sars傳播模型的建立

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1、SARS傳播模型的建立與分析作者：楊波、獨(dú)軍利、李峰（西安財(cái)經(jīng)學(xué)院2003屆建模組）指導(dǎo)教師：張愛(ài)萍摘要：2003年上半年，號(hào)稱(chēng)中國(guó)第五大傳染病的SARS給我國(guó)社會(huì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展帶來(lái)了重大影響。本論文以傳統(tǒng)傳染病模型為藍(lán)本，在解析了他人模型的基礎(chǔ)上，首先建立了SARS自然狀態(tài)下的傳染模型；然后建立了現(xiàn)有控制下的傳染模型及延遲控制5天的傳染模型，進(jìn)一步評(píng)析了政府的控制SARS的措施；最后提出了進(jìn)一步優(yōu)化模型的思路。本文還以北京數(shù)據(jù)依據(jù)，利用多種分析工具，通過(guò)建立模型分析了SARS對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的影響，并進(jìn)行了預(yù)測(cè)。關(guān)鍵字：微分方程曲線擬合工具變量一、問(wèn)題的背景與提出SARS（SevereAcuteRe

2、spiratorySyndrome，嚴(yán)重急性呼吸道綜合癥,俗稱(chēng)：非典型肺炎）是21世紀(jì)第一個(gè)在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病。SARS的爆發(fā)和蔓延給我國(guó)的經(jīng)濟(jì)發(fā)展和人民生活帶來(lái)了很大影響，我們從中得到了許多重要的經(jīng)驗(yàn)和教訓(xùn)，認(rèn)識(shí)到定量地研究傳染病的傳播規(guī)律、為預(yù)測(cè)和控制傳染病蔓延創(chuàng)造條件的重要性，這也是人們十分關(guān)注的問(wèn)題。建立SARS傳播的數(shù)學(xué)模型，可以在一般情況分析受感染人數(shù)的變化規(guī)律，然而實(shí)際的SARS流行的觀測(cè)往往也不完善和充分，因此我們主要是依據(jù)機(jī)理分析的方法來(lái)建模。我們將把SARS流行范圍內(nèi)的人群分為三類(lèi)：S類(lèi)：易感染SARS者，指未得SARS者，但與得SARS者接觸后容易受到感染的人。

3、I類(lèi)：感染SARS者，指已經(jīng)確診為SARS患者。R類(lèi)：移出者，指因患病而死亡或被隔離，或因病愈后而具有免疫能力的人，他們這是既非得病者，也非易感病者，實(shí)際上他們已經(jīng)退出了我們所考濾的SARS傳播系統(tǒng)。由于在SARS發(fā)生的初期，社會(huì)對(duì)它的傳播速度和危害程度認(rèn)識(shí)不夠，政府部門(mén)沒(méi)采取措施加以控制，隨著SARS的進(jìn)一步傳播，政府才采取了相應(yīng)的措施給以控制和預(yù)防，所以我們把SARS的蔓延規(guī)律按控制前和控制后兩個(gè)階段來(lái)分別建立模型。二、對(duì)附件1合理性和實(shí)用性的評(píng)價(jià)對(duì)ARS的傳播模型有多種建模方法，用數(shù)理模型進(jìn)行分析具有一定的意義和參考價(jià)值。附件一中，利用解析公式對(duì)北京SARS疫情前期趨勢(shì)作了分析。首先

4、，假定了一個(gè)初始時(shí)刻的病例數(shù)N0，平均每病人每天可傳染K個(gè)人（K一般為小數(shù)），平均每個(gè)病人可以直接感染他人的時(shí)間為L(zhǎng)天。在此假設(shè)下建立了在L天之內(nèi)，病t例數(shù)目隨時(shí)間t的解析公式模型：N(t)=N0(1+K)。就此模型的假設(shè)條件和解析模型我們做以下的評(píng)析。一．模型的合理性和實(shí)用性分析a)該模型有的兩變量t和k都具有良好的實(shí)踐意義，其中，t受到L（直接傳染期限）的約束，限制。然而L的設(shè)置是在實(shí)踐基礎(chǔ)上提出來(lái)的，它綜合考慮了多種因素，有一定的統(tǒng)計(jì)意義。K表示某環(huán)境下一個(gè)病人傳染給他人的平均概率。這個(gè)概率也是具有強(qiáng)的實(shí)踐基礎(chǔ)。b)該模型變量較少，因而可以在外界條件發(fā)生變化時(shí)及時(shí)的做出調(diào)整，有很強(qiáng)的

5、適應(yīng)性，從而，也使得該模型具有較強(qiáng)的適應(yīng)性和使用的普遍性，靈活性。c)從模型的分析上可看到，該模型的分析采用了北京，香港和廣東三地對(duì)比分析，進(jìn)一步指出北京，香港，廣東三地因人口，控制時(shí)間等因素的不同，形成的疫情的差異很明確。使人們基本掌握了SARS從發(fā)病到有效治愈的全過(guò)程。二．模型缺點(diǎn)分析：a）該模型的假設(shè)條件不完備，不充分。主要表現(xiàn)在：對(duì)于參數(shù)k的變化先擬合給定在高峰期調(diào)整的方法該方法雖然能簡(jiǎn)化問(wèn)題，但它會(huì)影響模型的求解的精確性。b）從該模型的求解過(guò)程來(lái)看模型變量L,K是通過(guò)隨取值機(jī)與真實(shí)值比較得出。雖然可以一步步的靠近實(shí)際情況，但是這將使得模型只能故及過(guò)去，而不能對(duì)將來(lái)做出好的預(yù)測(cè)，因

6、而大大降低了模型的功用。這也是該模型最大的缺點(diǎn)。c）由于該模型只有兩個(gè)參變量，作者欲用這兩個(gè)變量來(lái)代表各種復(fù)雜的因素對(duì)SARS傳播的影響。雖然這樣可以很大程度降低問(wèn)題的復(fù)雜度，但對(duì)于外部的各種因素在系統(tǒng)模型中比例權(quán)重，影響深度，主次關(guān)系等問(wèn)題分析，無(wú)法有效進(jìn)行，因而，該模型在解釋了問(wèn)題的發(fā)展過(guò)程之后，對(duì)于今后疾病的預(yù)測(cè)，改進(jìn)等問(wèn)題顯得無(wú)能為力。因而也進(jìn)一步會(huì)降低該模型的功用。d）依據(jù)模型目標(biāo)函數(shù)我們發(fā)現(xiàn)：該模型適用于短期的病情走勢(shì)，對(duì)于傳染病如SARS這樣存在著較長(zhǎng)潛伏期的疾病，該模型對(duì)于前期（控制前的疾病自然發(fā)展時(shí)段）有很強(qiáng)的適用性，但是長(zhǎng)期發(fā)展下去，尤其伴隨著更多控制因素的介入，該模型

7、將不能夠很好的適應(yīng)條件。而且該模型缺乏對(duì)變量的微觀分析和作用比較。需多次調(diào)整相關(guān)數(shù)據(jù)，此時(shí)，才可確定參數(shù)值。因此，鑒于對(duì)該模型功能不完備和缺陷的分析，我將建立以下模型加以改進(jìn)。三、建模及分析1、無(wú)控制的SARS模型I、模型假設(shè)根據(jù)模型中要考慮的易感者、感病者和移出者三類(lèi)人的動(dòng)態(tài)，給出以下假設(shè)。（1）除感染SARS者的特征外，人群的個(gè)體沒(méi)有差異，感染SARS者與易感染SARS者的個(gè)體在人群中的混合是均勻的。（2）SARS所