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《文科經(jīng)管類微積分第八章》由會員上傳分享，免費在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——微積分大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第四十九講常數(shù)項級數(shù)的概念腳本編寫：教案制作：n個0n個9通俗地說：無限多個數(shù)的和可以是一個有限的數(shù).引例1:《莊子·天下篇》：“一尺之棰,日取其半,萬世不竭”.意思是:一尺長的棍子,第一天取其一半,第二天取其剩下的一半,以后每天都取其剩下的一半,這樣永遠也取不完.引例2把每日所取排列起來：棰取走的部分總共長：此是公比為的等比數(shù)列，—(常數(shù)項)無窮級數(shù)一般項部分和數(shù)列級數(shù)的部分和常數(shù)項級數(shù)的定義u1,u2,u3,???,un,???,下列各式均為常數(shù)項級數(shù)例1級數(shù)舉例調(diào)和級數(shù)幾何級數(shù)級數(shù)的展開形式備注一般項簡寫形
2、式等比級數(shù)aqn-1p—級數(shù)下頁級數(shù)斂散性定義(包括極限為?),余項rn?s?sn?un?1?un?2????下頁例2.證明級數(shù)1?2?3?????n????是發(fā)散的.此級數(shù)的部分和為證:下頁故級數(shù)發(fā)散.例1討論級數(shù)的斂散性.解:因則解收斂發(fā)散例1討論等比級數(shù)(幾何級數(shù))的收斂性.當(dāng)公比
3、q
4、<1時,等比級數(shù)收斂；當(dāng)公比
5、q
6、>1時,等比級數(shù)發(fā)散.發(fā)散發(fā)散綜上所述,例1討論等比級數(shù)(幾何級數(shù))的收斂性.當(dāng)公比
7、q
8、<1時,等比級數(shù)收斂；當(dāng)公比
9、q
10、?1時,等比級數(shù)發(fā)散.例7收斂嗎?解:因為收斂.例8討論的收斂性.解:因收斂,即是一個有限的數(shù),而從1加到也是個有限的
11、數(shù),因此級數(shù)收斂.例2.判別級數(shù)的斂散性:解:利用“拆項”求和所以級數(shù)發(fā)散.解:例2討論無窮級數(shù)的收斂性.二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)sn、sn、tn,則結(jié)論:兩個收斂級數(shù)可以逐項相加與逐項相減.性質(zhì)2設(shè)有兩個收斂級數(shù)則級數(shù)也收斂,且有注:證(2):矛盾.假設(shè)收斂,二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)性質(zhì)3在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項,不會改變級數(shù)的收斂性.性質(zhì)1性質(zhì)2下頁二、收斂級數(shù)的基本性質(zhì)推論如果加括號后所成的級數(shù)發(fā)散,則原來級數(shù)也發(fā)散.性質(zhì)1性質(zhì)2性質(zhì)4如果級數(shù)收斂,則對這級數(shù)的項任意加括號后所成的級數(shù)仍收斂,且其和不變.性質(zhì)3在級數(shù)中去掉、加上或改變有限項,不會改變級數(shù)的
12、收斂性.下頁收斂,則也收斂.加括號仍為收斂級數(shù).注收斂級數(shù)是收斂的.注“加括號后所成的級數(shù)收斂,原級數(shù)不一定收斂.”例如級數(shù)是發(fā)散級數(shù).但將相鄰的兩項加括號后所得級數(shù)收斂,則也收斂.例7性質(zhì)2收斂嗎?解:因為和均收斂,根據(jù)性質(zhì)2,級數(shù)收斂.級數(shù)收斂的必要條件下頁若級數(shù)收斂,則必有定理n個0級數(shù)收斂的必要條件證:注意:(1)級數(shù)的一般項趨于零并不是級數(shù)收斂的充分條件,不能因為一般項趨于零就斷定級數(shù)收斂.(2)如果一般項不趨于零,則級數(shù)必發(fā)散.因此此性質(zhì)常用于判斷級數(shù)發(fā)散.下頁若級數(shù)收斂,則必有定理由于故該級數(shù)發(fā)散.解:例5級數(shù)收斂的必要條件:若級數(shù)收斂,則必有是必要
13、不充分條件:再舉一例：級數(shù)收斂的必要條件若級數(shù)收斂,則必有定理但級數(shù)是否收斂?例4.這是因為y=1/x結(jié)束級數(shù)收斂的必要條件若級數(shù)收斂,則必有定理作業(yè)P1261.2.3.4.(1)(3)(5)(7)(8)5.(1)高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——微積分大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第五十講正項級數(shù)腳本編寫：教案制作：§8.2正項級數(shù)及其審斂法上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁第二節(jié)常數(shù)項級數(shù)的審斂法1.定義:這種級數(shù)稱為正項級數(shù).2.正項級數(shù)收斂的充要條件:定理一、正項級數(shù)及其審斂法極限不存在證明第一比較判別法(2)是(1)的等價命題.則大收小收,小發(fā)大發(fā).第一比較判別法解例2重要參考級數(shù):
14、p-級數(shù),調(diào)和級數(shù)，幾何級數(shù)．例2提示:解:例3例4解:要應(yīng)用比較判別法來判別給定級數(shù)的收斂性,就必須給定級數(shù)的一般項與某一已知級數(shù)的一般項之間的不等式,但有時直接建立這樣的不等式相當(dāng)困難,為應(yīng)用方便,我們給出比較判別法的極限形式.定理8(第一比較判別法的極限形式)若兩個正項級數(shù)滿足:(1)當(dāng)015、形式)若兩個正項級數(shù)滿足:(1)當(dāng)016、的斂散性:
