重慶市第一中學(xué)校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期9月月考數(shù)學(xué)試題 Word版含解析.docx

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重慶一中高2025屆高二上期考試數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)；1.答題前，考生務(wù)必用黑色碳素筆將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)在答題卡上填寫清楚.2.每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，在試題卷上作答無(wú)效，3.考試結(jié)束后，請(qǐng)將本試卷和答題卡一并交回，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘.一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8個(gè)小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合要求的）1.橢圓與橢圓的（）A.長(zhǎng)軸相等B.短軸相等C.焦距相等D.長(zhǎng)軸、短軸、焦距均不相等【答案】C【解析】【分析】分別求出兩個(gè)橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)、短軸長(zhǎng)和焦距即可判斷．【詳解】橢圓即，則此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為10，短軸長(zhǎng)為6，焦距為；橢圓即，因?yàn)椋瑒t此橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，短軸長(zhǎng)為，焦距為,故兩個(gè)橢圓焦距相等．故選：C．2.若方程表示橢圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】根據(jù)方程表示橢圓列不等式，由此求得的取值范圍.【詳解】依題意，方程表示橢圓，則，解得或，即實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：B3.橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，點(diǎn)在橢圓上且在第一象限，如果線段的中點(diǎn)在軸上，那么點(diǎn)的縱坐標(biāo)是（）追A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意確定的位置，然后利用代入法進(jìn)行求解即可.【詳解】由，因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上且在第一象限，如果線段的中點(diǎn)在軸上，所以是左焦點(diǎn)，坐標(biāo)為，設(shè)，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)在軸上，所以，代入橢圓方程中，得，或舍去，因?yàn)榫€段的中點(diǎn)是，所以點(diǎn)的縱坐標(biāo)是，故選：A 4.19世紀(jì)法國(guó)著名數(shù)學(xué)家加斯帕爾?蒙日，創(chuàng)立了畫法幾何學(xué)，推動(dòng)了空間幾何學(xué)的獨(dú)立發(fā)展，提出了著名的蒙日?qǐng)A定理：橢圓的兩條切線互相垂直，則切線的交點(diǎn)位于一個(gè)與橢圓同心的圓上，稱為蒙日?qǐng)A，橢圓的蒙日?qǐng)A方程為.若圓與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則b的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意，得到蒙日?qǐng)A的方程為，結(jié)合圓與圓的位置關(guān)系，即可求解.【詳解】由題意得，橢圓的蒙日?qǐng)A的半徑，所以橢圓的蒙日?qǐng)A的方程為：，因?yàn)閳A與橢圓的蒙日?qǐng)A有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，可得兩圓外切，所以，解得.故選：B.5.設(shè)、分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（）A.2B.1C.D.【答案】D【解析】 【分析】設(shè)點(diǎn)，則，且，利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的最小值.【詳解】在橢圓中，，，，則，，設(shè)點(diǎn)，則，且，則，所以，，，所以，，所以當(dāng)時(shí)，取最小值，故選：D6.已知在平面直角坐標(biāo)系中，圓的方程為，直線過點(diǎn)且與直線垂直.若直線與圓交于兩點(diǎn)，則的面積為A.1B.C.2D.【答案】A【解析】【詳解】試題分析：∵圓的方程為，即，∴圓的圓心為，半徑為2.∵直線過點(diǎn)且與直線垂直 ∴直線.∴圓心到直線的距離.∴直線被圓截得的弦長(zhǎng)，又∵坐標(biāo)原點(diǎn)到的距離為，∴的面積為.考點(diǎn)：1、直線與圓的位置關(guān)系；2、三角形的面積公式.7.數(shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式多種多樣，我們稱離心率（其中）的橢圓為黃金橢圓，現(xiàn)有一個(gè)黃金橢圓方程為，若以原點(diǎn)為圓心，短軸長(zhǎng)為直徑作為黃金橢圓上除頂點(diǎn)外任意一點(diǎn)，過作的兩條切線，切點(diǎn)分別為，直線與軸分別交于兩點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意O、A、P、B四點(diǎn)在以O(shè)P為直徑的圓上，可設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，從而得出四點(diǎn)所在圓的方程為，利用兩圓方程之差求得切點(diǎn)A、B所在直線方程，進(jìn)而求得M、N兩點(diǎn)坐標(biāo)即可解決本題.【詳解】依題意有OAPB四點(diǎn)共圓，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為，則該圓的方程為：，將兩圓方程：與相減，得切點(diǎn)所在直線方程為，解得，因?yàn)?，所?故選：A8.設(shè)橢圓C：的右焦點(diǎn)為F，橢圓C上的兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且滿足，，則橢圓C的離心率的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，，利用橢圓對(duì)稱性結(jié)合，推出，設(shè)，，推出，繼而令，推得，從而求得的關(guān)系式，求得答案.【詳解】如圖所示，設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，連接，，由橢圓的對(duì)稱性可知，四邊形為平行四邊形，又，即FA⊥FB，所以四邊形為矩形，所以，設(shè)，，在中，，，，可得，所以，令，得． 又，得，所以，所以，結(jié)合，所以，所以，所以，即橢圓C的離心率的取值范圍為，故選：B．二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分）9.已知是橢圓上的一點(diǎn)，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.橢圓的短軸長(zhǎng)為B.的坐標(biāo)為C.橢圓的離心率為D.存在點(diǎn)P，使得【答案】AC【解析】【分析】由橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程可得基本量，從而可求離心率，故可判斷ABC的正誤，根據(jù)的大小關(guān)系可判斷D的正誤.【詳解】橢圓的焦點(diǎn)在軸上，，則短軸長(zhǎng)為，A正確；坐標(biāo)為，B錯(cuò)誤；離心率為，C正確；因?yàn)?，故以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與橢圓沒有交點(diǎn)，故不存在點(diǎn)P，使得，D錯(cuò)誤，故選：AC.10.阿基米德在他的著作《關(guān)于圓錐體和球體》中計(jì)算了一個(gè)橢圓的面積．當(dāng)我們垂直地縮小一個(gè)圓時(shí)，我們得到一個(gè)橢圓．橢圓的面積等于圓周率與橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)與短半軸長(zhǎng)的乘積．已知橢圓的面積為，點(diǎn)在橢圓上，且點(diǎn)與橢圓左、右頂點(diǎn)連線的斜率之積為，記橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)分別為，則的值不可能為（）A.4B.7C.10D.14【答案】D 【解析】【分析】根據(jù)題意，列出關(guān)于的方程，求得，然后由即可得到結(jié)果.【詳解】依題意，得，解得，則，故，故選：D．11.設(shè)點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別為，，，動(dòng)點(diǎn)滿足：，給出下列四個(gè)命題：①點(diǎn)的軌跡方程為；②；③存在4個(gè)點(diǎn)，使得的面積為；④.則正確命題的有（）A.①B.②C.③D.④【答案】AD【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義可得的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓可判斷①；結(jié)合橢圓的定義以及共線即可判斷②④,由三角形的面積即可結(jié)合橢圓的最值求解④.【詳解】對(duì)于①，由得,所以點(diǎn)的軌跡為以為焦點(diǎn)的橢圓，且，，，故點(diǎn)的軌跡方程為，①正確；對(duì)于②④，當(dāng)將代入橢圓方程中得，所以點(diǎn)在橢圓內(nèi)，所以，當(dāng)且僅當(dāng)運(yùn)動(dòng)到即與軸垂直時(shí)等號(hào)成立，，由于， 所以，當(dāng)且僅當(dāng)運(yùn)動(dòng)到時(shí)等號(hào)成立，故②錯(cuò)誤④正確；對(duì)于③，，其中為點(diǎn)到直線的距離，若,，由于當(dāng)點(diǎn)為橢圓的右頂點(diǎn)時(shí)，此時(shí)取最大值3，故滿足條件的點(diǎn)只有一個(gè)，③錯(cuò)誤，故選：AD.12.已知，是橢圓上兩個(gè)不同點(diǎn)，且滿足，則下列說法正確的是（）A.的最大值為B.的最小值為C.的最大值為D.的最小值為【答案】AD【解析】【分析】設(shè)，設(shè)，可得，,可得兩點(diǎn)均在圓的圓上，且，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式及圓的性質(zhì)可得及的最值，可得答案.【詳解】由，可得，又，是橢圓上兩個(gè)不同點(diǎn), 可得，設(shè)，則，設(shè),O為坐標(biāo)原點(diǎn)，可得，,可得，且，所以，，又，可得兩點(diǎn)均在圓的圓上，且，設(shè)的中點(diǎn)為，則,根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式可知：為點(diǎn)兩點(diǎn)到直線的距離之和，設(shè)到直線的距離，由題可知圓心到直線的距離為，則，可得最大值為，的最小值為；可得，可得的最大值為，最小值為，故A正確，B錯(cuò)誤；同理，為點(diǎn)兩點(diǎn)到直線 的距離之和，設(shè)到直線的距離，由題可知圓心到直線的距離為，則，，可得，可得的最大值為，最小值為，故C錯(cuò)誤，D正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是把問題轉(zhuǎn)化為圓上點(diǎn)到直線的距離問題，結(jié)合到直線的距離公式及圓的性質(zhì)即得.三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上）13.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)是，則實(shí)數(shù)的值是________.【答案】【解析】【分析】化簡(jiǎn)橢圓的方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合橢圓的幾何性質(zhì)，即可求解.【詳解】由橢圓，可得，因?yàn)闄E圓的一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為，可得且，解得.故答案為：.14.過點(diǎn)(，－)，且與橢圓有相同焦點(diǎn)的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為_______．【答案】【解析】【分析】由題設(shè)條件設(shè)出橢圓方程，再列出關(guān)于a2與b2的方程組即可作答.【詳解】所求橢圓與橢圓的焦點(diǎn)相同，則其焦點(diǎn)在y軸上，半焦距c有c2=25-9=16， 設(shè)它的標(biāo)準(zhǔn)方程為(a＞b＞0)，于是得a2-b2=16，又點(diǎn)(，－)在所求橢圓上，即，聯(lián)立兩個(gè)方程得，即，解得b2=4，則a2=20，所以所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故答案為：15.設(shè)，分別是橢圓的左，右焦點(diǎn)，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若，且，則橢圓的離心率為_________.【答案】##【解析】【分析】如圖，設(shè)，由題意，橢圓定義結(jié)合余弦定理可得，后在由余弦定理可得，即可得答案.【詳解】如圖，設(shè)，則，.又由橢圓定義可得.則在中，由余弦定理可得:.則，則在由余弦定理可得：. 又.故答案為：16.已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上任意一點(diǎn)，且的取值范圍為.當(dāng)點(diǎn)不在軸上時(shí)，設(shè)的內(nèi)切圓半徑為，外接圓半徑為，則的最大值為__________.【答案】【解析】【分析】由的取值范圍為可求出，由正弦定理可得，再由焦點(diǎn)三角形的等面積法可得，所以，求出即可得出答案.【詳解】，，所以，所以，解得：，設(shè)，由正弦定理可得：，，可得：， 又因?yàn)?，設(shè)內(nèi)切圓的圓心為A，所以，所以，所以，又因?yàn)楫?dāng)在短軸的端點(diǎn)時(shí)，最大，此時(shí)，，，所以，故當(dāng)時(shí)，mn取得最大值為.故答案為：四、解答題（共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知點(diǎn)P是橢圓（）上的一點(diǎn)，，分別是橢圓左右兩個(gè)焦點(diǎn)，若，且焦點(diǎn)三角形的面積為，又橢圓的長(zhǎng)軸是短軸的2倍.（1）求出橢圓的方程；（2）若為鈍角，求出點(diǎn)P橫坐標(biāo)的取值范圍．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式可構(gòu)造方程求得，由長(zhǎng)短軸的倍數(shù)關(guān)系可求得，從而得到橢圓方程； （2）設(shè)，由為鈍角可得，由此構(gòu)造不等式求得結(jié)果.【詳解】（1）由橢圓焦點(diǎn)三角形面積公式得：，解得：又橢圓長(zhǎng)軸是短軸的倍，即橢圓的方程為：（2）設(shè)，則又橢圓焦點(diǎn)，，為鈍角，即，解得：點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍為【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程的求解、由向量夾角大小求解參數(shù)范圍的問題；關(guān)鍵是能夠?qū)⒔菫殁g角轉(zhuǎn)化為向量數(shù)量積小于零的關(guān)系，從而構(gòu)造不等式求得結(jié)果.18.已知直線：x+y-4=0，：x-y+2=0和直線：ax-y+1-4a=0.（1）若存在一個(gè)三角形，它的三條邊所在的直線分別是，，，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；（2）若直線l經(jīng)過和的交點(diǎn)，且點(diǎn)到l的距離為2，試求直線l的方程.【答案】（1）且（2）x=1或【解析】【分析】（1）求得與的交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后由直線不過點(diǎn)，不與直線平行求得的范圍；（2）考慮斜率不存在的直線是否滿足題意，在斜率存在時(shí)設(shè)出直線方程，由點(diǎn)到直線距離公式求得參數(shù)值得直線方程．【小問1詳解】由可得：，∴和的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為. 當(dāng)過點(diǎn)A時(shí)，，此時(shí)不存在三角形滿足題意，為滿足題意，必有，當(dāng)或時(shí)，由于的斜率為-1，的斜率為1，的斜率為a，∴a=1或a=-1，此時(shí)也不存在三角形滿足題意，為滿足題意，必有，綜上可知：且.【小問2詳解】直線l經(jīng)過和的交點(diǎn)，當(dāng)軸時(shí)，l的方程為：x=1，點(diǎn)到l的距離為2，符合題意；當(dāng)l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為：，即，由于點(diǎn)到l的距離為2，所以，此時(shí)l的方程為：，綜上可知，直線l的方程為：x=1或.19.在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且．（1）求角C；（2）若c=4，△ABC的面積為，求a，b．【答案】（1）（2）a=b=4【解析】【分析】（1）利用兩角和與差的正弦公式和正弦定理可求出結(jié)果；（2）根據(jù)三角形面積得，再結(jié)合余弦定理可求出結(jié)果.【小問1詳解】依題意由得，根據(jù)正弦定理得，則，則，所以，由于，所以，所以， 所以，則，由于，則．【小問2詳解】由題意：，所以ab=16．又由余弦定理以及c=4，得，所以，所以，所以a=b=4．20.如圖，在三棱臺(tái)中，若平面，，，，為中點(diǎn)，為棱上一動(dòng)點(diǎn)（不包含端點(diǎn)）．（1）若為的中點(diǎn)，求證：平面；（2）是否存在點(diǎn)，使得平面與平面所成角的余弦值為？若存在，求出長(zhǎng)度；若不存在，請(qǐng)說明理由．【答案】（1）證明見解析（2）存在，【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，易證得四邊形為平行四邊形，得到，由線面平行的判定可證得結(jié)論；（2）以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)面面角向量求法可構(gòu)造方程求得的值，由此可得結(jié)果. 【小問1詳解】分別取中點(diǎn)，連接，則為的中位線，，，又，，，，四邊形為平行四邊形，，又平面，平面，平面.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)，則，，令平面的法向量為，則，令，則，，； 又平面的一個(gè)法向量，，解得：或（舍），，，即的長(zhǎng)為.21.已知在平面直角坐標(biāo)系xOy中，，，平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P滿足．（1）求點(diǎn)P的軌跡方程；（2）點(diǎn)P軌跡記為曲線，若C，D是曲線與x軸的交點(diǎn)，E為直線l：x＝4上的動(dòng)點(diǎn)，直線CE，DE與曲線的另一個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，直線MN與x軸交點(diǎn)為Q，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【答案】（1）（2）．【解析】【分析】(1)設(shè)點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，利用兩點(diǎn)間距離公式表示條件關(guān)系，化簡(jiǎn)等式可得軌跡方程；(2)設(shè)，聯(lián)立直線的方程和曲線的方程求點(diǎn)的坐標(biāo)，聯(lián)立直線的方程和曲線的方程求點(diǎn)的坐標(biāo)，求直線的方程，確定其與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)即可.【小問1詳解】設(shè)點(diǎn)為曲線上任意一點(diǎn)，因?yàn)?，，，則，化簡(jiǎn)得．【小問2詳解】由題意得，，設(shè)，則直線的方程為，直線的方程為， 聯(lián)立得，則，即，，所以聯(lián)立得，則，即，，所以當(dāng)時(shí)，直線的斜率，則直線的方程為，即，所以，當(dāng)時(shí)，直線垂直于軸，方程為，也過定點(diǎn)．綜上，直線恒過定點(diǎn)． 【點(diǎn)睛】本題為直線與圓的綜合問題，解決的關(guān)鍵在于聯(lián)立方程組求出交點(diǎn)坐標(biāo)，對(duì)學(xué)生的運(yùn)算能力要求較高.22.如圖，已知半圓C1：與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于E點(diǎn)，半橢圓C2：的上焦點(diǎn)為F，并且是面積為的等邊三角形，將由C1、C2構(gòu)成的曲線，記為“?！保?）求實(shí)數(shù)a、b的值；（2）直線l：與曲線Γ交于M、N兩點(diǎn)，在曲線Γ上再取兩點(diǎn)S、T（S、T分別在直線l兩側(cè)），使得這四個(gè)點(diǎn)形成的四邊形MSNT的面積最大，求此最大面積；（3）設(shè)點(diǎn)，P是曲線Γ上任意一點(diǎn)，求的最小值．【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)等邊的面積公式列方程求出b，再計(jì)算a；（2）分別求出點(diǎn)N、M的坐標(biāo)，計(jì)算|，求出點(diǎn)S、T到直線MN的最大距離，計(jì)算四邊形MSNT的面積最大值；（3）討論t的取值范圍，寫出的表達(dá)式，從而求出的解析式．【小問1詳解】 如圖1所示，由等邊的面積為，所以，解得，所以，又，解得，即；【小問2詳解】如圖2所示，設(shè)點(diǎn)N在半圓上，且在第三象限內(nèi)，M在半橢圓上，且在第一象限內(nèi)，由，解得，由，解得；所以；設(shè)S在半圓上，且在第二象限，，S到直線MN距離為d，， 則，T到直線MN的最大距離為1，所以四邊形MSNT的面積最大值為；【小問3詳解】如圖3所示，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，設(shè)是半橢圓上的點(diǎn)，由得.此時(shí)若，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故當(dāng)時(shí),；若，則，在上單調(diào)遞減，故當(dāng)時(shí)，；綜上所述，.