中南大學(xué)微積分(上)總復(fù)習(xí)課

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1、微積分IA總復(fù)習(xí)函數(shù)與極限一、主要內(nèi)容函數(shù)的定義反函數(shù)隱函數(shù)反函數(shù)與直接函數(shù)之間關(guān)系基本初等函數(shù)復(fù)合函數(shù)初等函數(shù)函數(shù)的性質(zhì)單值與多值奇偶性單調(diào)性有界性周期性雙曲函數(shù)與反雙曲函數(shù)函數(shù)的分類函數(shù)初等函數(shù)非初等函數(shù)(分段函數(shù),有無窮多項(xiàng)等函數(shù))代數(shù)函數(shù)超越函數(shù)有理函數(shù)無理函數(shù)有理整函數(shù)(多項(xiàng)式函數(shù))有理分函數(shù)(分式函數(shù))左右極限兩個(gè)重要極限求極限的常用方法無窮小的性質(zhì)極限存在的充要條件判定極限存在的準(zhǔn)則無窮小的比較極限的性質(zhì)數(shù)列極限函數(shù)極限等價(jià)無窮小及其性質(zhì)唯一性無窮小兩者的關(guān)系無窮大1、極限的定義左極限右極限無窮小:極限為零的變量

2、稱為無窮小.絕對值無限增大的變量稱為無窮大.無窮大:在同一過程中,無窮大的倒數(shù)為無窮小;恒不為零的無窮小的倒數(shù)為無窮大.無窮小與無窮大的關(guān)系2、無窮小與無窮大定理1在同一過程中,有限個(gè)無窮小的代數(shù)和仍是無窮小.定理2有界函數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論1在同一過程中,有極限的變量與無窮小的乘積是無窮小.推論2常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.推論3有限個(gè)無窮小的乘積也是無窮小.無窮小的運(yùn)算性質(zhì)定理推論1推論23、極限的性質(zhì)4、求極限的常用方法a.多項(xiàng)式與分式函數(shù)代入法求極限;b.消去零因子法求極限;c.無窮小因子分出法求極限;d.利

3、用無窮小運(yùn)算性質(zhì)求極限;e.利用左右極限求分段函數(shù)極限.5、判定極限存在的準(zhǔn)則(夾逼準(zhǔn)則)(1)(2)6、兩個(gè)重要極限定義:7、無窮小的比較定理(等價(jià)無窮小替換定理)8、等價(jià)無窮小的性質(zhì)9、極限的唯一性左右連續(xù)在區(qū)間[a,b]上連續(xù)連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)初等函數(shù)的連續(xù)性間斷點(diǎn)定義連續(xù)定義連續(xù)的充要條件連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)非初等函數(shù)的連續(xù)性振蕩間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)第一類第二類1、連續(xù)的定義定理3、連續(xù)的充要條件2、單側(cè)連續(xù)4、間斷點(diǎn)的定義(1)跳躍間斷點(diǎn)(2)可去間斷點(diǎn)5、間斷點(diǎn)的分類跳躍間斷點(diǎn)與可去間斷點(diǎn)統(tǒng)稱為第一類間斷

4、點(diǎn).特點(diǎn):可去型第一類間斷點(diǎn)跳躍型0yx0yx0yx無窮型振蕩型第二類間斷點(diǎn)0yx第二類間斷點(diǎn)6、閉區(qū)間的連續(xù)性7、連續(xù)性的運(yùn)算性質(zhì)定理定理1嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)函數(shù)必有嚴(yán)格單調(diào)的連續(xù)反函數(shù).定理28、初等函數(shù)的連續(xù)性定理3定理4基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.定理5一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.9、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)定理1(最大值和最小值定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定有最大值和最小值.定理2(有界性定理)在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)一定在該區(qū)間上有界.推論在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)必取得介于最大值M

5、與最小值m之間的任何值.導(dǎo)數(shù)與微分求導(dǎo)法則基本公式導(dǎo)數(shù)微分關(guān)系高階導(dǎo)數(shù)高階微分導(dǎo)數(shù)的定義求導(dǎo)法則(1)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則(2)反函數(shù)的求導(dǎo)法則(3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則(4)對數(shù)求導(dǎo)法先在方程兩邊取對數(shù),然后利用隱函數(shù)的求導(dǎo)方法求出導(dǎo)數(shù).適用范圍:(5)隱函數(shù)求導(dǎo)法則用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則直接對方程兩邊求導(dǎo).(6)參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則高階導(dǎo)數(shù)記作二階導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)稱為三階導(dǎo)數(shù),(二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù))微分的定義定義(微分的實(shí)質(zhì))導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系定理微分的求法求法:計(jì)算函數(shù)的導(dǎo)數(shù),乘以自變量的微分.函數(shù)和、差、積

6、、商的微分法則微分的基本法則微分形式的不變性中值定理與導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用洛必達(dá)法則Rolle定理Lagrange中值定理常用的泰勒公式Cauchy中值定理Taylor中值定理單調(diào)性,極值與最值,凹凸性,拐點(diǎn),函數(shù)圖形的描繪;曲率;求根方法.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用羅爾中值定理拉格朗日中值定理有限增量公式.柯西中值定理推論泰勒中值定理洛必達(dá)法則定義這種在一定條件下通過分子分母分別求導(dǎo)再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達(dá)法則.關(guān)鍵:將其它類型未定式化為洛必達(dá)法則可解決的類型.注意：洛必達(dá)法則的使用條件.導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用定理(1)函數(shù)單調(diào)性的判定法定義(2

7、)函數(shù)的極值及其求法定理(必要條件)定義函數(shù)的極大值與極小值統(tǒng)稱為極值,使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為極值點(diǎn).極值是函數(shù)的局部性概念:極大值可能小于極小值,極小值可能大于極大值.駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)統(tǒng)稱為臨界點(diǎn).定理(第一充分條件)定理(第二充分條件)求極值的步驟:步驟:1.求駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn);2.求區(qū)間端點(diǎn)及駐點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)的函數(shù)值,比較大小,那個(gè)大那個(gè)就是最大值,那個(gè)小那個(gè)就是最小值;注意:如果區(qū)間內(nèi)只有一個(gè)極值,則這個(gè)極值就是最值.(最大值或最小值)(3)最大值、最小值問題實(shí)際問題求最值應(yīng)注意:1)建立目標(biāo)函數(shù);2)求最值;(4)曲線的凹

8、凸與拐點(diǎn)定義定理1方法1:方法2:利用函數(shù)特性描繪函數(shù)圖形.第一步第二步(5)函數(shù)圖形的描繪第三步第四步確定函數(shù)圖形的水平、鉛直漸近線以及其他變化趨勢;第五步(6)弧微分曲率曲率圓曲率的計(jì)算公式定義不定積分積分法原函數(shù)選擇u有效方法基本積分表第一換元法第二換元法直接積分法分部