sars傳播的數(shù)學(xué)模型

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1、SARS傳播的數(shù)學(xué)模型摘要通過對題目附件1的SARS模型進行分析和評價，加深了對SARS的認識和了解。根據(jù)傳染病的傳播特點，建立了關(guān)于SARS病人率和疑似病人率兩個常微分方程模型。以所給數(shù)據(jù)為基本依據(jù)，用Matlab軟件進行數(shù)值計算，與圖形模擬方法求得模型中的有關(guān)參數(shù)。當(dāng)λ1=1.5和λ2=1時，理論圖形與實際圖形有良好的吻合，分別得到了SARS病人率和疑似病人率比較符合實際數(shù)據(jù)的變化圖，能正確地預(yù)測它們的發(fā)展趨勢。他們對于模型中的參數(shù)有非常強的靈感性，λ1的值作微小的改變對于整個疫情的發(fā)展有很大的影響，所以政府采取對SARS疫情的有關(guān)措施是完全正確的。本文重點分析了

2、關(guān)于SARS病人率的模型一，根據(jù)求得的參數(shù)，利用相軌線理論對結(jié)果加以分析并對整個疫情作出預(yù)測，并推論出SARS病人率關(guān)于t的表達式i(t),然后提出了對傳染病的控制方案，同時列舉了具體方法，并論證了方法的合理性和可行性，用其它地區(qū)的數(shù)據(jù)對模型進行檢驗，說明模型的參數(shù)有區(qū)域性。關(guān)鍵詞：SARS微分方程曲線擬合數(shù)學(xué)模型相軌線19一、問題的提出SARS俗稱非典型肺炎，是21世紀第一個在世界范圍內(nèi)傳播的傳染病。我國作為發(fā)展中大國深受其害：SARS的爆發(fā)和蔓延給我國的經(jīng)濟發(fā)展和人民生活帶來了很大影響。在黨和政府的統(tǒng)一領(lǐng)導(dǎo)下，全國人民與SARS頑強抗爭，取得了可喜的階段性勝利，并

3、從中得到了許多重要的經(jīng)驗和教訓(xùn)，認識到在沒有找出真正病因和有效治愈方法前，政府采取的強制性政策對抑制SARS自然發(fā)展最有效辦法。而本題的目的就是要建立一個適當(dāng)?shù)哪Ｐ蛯ARS傳播規(guī)律進行定量地分析、研究，為預(yù)測和控制SARS蔓延提供可靠、足夠的信息，無論對現(xiàn)在還是將來都有其重要的現(xiàn)實意義。二、模型的假設(shè)1．地總?cè)藬?shù)N可視為常數(shù)，即流入人口等于流出人口。2．據(jù)人口所處的健康狀態(tài)，將人群分為：健康者，SARS病人，退出者（被治愈者、免疫者和死亡者）。3．在政府的強制措施下，人口基本不流動，故無病源的流入和流出，避免了交叉感染，降低了感染基數(shù)。4．隔離的人斷絕了與外界的聯(lián)系

4、，不具有傳染性。5．SARS康復(fù)者二度感染的概率為0。6．國家完善了監(jiān)控手段，加強了對SARS病毒監(jiān)控的力度，故可假設(shè)所有感染SARS病毒的人群都進入了SARS病人類和疑似類。7．由于對SARS病原體的研究不夠深入，無有效藥物可以使人體免疫，同時SARS病毒感染后，大量繁殖，破壞免疫系統(tǒng)，故不可免疫。三、模型的建立（一）參數(shù)的設(shè)定和符號說明s(t)：t時刻健康者在總體人群中的比例i(t)：t時刻SARS病人在總體人群中的比例l(t)：t時刻疑似病人在總體人群中的比例r(t)：t時刻被治愈者、死亡者和免疫者在總體人群中的比例之和。：SARS病人日接觸率。為每個病人每天有

5、效接觸（足以使健康者受感染變?yōu)椴∪耍┑钠骄藬?shù)。：日治愈率。為每天被治愈的病人占病人總數(shù)的比例。：日轉(zhuǎn)化率。為每天危險群體中的疑似病人被確診為SARS患者的比例。：日死亡率。為每天SARS病人死亡的數(shù)量和當(dāng)天病人總數(shù)量的比值。19：疑似感染率。為每天感染為疑似病人的比例。（二）模型建立模型一感染為SARS患者情況由假設(shè)，每個病人每天可使個健康者變?yōu)椴∪耍驗椴∪巳藬?shù)為，所以每天共有個健康者被感染，于是就是病人數(shù)的增加率，又因為每天被治愈率為，死亡率為，所以每天有個病人被治愈，有個病人死亡。那么病人的感染為由于對于退出者()由假設(shè)可知：故SARS患者率模型一的方程建立如

6、下：(3)模型二疑似患者的變化情況與前面同樣的分析，得到疑似患者率模型二：(5)四、模型求解（一）參數(shù)的確定和分析：191.的確定=，=，=用EXCEL電子表格處理題目附件2中所給數(shù)據(jù)得：=0.055076，=0.038183，=0.002443。（處理數(shù)據(jù)見附件）2．的確定確定很明顯從我們建立的模型是無法得到s、i、、的解析解。為了解決這個問題我們用MATLAB軟件中龍格—庫塔方法求出他們的數(shù)值解。先通過實際統(tǒng)計數(shù)據(jù)算出每一天的s、i、、做出它們與時間的函數(shù)圖象圖1，然后我們再對取一組數(shù)，分別畫出由通過模型解出的數(shù)值解隨時間變化的圖象圖2，將這組圖象與由實際數(shù)據(jù)所得

7、圖象相比較,調(diào)試。我們發(fā)現(xiàn)當(dāng)1.5時，理論圖形與實際圖形有最佳的吻合。圖形如下：<圖1>:根據(jù)實際數(shù)據(jù)擬合的圖象（畫圖程序見附件）<圖2>通過數(shù)值解作出的關(guān)于時間t的變化（畫圖程序見附件）19分析兩個圖形可知，它們的高峰期、緩解期和平穩(wěn)期曲線相當(dāng)符合，具有相同的發(fā)展趨勢。但是在[0,10]的SARS初期范圍內(nèi)，曲線變化不相同。這主要是因為在4月24日之前，沒有相關(guān)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計和報道，由于數(shù)據(jù)的不全，根據(jù)邊界值畫出來的曲線與通過數(shù)值解得到的曲線相比較，不能準確反映SARS產(chǎn)生初期時的趨勢，所以邊界值應(yīng)該去掉，而通過數(shù)值解模擬的曲線可以得到之前的發(fā)展趨勢。