的利潤(rùn)最大為千元.即當(dāng)商店獲得最大利潤(rùn)時(shí)，1241~4月內(nèi)商店對(duì)商品的進(jìn)貨量、售貨量、存貨量以及所獲得總的利潤(rùn)如表所示：月份1234進(jìn)貨量（單位）510108售貨量（單

6、位）1010108月底存貨量（單位）0(5)000總利潤(rùn)（千元）180.0并解得,售出商品的總價(jià)為:千元總成本為:總存貯費(fèi)為:千元.6結(jié)果的分析與檢驗(yàn)6.1結(jié)果的分析用軟件求得,當(dāng)且時(shí),商店能獲得的最大利潤(rùn)為180.0千元,即是說(shuō)能把商店的倉(cāng)庫(kù)里所有的存貨與所進(jìn)的貨能全售出去的時(shí)候,這時(shí),可不計(jì)月底存貨的存貯費(fèi)用以及用多余的錢去進(jìn)可能售出去的貨.此時(shí),商店獲得的利潤(rùn)最大.6.2結(jié)果的檢驗(yàn)當(dāng)時(shí),而上年的12月份存貨到1月份有5單位的貨,即1月份共有貨單位.我們知道,即1月份就把貨全售了出去,沒(méi)貨存到2月份.此時(shí),1月份的總售價(jià)為千元

7、,存貯費(fèi)用為千元,總的進(jìn)貨價(jià)為千元.1月份所獲利潤(rùn)為千元.同理,2月份共有貨單位,而售出單位,此時(shí)存貨為0單位.這時(shí),2月份的總售價(jià)為千元,存貯費(fèi)為0,進(jìn)貨價(jià)為千元即2月份所獲的利潤(rùn)為千元同理,我們可得,1243月份所獲利潤(rùn)為千元.4月份共有貨單位,而售出單位,此時(shí)不考慮存貨量,也同時(shí)不存在有貨剩余的情況.這時(shí)4月份的總售價(jià)為千元,進(jìn)貨價(jià)為千元,則4月份所獲利潤(rùn)為56-56=0千元.即是說(shuō)4月份是個(gè)對(duì)商品的訂購(gòu)與銷售的結(jié)束期,并不能使商店獲利.由上述可知,該商店在1~4月份4個(gè)月內(nèi)工獲利潤(rùn)為千元此時(shí)我們很清楚地知道,檢驗(yàn)的結(jié)果與求

8、解出來(lái)的結(jié)果相一致.通過(guò)驗(yàn)證,事實(shí)證明,當(dāng)達(dá)到上述方案時(shí),商店能獲得最大的總利潤(rùn).所以我們?cè)撋痰陮?duì)某種商品制訂的進(jìn)貨與銷售的計(jì)劃如下:前3個(gè)月進(jìn)貨的量盡量接近倉(cāng)庫(kù)的最大容納的貨量,而第4個(gè)月通過(guò)調(diào)查,須適當(dāng)?shù)販p少進(jìn)貨量.即:由于1月初有存貨,因而1