河南省名校青桐鳴2023屆高三下學(xué)期4月聯(lián)考數(shù)學(xué)（文）Word版含解析

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2023屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大聯(lián)考(高三)數(shù)學(xué)(文科)試卷全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘。注意事項(xiàng)：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考場號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)填寫在答題卡上。2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知集合M=1234567,N={x|2x?1<5},則M∩N=()A.{1,2}B.{1,2,3}C.{1,2,3,4}D.{1,2,3,4,5}2.復(fù)數(shù)z滿足(z—i)(2—i)=i,則|z|=()A.1B.2C.2D.53.已知命題p:log?x<1,命題q:x?1<1,則p是q的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件4.已知正實(shí)數(shù)a,b,點(diǎn)M(1,4)在直線xa+yb=1上，則a+b的最小值為()A.4B.6C.9D.125.已知tanαtanβ=2,cosα+β=?15,則cos(α?β)=()A.35B.?35C.115D.?1156.函數(shù)fx=ex?e?x?2xsinxx∈?3π23π2的圖象大致是()

17.若執(zhí)行下面的程序框圖，則輸出的s()A.有6個(gè)值,分別為6,10,28,36,66,78B.有7個(gè)值,分別為6,10,28,36,66,78,91C.有7個(gè)值,分別為6,10,28,36,66,78,120D.有8個(gè)值,分別為6,10,28,36,66,78,120,1368.已知圓O為△ABC的外接圓,∠BAC=60°,BC=23,則OB?OC=()A.2B.-2C.4D.-49.函數(shù)fx=sinx+π5+3cosx+8π15的最大值為()A.1B.3C.5D.710.在長方體ABCD?A?B?C?D?中,AB=BC=2,M.為CC?的中點(diǎn),A?C⊥平面MBD,則A?B與B?C所成角的余弦值為()A.13B.23C.15D.35

211.已知數(shù)列{a?}滿足a1=1,a2k=a2k?1+1,a2k+1=2a2k?1,k∈N?,則a????=()A.21?12B.21?12?1C.22?22D.22?22?112.已知拋物線y2=4x上有三點(diǎn)M,A(x?,y?),B(x?,y?),M點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2,y?+y?=-4,且y?,y?<2,則△MAB面積的最大值為()A.1663B.1669C.3239D.3233二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分。13.已知f(x)=ax+lnx的一條切線是y=x,則實(shí)數(shù)a=.14.已知一個(gè)球的表面上有四點(diǎn)A，B，C，D，BD=23,∠BAD=60°,∠BCD=90°平面ABD⊥平面BCD,則該球的表面積為.15.已知數(shù)列{a?}滿足a1+a2+?+an=n2,則a1?21+a2?22+?+an?2n=_______.16.已知雙曲線x2?y25=1的左、右焦點(diǎn)分別為F?，F(xiàn)?，點(diǎn)M位于雙曲線的右支上，F(xiàn)?M交左支于點(diǎn)N,△MNF?的內(nèi)切圓I的半徑為1,I與NF?,MN分別切于點(diǎn)P,R,則cos∠RNP=.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。(一)必考題:共60分。17.(12分)已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a,b,c,tanB+tanC=3cosAcosBcosC.(1)求A;(2)若a=6,求b+c的取值范圍.

318.(12分)為鞏固拓展脫貧攻堅(jiān)成果，全面推進(jìn)鄉(xiāng)村振興，在國家產(chǎn)業(yè)扶貧政策的大力支持下，某貧困村利用當(dāng)?shù)刈匀粭l件，在南、北兩山上種植蘋果，現(xiàn)已開始大量結(jié)果，蘋果成熟時(shí)，將蘋果分為“一級(jí)”“二級(jí)”“三級(jí)”，價(jià)格從高到低，有一水果商人要收購這里的蘋果，收購前，將南山和北山上的蘋果各隨機(jī)摘取了200千克，按等級(jí)分開后得到的數(shù)據(jù)為：南山上的“一級(jí)”蘋果40千克，“二級(jí)”蘋果150千克；南、北山上的“三級(jí)”蘋果共40千克；北山上的“一級(jí)”蘋果50千克.(假設(shè)兩山上的蘋果總產(chǎn)量相同，以樣本的頻率估計(jì)概率)(1)若種植蘋果的成本為5元/千克，蘋果收購價(jià)格如下表：等級(jí)“一級(jí)”“二級(jí)”“三級(jí)”價(jià)格（元／千克）1281①分別計(jì)算南山和北山各隨機(jī)摘取的200千克蘋果的平均利潤；②若按個(gè)數(shù)計(jì)算，“一級(jí)”蘋果平均每千克有3個(gè)，“二級(jí)”蘋果平均每千克有4個(gè)，“三級(jí)”蘋果平均每千克有6個(gè)，以此計(jì)算該村南山上的200千克蘋果的個(gè)數(shù)，并按各等級(jí)蘋果個(gè)數(shù)以分層抽樣的方式從中抽取13個(gè)蘋果，分別放在13個(gè)外形完全一樣的包裝內(nèi)，水果商人在這13個(gè)蘋果中隨機(jī)取2個(gè)，求恰有1個(gè)“三級(jí)”蘋果的概率.(2)判斷能否有99%的把握認(rèn)為“三級(jí)”蘋果的多少與南、北山有關(guān).附:K2=nad?bc2a+bc+da+cb+d,n=a+b+c+d.P(K2≥k?)0.10.050.010.005k?2.7063.8416.6357.87919.(12分)在四棱錐P-ABCD中,AB=4,BC=CD=2,AB//CD,∠ABC=90°,PA=PD=2,PD⊥BD.

4(1)證明:平面PAB⊥平面PBD;(2)求點(diǎn)C到平面PAB的距離.20.(12分)已知點(diǎn)M132在橢圓x2a2+y2b2=1ab>0)上，A，B分別是橢圓的左、右頂點(diǎn)，直線MA和MB的斜率之和滿足：kMA+kMB=?1.(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)斜率為1的直線交橢圓于P，Q兩點(diǎn)，橢圓上是否存在定點(diǎn)T，使直線PT和QT的斜率之和滿足kPT+kQT=0(P,Q與T均不重合)?若存在，求出T點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由.21.(12分)設(shè)函數(shù)fx=mxe?m≠0.(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)y=f(x)+x2+x有三個(gè)零點(diǎn)x?,x?,x?,且x?證明：x?+x?>x?.(二)選考題：共10分。請(qǐng)考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22.[選修4-4:坐標(biāo)系與參數(shù)方程](10分)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為x=sint+14sint,y=sint+12sintt為參數(shù)且t∈(0,π)),以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，0π2且tanα=34,直線l的極坐標(biāo)方程為ρsin(θ+α)=m(m∈R).(1)求直線l的直角坐標(biāo)方程和曲線C的普通方程；(2)若直線l與曲線C有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.23.[選修4-5:不等式選講](10分)已知函數(shù)f(x)=|2x+3|+|x?a|(a>0)的圖象如圖所示,當(dāng)x=?32時(shí),f(x)取得最小值3,g(x)=?x.

5(1)求實(shí)數(shù)a的值;(2)若g(x?t)≤f(x)恒成立,求實(shí)數(shù)t的取值范圍.2023屆普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大聯(lián)考(高三)答案數(shù)學(xué)(文科)1.C【解析】由2x?1<5,得1≤2x<26,故M∩N={1,2,3,4}.故選C.2.B【解析】z?i=i2?i=i2+i5,則z=?15+7i5,故|z|=152+752=2.故選B.3.B【解析】由題意得,命題p:0

66.A【解析】f?x=e???e?+2x?sinx=f(x),可知f(x)為偶函數(shù),排除B;易知,f(1)>0,排除C;f(π)=0,排除D.故選A.7.C【解析】當(dāng)n=3時(shí),輸出s=6;當(dāng)n=4時(shí),輸出s=10;當(dāng)n=7時(shí),輸出s=28;當(dāng)n=8時(shí),輸出s=36;當(dāng)n=11時(shí),輸出s=66;當(dāng)n=12時(shí),輸出s=78;當(dāng)n=15時(shí),15>12,輸出s=120,結(jié)束.故選C.8.B【解析】如圖,圓O的直徑為2R=BCsin∠BAC=4,故|OB|=|OC|=R=2,∠BOC=2∠BAC=120°,故OB?OC=|OB||OC|cos120°=?2.故選B.9.A【解析】fx=sinx+π5+3cos[(x+π5)+π3]=sinx+π5+3[cosx+π5.12?sinx+π5?32]=12sinx+π5+32cosx+π5=sinx+π5+2π3故最大值為1.故選A.10.B【解析】連接MB,MD,BD,連接A?D,如圖,A?B?⊥平面BCC?B?,則A?B?⊥BM,又A?C⊥平面MBD,則A?C⊥BM,A?C∩A?B?=A?,則BM⊥平面A?B?C,則BM⊥B?C,∠MBC=∠BB?C,則tan∠MBC=tan∠BB?C,則MC2=2BB1,解得BB1=22,由長方體的性質(zhì)易知，A?B?∥DC,所以四邊形A?B?CD為平行四邊形,所以A?D∥B?C,則∠BA?D即為所求角,在△BA?D中,A1B=A1D=23,BD=22,故cos∠BA1D=12+12?82×23×23=23.故選B.11.B【解析】a????=a????+1=2a???1+1=2a??故{a?k}是首項(xiàng)為a?=a?+1=2,公比為2的等比數(shù)列，則a????=a??21?1?=21?11,a????=2a?????1=21?12?1.故選B.12.C【解析】由題意得,,xM=1,則M(1,2),由y?+y?=-4,得kAB=y1?y2x1?x2=y1?y2y124?y224=4y1+y2=-1.設(shè)直線AB：x=t?y，代入拋物線方程得y2+4y?4t=0,可得Δ=16+16t>0,得t>?1.|AB|=2|y1?y2|=2?16+16t=42?1+t,點(diǎn)M(1,2)到AB的距離為d=|3?t|2,故SMAB=12|AB|?d=21+t.|3?t|=21+t3?t2,由y?,y?<2,得4+8?4t>0,即t<3,又t>?1,則?1

713.1?1e【解析】設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為(x?，y?)，則滿足x0=ax0+lnx0,f'x0=a+1x0=1,則ax?=x?-1,代入①得x?=x??1+lnx?,解得x?=e,∴a=1?1e.14.16π【解析】設(shè)球心為O,半徑為R,BD的中點(diǎn)為M,則M為△BCD的外心,OM⊥平面BCD,又平面ABD⊥平面BCD,故O在平面ABD內(nèi),故O為△ABD的外心,BDsin60°=2R=4,故S球=4πR2=16π.15.2n?3?2??1+6【解析】當(dāng)n≥2時(shí),a?=n2?(n?1)2=2n?1,a?=1滿足a?=2n?1,故a?=2n?1,n∈N?.令S=a1?21+a2?22+?+an?2n=1?21+3?22+?+2n?1?2n,則2S=1?22+3?23+?+2n?1?2n+1,兩式相減得，?S=21+222+23+?+2n?(2n?1)?2n+1=2+81?2n?11?2?2n?1?2n+1=(3?2n)?2??1?6,∴S=2n?3?2??1+6.16.35【解析】設(shè)內(nèi)切圓與F?M切于點(diǎn)Q,|MR|=|MQ|=m,|NR|=|NP|=n,|F?P|=|F?Q|=f,|F?N|=t,如圖,則|MF?|?|MF?|=2a,即m+n+t?(m+f)=2a,化簡得n+t?f=2a①,|NF?|?|NF?|=2a,即n+f?t=2a②,①+②得n=2a=2,NI平分∠RNP,則tan12∠RNP=12故sin12∠RNP=15,則cos∠RNP=1?2sin212∠RNP=35.17.解:(1)由題意得,sinBcosB+sinCcosC=3cosAcosBcosC,化簡得sinB+C=3cosA,即sinA=3cosA,則tanA=3,解得A=π3.(2)由題意及正弦定理bsinB=csinC=asinA=22,得b=22sinB,c=22sinC,則b+c=22sinB+22sinC=22sinB+2sin120°?B=32sinB+6cosB=26sinB+π6,由(1)知,A=π3,0

8故b+c的取值范圍是3226.18.解:(1)①由題意得,南山:“一級(jí)”蘋果40千克,“二級(jí)”蘋果150千克,“三級(jí)”蘋果200-190=10(千克),南山隨機(jī)摘取的200千克蘋果的平均利潤為12×40+8×150+1×10?5×200200=3.45(元/千克),北山:“一級(jí)”蘋果50千克,“三級(jí)”蘋果40-10=30(千克),“二級(jí)”蘋果200-50-30=120(千克),故北山隨機(jī)摘取的200千克蘋果的平均利潤為12×50+8×120+1×30?5×200200=2.95(元/千克).②南山“一級(jí)”蘋果有3×40=120(個(gè)),“二級(jí)”蘋果有4×150=600(個(gè)),“三級(jí)”蘋果有6×10=60(個(gè)),共有780個(gè),按分層抽樣的方式抽取的13個(gè)蘋果中，“一級(jí)”蘋果有120780×13=2(個(gè))，“二級(jí)”蘋果有600780×13=10(個(gè)),“三級(jí)”蘋果有60780×13=1(個(gè)),2個(gè)“一級(jí)”蘋果分別記為A?,A?,10個(gè)“二級(jí)”蘋果分別記為：B1,B2,?,B10,“三級(jí)”蘋果記為C，抽取2個(gè)蘋果有A1A2,A1B1,A1B2,?,A1B10,A1C,A2B1,A2B2,?,(A2,B10),A2C,B1B2,B1B3,?,B1B10,B1C,B2B3,B2B4,?,B2B10,(B2,C),…,(B?,B??),(B?,C),(B??,C),共78種可能,恰有1個(gè)“三級(jí)”蘋果有(A?,C),(A?,C),(B?,C),B2C,?,B10C,共12種可能.故所求概率為1278=213.(2)由(1)可得以下2×2列聯(lián)表:“三級(jí)”蘋果“一級(jí)”和“二級(jí)”蘋果合計(jì)南山10190200北山30170200合計(jì)40360400則K2=400×10×170?30×1902200×360×200×40=1009>11>2.706,故有90%的把握認(rèn)為“三級(jí)”蘋果的多少與南、北山有關(guān).19.解:(1)證明:∵∠ABC=90°,AB∥CD,∴∠BCD=90°,∴BD=BC2+CD2=22.過點(diǎn)D作DM⊥AB,如圖,則DM=BC=2,AM=AB-BM=AB-CD=2,∴AD=DM2+AM2=22.又∵AB=4,AB2=BD2+AD2,∴∠ADB=90°,

9∴AD⊥BD,又PD⊥BD,PD∩AD=D,PD,AD?平面PAD,∴BD⊥平面PAD.∵PA?平面PAD,∴PA⊥BD.∵PA=PD=2,AD=22,∴PA?PD.∵BD∩PD=D,BD,PD?平面PBD,∴PA⊥平面PBD,又PA?平面PAB,∴平面PAB⊥平面PBD.(2)由PA⊥平面PBD易知∠APB=90°,PA=2,AB=4,則PB=AB2?PA2=23,∴SPAB=12?PA?PB=23.取AD的中點(diǎn)為Q，連接PQ，AC，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)易得PQ⊥AD.又BD⊥平面PAD,BD?平面ABCD,則平面PAD⊥平面ABCD,PQ?平面PAD,平面PAD∩平面ABCD=AD,∴PQ⊥平面ABCD,且PQ=PA2?12AD2=2,設(shè)點(diǎn)C到平面PAB的距離為h，易得VC?PAB=VP?ABC=13SPAB??=13SABC?PQ,即13×23?=13×12×2×4×2,解得?=263.1kMA+kMB=32?01+a+32?01?a=?1,20.解解得a2=4,將132代入橢圓方程x24+y2b2=1,得b2=3,故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x24+y23=1.(2)假設(shè)存在定點(diǎn)T，則設(shè)P(x?,y?),Q(x?,y?),T(x?,y?),直線PQ的方程為y=x+t,由題意得y1?y0x1?x0+y2?y0x2?x0=0,將y?=x?+t,y?=x?+t代入整理得2x?x?+(t-x?-y?)(x?+x?)-2x?(t-y?)=0(*),聯(lián)立x24+y23=1,y=x+t,整理得7x2+8tx+4t2?12=0,則x1+x2=?8t7,x1x2=4t2?127,代入(*)式整理得87y0?67x0t+2x0y0?247=0,87y0?67x0=0,2x0y0?247=0,解得x0=477,y0=377,或x0=?477,y0=?377,代入驗(yàn)證得477377,?477?377都在橢圓上，故存在定點(diǎn)T，使kPT+kQT=0,點(diǎn)T的坐標(biāo)為477377或?477?377.21.解:1f'x=me?+mxe?=me?x+1.令f'(x)=0,得x=?1.①若m>0,當(dāng)x-1時(shí)f'x>0,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-∞，-1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(-1,+∞).②若m<0,當(dāng)x0;當(dāng)x>-1時(shí),f'x<0,則f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(-1，+∞)，單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-1).

10(2)證明：因?yàn)楹瘮?shù)y=f(x)+x2+x有三個(gè)零點(diǎn)，所以方程mxe?+x2+x=0有三個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，又易知x=0為方程的一個(gè)實(shí)根，所以方程me?+x+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，即-m=x+1ex有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.令gx=x+1ex,則g'x=?xex,當(dāng)x<0時(shí),g'x>0,gx單調(diào)遞增；當(dāng)x>0時(shí),g'x<0,gx)單調(diào)遞減，所以g(x)≤g(0)=1.又因?yàn)楫?dāng)x?1時(shí),g(x)>0,當(dāng)x→+∞時(shí),g(x)→0,所以0x?,即證x?+x?>0,即證x?>?x?>0,只需證g(x?)1>e?故?'x>0,?x為增函數(shù)，所以?(x?)0,即x?+x?>x?,22.解:(1)由α∈0π2且tanα=34,得sinα=35,cosα=45,∴ρsin(θ+α)=n,即45ρsinθ+35ρcosθ=m,∴直線l的直角坐標(biāo)方程為3x+4y?5m=0;由t∈(0,π)得sint∈(0,1],則y=sint+12sint∈2+∞,又y2=sint+12sint2=(sint+14sint+1)=x+1,∴曲線C的普通方程為y2=x+1,y∈2+∞.(2)將x=?4y+5m3代入y2=x+1整理得，y2=?4y+5m3+1,y∈2+∞,則m=3y2+4y?35≥3+425,∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為3+425+∞.23.解:(1)因?yàn)閍>0,所以f?32=|?3+3|+|?32?a|=3即a+32=3,

11解得a=32,故實(shí)數(shù)a的值為32.(2)由題意知，當(dāng)x=?32時(shí),f(x)取得最小值3,當(dāng)函數(shù)g(x?t)=t?x的圖象過點(diǎn)A?323時(shí),即t+32=3時(shí)t=32,而由圖象可知,t≤32,故t∈?∞32.

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