河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)（文） Word版含解析.docx

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河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)2021——2022學(xué)年高二上期期中試卷文科數(shù)學(xué)試題（時間：120分鐘，滿分：150分）一．選擇題（本大題共12小題，每小題5分，共60分）1.若，滿足，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由不等式性質(zhì)求解即可【詳解】,，，，，又可得，所以，所以的取值范圍是故選：A2.等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則（）A.10B.5C.3D.4【答案】C【解析】【分析】由等比數(shù)列的性質(zhì)可知：，再由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計算即可求解．【詳解】等比數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，且，則有，，則； 故選：C．3.的內(nèi)角，，的對邊分別為，，，滿足，則等于（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用余弦定理可求，再結(jié)合正弦定理即得.【詳解】因?yàn)椋环猎O(shè)，則所以故選：D4.已知不等式的解集為，那么不等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由不等式的解集為知：，，，然后可求得不等式的解集．【詳解】解：不等式的解集為，方程的兩根為和1，且，，，不等式， 解得或，不等式的解集為.故選：D.5.已知等差數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，且有，，則的值為（　　）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用等差數(shù)列的求和公式可求得、的值，即可得解.【詳解】由等差數(shù)列的求和公式可得，，因此，.故選：B.6.在中，角、、所對的邊分別為、、，已知，，為使此三角形有兩個，則滿足的條件是（　?。〢.B.C.D.或【答案】A【解析】【分析】作出圖形可得出關(guān)于的不等式，由此可解得的取值范圍.【詳解】如下圖所示：因?yàn)橛袃山?，且，，則，即.故選：A. 7.已知實(shí)數(shù)滿足不等式組，且的最大值是最小值的2倍，則A.B.C.D.【答案】B【解析】【詳解】分析：首先根據(jù)題中所給的約束條件畫出相應(yīng)的可行域，結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的形式，結(jié)合其幾何意義，能夠判斷出最優(yōu)解的位置，聯(lián)立方程組求得最優(yōu)解的坐標(biāo)，代入目標(biāo)函數(shù)得到z的最值，再由最大值是最小值的2倍列式求得結(jié)果.詳解：根據(jù)題中所給的約束條件，畫出相應(yīng)的可行域，如圖所示：作出直線，平移直線，由圖可知，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)D時，直線在y軸上的截距最小，此時取得最大值，由，可得，所以的最大值是1，當(dāng)直線經(jīng)過點(diǎn)B時，直線在y軸上的截距最大，此時取得最小值，由，可得，所以最小值是，因?yàn)榈淖畲笾凳亲钚≈档?倍，所以，解得，故選B.點(diǎn)睛： 該題考查的是有關(guān)線性規(guī)劃的問題，在解題的過程中，需要先畫出約束條件對應(yīng)的可行域，之后結(jié)合目標(biāo)函數(shù)的形式得到其對應(yīng)的幾何意義，從而判斷出其最優(yōu)解，聯(lián)立方程組求得最值，根據(jù)2倍關(guān)系找出其滿足的等量關(guān)系式，最后求得結(jié)果.8.在數(shù)列中，，（，），則的最小值是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用累加法可求得，從而可得化簡后可求得其最小值【詳解】由題意可得，當(dāng)時，滿足上式，則.因?yàn)?，所以，所以，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立.故選：C9.“大玉米”是鄭州新地標(biāo)，被稱為“中原第一高樓”，也被稱為是世界上一座獨(dú)一無二的標(biāo)志性建筑.它是圓柱塔式建筑，夜晚其布景燈采用黃色設(shè)計，外形宛如一根“大玉米”.某人在地面上點(diǎn)測得塔底在南偏西，樓頂?shù)难鼋菫椋巳搜啬掀珫|方向前進(jìn)到點(diǎn)，測得樓頂?shù)难鼋菫?，按照此人的測量進(jìn)行估算，則“大玉米”的高約為（）（參考數(shù)據(jù)： A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由題設(shè)塔高，利用余弦定理即求.【詳解】如圖所示，平面，其中設(shè)塔高，在中，由余弦定理得整理得：，由求根公式可得，或（舍去）所以“大玉米”的高約為.故選：A.10.已知，則的最小值為A.6B.4C.D.【答案】A【解析】【詳解】因?yàn)椋ó?dāng)且僅當(dāng)時取等號），故（當(dāng)且僅當(dāng)取等號），應(yīng)選答案A． 11.已知數(shù)列滿足且數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)遞增數(shù)列可得關(guān)于的不等式組，從而可求其取值范圍.【詳解】由題意可得解得.故選：A.12.在中，內(nèi)角的對邊為，若的倒數(shù)成等差數(shù)列，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差中項(xiàng)的性質(zhì)可得，再利用基本不等式得到，最后利用余弦定理結(jié)合不等式，即可得到答案；【詳解】的倒數(shù)成等差數(shù)列，，，由余弦定理得： ，，故選：A.二．填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，則數(shù)列的通項(xiàng)公式為______．【答案】【解析】【分析】利用與關(guān)系即得.【詳解】因?yàn)?，?dāng)時，，當(dāng)時，，所以．故答案為：．14.不等式的解集為___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)分式不等式以及一元二次不等式解法即可求解.【詳解】即即即，所以或解得或 所以不等式的解集為.故答案為：15.若函數(shù)在區(qū)間D上是凸函數(shù)，則對于區(qū)間D內(nèi)的任意，，…，都有，若函數(shù)在區(qū)間上是凸函數(shù)，則在△中，的最大值是______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)題設(shè)凸函數(shù)的性質(zhì)可得即可求最大值，注意等號成立條件.【詳解】由題設(shè)知：，∴，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立.故答案為：.16.數(shù)列{an}滿足an＋1＋(－1)nan＝3n－1，則{an}的前60項(xiàng)和____________.【答案】2760【解析】【詳解】依題意有，……，以此類推，，……，以此類推，由此可知，從第一項(xiàng)起，依次取兩個相鄰奇數(shù)項(xiàng)的和都等于，從第二項(xiàng)其，依次取相鄰偶數(shù)項(xiàng)的和是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，故前項(xiàng)和為.三．解答題（本大題共6小題，其中17題10分，其余每小題12分，共70分）17.已知在中，角的對邊分別為，且．（1）求角的大??；（2）若的面積，求的值． 【答案】（1）；（2）.【解析】【詳解】試題分析：(1)利用內(nèi)角互補(bǔ),將角統(tǒng)一,再統(tǒng)一名稱,解方程可得;(2)已知,故公式選擇,,最后用正弦定理將角化為邊即可求解.試題解析：（1）由，得，即，解得：或（舍去）.因?yàn)?，所?（2）由，得.由余弦定理，得，所以.18.已知公差不為零的等差數(shù)列{an}滿足a1＝3，且a1，a4，a13成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；（2）若Sn表示數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn．【答案】（1）an＝2n+1（2）Tn＝【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得，設(shè)公差為d，代入可求得d值，代入等差數(shù)列通項(xiàng)公式，即可得答案.（2）由（1）得an＝2n+1，即可求得，進(jìn)而可得，根據(jù)裂項(xiàng)相消求和法，計算即可得答案.【小問1詳解】由題意得：，設(shè)公差為，所以（3+3d）2＝3（3+12d），解得d＝0（舍）或2， 所以an＝3+2（n﹣1）＝2n+1．【小問2詳解】由于（1）得an＝2n+1，則＝n2+2n，所以．所以Tn＝=＝．19.已知對于正數(shù)、，存在一些特殊的形式，如：、、等．判斷上述三者的大小關(guān)系，并證明.【答案】，證明見解析【解析】【分析】利用基本不等式可得出、、的大小關(guān)系.【詳解】解：，證明如下：因?yàn)椤⒕鶠檎龜?shù)，由基本不等式可得，則，則，所以，由上可知，則，即，所以，，綜上所述，，當(dāng)且僅當(dāng)時，兩個等號都成立.20.已知數(shù)列{an}中，a1=1，an+1=（n∈N*）．（1）求證：{+}為等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式an； （2）數(shù)列{bn}滿足bn=（3n﹣1）××an，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．【答案】（1）證明見解析（2）4﹣【解析】【詳解】試題分析：（1）根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系，結(jié)合等比數(shù)列的定義即可證明{+}為等比數(shù)列，并求{an}的通項(xiàng)公式an；（2）利用錯誤相減法即可求出數(shù)列的和．解（1）∵a1=1，an+1═，∴，即==3（+），則{+}為等比數(shù)列，公比q=3，首項(xiàng)為，則+=，即=﹣+=，即an=．（2）bn=（3n﹣1）××an=，則數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn=①=+…+②，兩式相減得=1﹣=﹣=2﹣﹣=2﹣，則Tn=4﹣．考點(diǎn)：數(shù)列的求和；數(shù)列遞推式．21.已知關(guān)于x的不等式（ax﹣1）（x+1）＞0．（1）若此不等式的解集為，求實(shí)數(shù)a的值；（2）若a∈R，解這個關(guān)于x的不等式． 【答案】（1）a＝﹣2（2）答案不唯一，見解析【解析】【分析】（1）根據(jù)不等式解集，可得方程（ax﹣1）（x+1）＝0的兩根是﹣1，﹣，代入即可得答案.（2）分別討論a＜﹣1、a＝﹣1、﹣1＜a＜0、a＝0和a＞0幾種情況，結(jié)合一元二次不等式的解法，即可得答案.【小問1詳解】∵不等式（ax﹣1）（x+1）＞0的解集為，∴方程（ax﹣1）（x+1）＝0的兩根是﹣1，﹣；∴﹣a﹣1＝0，解得a＝﹣2；【小問2詳解】當(dāng)a＜0時，不等式可化為（x﹣）（x+1）＜0；若a＜﹣1，則＞﹣1，解得﹣1＜x＜；若a＝﹣1，則＝﹣1，解得不等式為；若﹣1＜a＜0，則＜﹣1，解得＜x＜﹣1；當(dāng)a＝0時，不等式為﹣（x+1）＞0，解得x＜﹣1；當(dāng)a＞0時，不等式為（x﹣）（x+1）＞0，∵＞﹣1，∴解不等式得x＜﹣1或x＞；綜上，當(dāng)a＜﹣1時，不等式的解集為{x|﹣1＜x＜}；當(dāng)a＝﹣1時，不等式的解集為；當(dāng)﹣1＜a＜0時，不等式的解集為{x|＜x＜﹣1}；當(dāng)a＝0時，不等式的解集為{x|x＜﹣1}；當(dāng)a＞0時，不等式的解集為{x|x＜﹣1或x＞}．22.如圖，已知扇形是一個觀光區(qū)的平面示意圖，其中扇形半徑為10米，，為了便于游客觀光和旅游，提出以下兩種設(shè)計方案: （1）如圖1，擬在觀光區(qū)內(nèi)規(guī)劃一條三角形形狀的道路，道路的一個頂點(diǎn)在弧上，另一頂點(diǎn)在半徑上，且，求周長的最大值；（2）如圖2，擬在觀光區(qū)內(nèi)規(guī)劃一個三角形區(qū)域種植花卉，三角形花圃的一個頂點(diǎn)在弧上，另兩個頂點(diǎn)?在半徑?上，且，，求花圃面積的最大值.【答案】（1）米（2）【解析】【分析】（1）要求周長的最大值，即求的最小值，設(shè)，在中由正弦定理求出，利用三角恒等變換，將轉(zhuǎn)化為正弦型三角函數(shù)，即可求出最值；或由，利用余弦定理結(jié)合基本不等式，即可求出的最值；（2）中的面積與（1）中面積相等，利用余弦定理結(jié)合基本不等式，即可求出的最大值；或過作于，設(shè)，，通過，求出，進(jìn)而求出，求出面積關(guān)于的三角函數(shù)關(guān)系，利用三角恒等變換，以及正弦函數(shù)的圖像求出其最值.【詳解】（1）解法1:∵，，∴，又，設(shè)，，在中由正弦定理知，∴，， ∴周長，，∴時，周長最大值米，解法2:在中，因?yàn)?，，，∴，由余弦定理?，∴，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立；（2）解法1:因?yàn)椋?）中的面積與（1）中面積相等，而在中，因?yàn)?，，，∴，由余弦定理?，∴，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，等號成立；∴，答:花圃面積最大值，最大值時.解法2:過作于，∵，，易知四邊形為矩形，連結(jié)，設(shè)，，∴， 在中，∴，時，最大值為.答:花圃面積最大值為.【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)最值應(yīng)用問題，其方法有二：一利用正弦定理或直角三角形化邊為角，借助三角恒等變換轉(zhuǎn)化為正弦型函數(shù)的最值；二是利用余弦定理結(jié)合基本不等式，求出最值，計算量小.如果求最值選擇二方法更為直接，如果是求取值范圍，選擇一方法比較好.屬于中檔題.