sars傳播模型的建立

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1、SARS傳播模型的建立與分析作者:楊波、獨(dú)軍利、李峰(西安財(cái)經(jīng)學(xué)院2003屆建模組)指導(dǎo)教師:張愛(ài)萍摘要:2003年上半年,號(hào)稱(chēng)中國(guó)第五大傳染病的SARS給我國(guó)社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展帶來(lái)了重大影響。本論文以傳統(tǒng)傳染病模型為藍(lán)本,在解析了他人模型的基礎(chǔ)上,首先建立了SARS自然狀態(tài)下的傳染模型;然后建立了現(xiàn)有控制下的傳染模型及延遲控制5天的傳染模型,進(jìn)一步評(píng)析了政府的控制SARS的措施;最后提出了進(jìn)一步優(yōu)化模型的思路。本文還以北京數(shù)據(jù)依據(jù),利用多種分析工具,通過(guò)建立模型分析了SARS對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的影響,并進(jìn)行了預(yù)測(cè)。關(guān)鍵字:微分方程曲線擬合工具變量一、問(wèn)題的背景與提出SARS(SevereAcuteRe

2、spiratorySyndrome,嚴(yán)重急性呼吸道綜合癥,俗稱(chēng):非典型肺炎)是21世紀(jì)第一個(gè)在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病。SARS的爆發(fā)和蔓延給我國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活帶來(lái)了很大影響,我們從中得到了許多重要的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn),認(rèn)識(shí)到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預(yù)測(cè)和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性,這也是人們十分關(guān)注的問(wèn)題。建立SARS傳播的數(shù)學(xué)模型,可以在一般情況分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律,然而實(shí)際的SARS流行的觀測(cè)往往也不完善和充分,因此我們主要是依據(jù)機(jī)理分析的方法來(lái)建模。我們將把SARS流行范圍內(nèi)的人群分為三類(lèi):S類(lèi):易感染SARS者,指未得SARS者,但與得SARS者接觸后容易受到感染的人。

3、I類(lèi):感染SARS者,指已經(jīng)確診為SARS患者。R類(lèi):移出者,指因患病而死亡或被隔離,或因病愈后而具有免疫能力的人,他們這是既非得病者,也非易感病者,實(shí)際上他們已經(jīng)退出了我們所考濾的SARS傳播系統(tǒng)。由于在SARS發(fā)生的初期,社會(huì)對(duì)它的傳播速度和危害程度認(rèn)識(shí)不夠,政府部門(mén)沒(méi)采取措施加以控制,隨著SARS的進(jìn)一步傳播,政府才采取了相應(yīng)的措施給以控制和預(yù)防,所以我們把SARS的蔓延規(guī)律按控制前和控制后兩個(gè)階段來(lái)分別建立模型。二、對(duì)附件1合理性和實(shí)用性的評(píng)價(jià)對(duì)ARS的傳播模型有多種建模方法,用數(shù)理模型進(jìn)行分析具有一定的意義和參考價(jià)值。附件一中,利用解析公式對(duì)北京SARS疫情前期趨勢(shì)作了分析。首先

4、,假定了一個(gè)初始時(shí)刻的病例數(shù)N0,平均每病人每天可傳染K個(gè)人(K一般為小數(shù)),平均每個(gè)病人可以直接感染他人的時(shí)間為L(zhǎng)天。在此假設(shè)下建立了在L天之內(nèi),病t例數(shù)目隨時(shí)間t的解析公式模型:N(t)=N0(1+K)。就此模型的假設(shè)條件和解析模型我們做以下的評(píng)析。一.模型的合理性和實(shí)用性分析a)該模型有的兩變量t和k都具有良好的實(shí)踐意義,其中,t受到L(直接傳染期限)的約束,限制。然而L的設(shè)置是在實(shí)踐基礎(chǔ)上提出來(lái)的,它綜合考慮了多種因素,有一定的統(tǒng)計(jì)意義。K表示某環(huán)境下一個(gè)病人傳染給他人的平均概率。這個(gè)概率也是具有強(qiáng)的實(shí)踐基礎(chǔ)。b)該模型變量較少,因而可以在外界條件發(fā)生變化時(shí)及時(shí)的做出調(diào)整,有很強(qiáng)的

5、適應(yīng)性,從而,也使得該模型具有較強(qiáng)的適應(yīng)性和使用的普遍性,靈活性。c)從模型的分析上可看到,該模型的分析采用了北京,香港和廣東三地對(duì)比分析,進(jìn)一步指出北京,香港,廣東三地因人口,控制時(shí)間等因素的不同,形成的疫情的差異很明確。使人們基本掌握了SARS從發(fā)病到有效治愈的全過(guò)程。二.模型缺點(diǎn)分析:a)該模型的假設(shè)條件不完備,不充分。主要表現(xiàn)在:對(duì)于參數(shù)k的變化先擬合給定在高峰期調(diào)整的方法該方法雖然能簡(jiǎn)化問(wèn)題,但它會(huì)影響模型的求解的精確性。b)從該模型的求解過(guò)程來(lái)看模型變量L,K是通過(guò)隨取值機(jī)與真實(shí)值比較得出。雖然可以一步步的靠近實(shí)際情況,但是這將使得模型只能故及過(guò)去,而不能對(duì)將來(lái)做出好的預(yù)測(cè),因

6、而大大降低了模型的功用。這也是該模型最大的缺點(diǎn)。c)由于該模型只有兩個(gè)參變量,作者欲用這兩個(gè)變量來(lái)代表各種復(fù)雜的因素對(duì)SARS傳播的影響。雖然這樣可以很大程度降低問(wèn)題的復(fù)雜度,但對(duì)于外部的各種因素在系統(tǒng)模型中比例權(quán)重,影響深度,主次關(guān)系等問(wèn)題分析,無(wú)法有效進(jìn)行,因而,該模型在解釋了問(wèn)題的發(fā)展過(guò)程之后,對(duì)于今后疾病的預(yù)測(cè),改進(jìn)等問(wèn)題顯得無(wú)能為力。因而也進(jìn)一步會(huì)降低該模型的功用。d)依據(jù)模型目標(biāo)函數(shù)我們發(fā)現(xiàn):該模型適用于短期的病情走勢(shì),對(duì)于傳染病如SARS這樣存在著較長(zhǎng)潛伏期的疾病,該模型對(duì)于前期(控制前的疾病自然發(fā)展時(shí)段)有很強(qiáng)的適用性,但是長(zhǎng)期發(fā)展下去,尤其伴隨著更多控制因素的介入,該模型

7、將不能夠很好的適應(yīng)條件。而且該模型缺乏對(duì)變量的微觀分析和作用比較。需多次調(diào)整相關(guān)數(shù)據(jù),此時(shí),才可確定參數(shù)值。因此,鑒于對(duì)該模型功能不完備和缺陷的分析,我將建立以下模型加以改進(jìn)。三、建模及分析1、無(wú)控制的SARS模型I、模型假設(shè)根據(jù)模型中要考慮的易感者、感病者和移出者三類(lèi)人的動(dòng)態(tài),給出以下假設(shè)。(1)除感染SARS者的特征外,人群的個(gè)體沒(méi)有差異,感染SARS者與易感染SARS者的個(gè)體在人群中的混合是均勻的。(2)SARS所

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