文科經(jīng)管類微積分第七章

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1、高等院校非數(shù)學(xué)類本科數(shù)學(xué)課程——微積分大學(xué)數(shù)學(xué)（一）第三十九講二元函數(shù)的基本概念腳本編寫：教案制作：§7.1二元函數(shù)的基本概念一、鄰域二、二元函數(shù)概念三、二元函數(shù)的極限四、二元函數(shù)的連續(xù)性上頁下頁鈴結(jié)束返回首頁二、多元函數(shù)的概念引例:?圓柱體的體積二元函數(shù)的微積分下面在一元函數(shù)微積分的基礎(chǔ)上,來研究多元函數(shù)的微積分.因從一元函數(shù)到二元函數(shù)將會(huì)面臨一些新問題,而從二元函數(shù)到二元以上的多元函數(shù),可完全類推;需首先介紹一些空間故下面主要研究二元要研究二元函數(shù),現(xiàn)就必備知識(shí)作解析幾何知識(shí).簡(jiǎn)單介紹.函數(shù)的微積分及其應(yīng)用.空間直角坐標(biāo)系（三維直角坐標(biāo)系）右手原則（

2、縱軸）（橫軸）（豎軸）O平面平面平面O三個(gè)坐標(biāo)平面分空間為八個(gè)卦限（演示）ⅢⅣⅠⅡⅤⅥⅦⅧ三個(gè)坐標(biāo)平面八個(gè)卦限空間的點(diǎn)有序數(shù)組特殊點(diǎn)的表示:二、空間中點(diǎn)的直角坐標(biāo)(稱為點(diǎn)M的坐標(biāo))xyz空間中兩點(diǎn)間的距離：?兩點(diǎn)間的距離點(diǎn)M到原點(diǎn)的距離平面直角坐標(biāo)系oxy平面內(nèi)任取一點(diǎn)O——原點(diǎn)過O點(diǎn)另作一垂線——y軸（縱軸）過O點(diǎn)做一直線——x軸（橫軸）兩坐標(biāo)軸分平面為Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ象限實(shí)數(shù)對(duì)對(duì)應(yīng)平面內(nèi)的點(diǎn)P，記作，分別稱數(shù)x為點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，數(shù)y為點(diǎn)P的縱坐標(biāo)。平面內(nèi)的點(diǎn)p與實(shí)數(shù)對(duì)(x,y)一一對(duì)應(yīng)ⅠⅡⅢⅣP(x,y)xyoxyP(x,y)xy平面內(nèi)的點(diǎn)p與實(shí)數(shù)對(duì)(x

3、,y)一一對(duì)應(yīng)一、區(qū)域1.鄰域設(shè)P0(x0,y0)是xOy平面上的一個(gè)點(diǎn),d是某一正數(shù).點(diǎn)集U(P0,d)U(P0,d)?{P

4、

5、PP0

6、

7、0<

8、PP0

9、

10、域，稱為開區(qū)域；只包含部分邊界的區(qū)域，稱為半開半閉區(qū)域。D是閉區(qū)域D是開區(qū)域如果一個(gè)區(qū)域可以被包圍在一個(gè)以原點(diǎn)為圓心的某個(gè)圓內(nèi)，則稱此區(qū)域?yàn)橛薪鐓^(qū)域，否則稱其為無界區(qū)域.區(qū)域舉例D4={(x,y)

11、1?x2+y2?4}.D3={(x,y)

12、1

13、x+y>0}.D2={(x,y)

14、x+y?0}.下頁開區(qū)域閉區(qū)域開區(qū)域無界區(qū)域無界區(qū)域有界區(qū)域有界區(qū)域閉區(qū)域二、二元函數(shù)概念二元函數(shù)的定義設(shè)D是xoy平面上的一個(gè)點(diǎn)集.如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn)P(x,y)?D,變量z按照一定法則總有確定的值和它對(duì)應(yīng),則稱z是變量x,y的二元函數(shù)(或點(diǎn)P的

15、函數(shù)),記為z=f(x,y)(或z=f(P)).在定義中,D是定義域,x和y是自變量,z是因變量.下頁z=ln(x+y)是二元函數(shù),其定義域?yàn)閧(x,y)

16、x+y>0}(無界開區(qū)域).下頁二、二元函數(shù)概念二元函數(shù)的定義設(shè)D是平面上的一個(gè)點(diǎn)集.如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn)P(x,y)?D,變量z按照一定法則總有確定的值和它對(duì)應(yīng),則稱z是變量x,y的二元函數(shù)(或點(diǎn)P的函數(shù)),記為z=f(x,y)(或z=f(P)).函數(shù)舉例函數(shù)舉例z?arcsin(x2+y2)是二元函數(shù),其的定義域?yàn)閧(x,y)

17、x2+y2?1}(有界閉區(qū)域).下頁二、二元函數(shù)概念二元函數(shù)的定義設(shè)D是平面

18、上的一個(gè)點(diǎn)集.如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn)P(x,y)?D,變量z按照一定法則總有確定的值和它對(duì)應(yīng),則稱z是變量x,y的二元函數(shù)(或點(diǎn)P的函數(shù)),記為z=f(x,y)(或z=f(P)).值域{z

19、z=f(x,y),(x,y)?D}.二元函數(shù)的圖形當(dāng)(x,y)在D中變動(dòng)時(shí),點(diǎn)M(x,y,z)在空間中變動(dòng),當(dāng)(x,y)取遍D中一切點(diǎn)時(shí),M(x,y,z)在三維空間中"織"出一片曲面.按二元函數(shù)定義，對(duì)于任意(x,y)?D.可以唯一確定實(shí)數(shù)z,從而確定了空間一個(gè)點(diǎn)M(x,y,z).值域{z

20、z=f(x,y),(x,y)?D}.二元函數(shù)的圖形按二元函數(shù)定義，對(duì)于任意(x,y)?

21、D.可以唯一確定實(shí)數(shù)z,從而確定了空間一個(gè)點(diǎn)M(x,y,z).即二元函數(shù)表示空間中一片曲面,定義域D是該曲面在xoy平面上投影.例3求球心在點(diǎn)半徑為R的球面方程.特別地,以原點(diǎn)為球心,R為半徑的球面方程為M0MROxyz二元函數(shù)極限和連續(xù)性證明二元函數(shù)極限不存在的方法1、找出兩條不同的路徑使得點(diǎn)P沿這兩條路徑趨向于時(shí)，f(x,y)極限不相等.2、找一條特殊的路徑（y=kx)使得f(x,y)的極限不存在.解當(dāng)點(diǎn)(x,y)沿x軸(y=0)趨于(0,0)時(shí),得但當(dāng)點(diǎn)(x,y)沿拋物線趨于(0,0)時(shí),卻得（2）二元函數(shù)極限的求法極限的四則運(yùn)算法則以及極限變量替

22、換法均仍成立。二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)的情況類似.=1?2=2.例2.解