湖南省衡陽市第八中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第二次階段性考試數(shù)學(xué)（解析版）.docx

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高三數(shù)學(xué)階段測試卷（二）請注意：本卷共4頁，22小題，滿分150分，考試時(shí)量為120分鐘.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知復(fù)數(shù)是一元二次方程的一個(gè)根，則的值為A.1B.C.0D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求得方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根，結(jié)合復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式，即可求解.【詳解】由題意，方程，可得，所以方程的兩個(gè)復(fù)數(shù)根分別為或，所以.故選：B.2.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】解一元二次不等式求集合A，結(jié)合集合B的描述求交集.【詳解】由題設(shè)，而，，則，所以.故選：D3.已知，則“”是“”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】結(jié)合作差法比較代數(shù)式的大小關(guān)系，判斷“”和“” 之間的邏輯推理關(guān)系，可得答案.詳解】由題意，若，結(jié)合，則，故“”是“”的充分條件；者，則，取滿足，但不滿足，故“”不是“”的必要條件．于是“”是“”的充分不必要條件，故選：A．4.已知的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為0，則展開式中的系數(shù)為（）A.28B.-28C.45D.-45【答案】A【解析】【分析】根據(jù)展開式各項(xiàng)系數(shù)之和可得的值，從而可得展開式的通項(xiàng)，進(jìn)而可得的系數(shù).【詳解】的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為0所以令得，則，所以的通項(xiàng)為所以展開式中的系數(shù)為.故選：A.5.已知，，且，，則（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】根據(jù)題意，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，利用指數(shù)、對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性得到，結(jié)合對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，?若，則，即，得，與矛盾.故，由，得，得.綜上，.故選：B.6.直三棱柱如圖所示，為棱的中點(diǎn)，三棱柱的各頂點(diǎn)在同一球面上，且球的表面積為，則異面直線和所成的角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先根據(jù)已知條件求出側(cè)棱長，然后建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線和的方向向量，從而可求解.【詳解】因?yàn)樵谥比庵?，所以球心到底面的距離，又因?yàn)?，所以，所以，所以底面外接圓半徑 ，又因?yàn)榍虻谋砻娣e為，所以，而，所以，以為原點(diǎn)，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，設(shè)直線和所成的角為，則.故選：A.7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以為始邊，角與的終邊分別與單位圓相交于，兩點(diǎn)，且，，若直線的斜率為，則（）A.B.C.D.【答案】B 【解析】【分析】利用等腰三角形中角的關(guān)系以及直線斜率與傾斜角關(guān)系得，再根據(jù)二倍角的正切公式即可求出，最后結(jié)合的范圍以及同角三角函數(shù)的關(guān)系即可得到答案.【詳解】由題意得，，，則直線所對的傾斜角為，，即，則，則，，，，又因?yàn)?，，則，結(jié)合，解得，故選：B.8.已知函數(shù)在區(qū)間(0，1)上有最小值，則實(shí)數(shù)a取值范圍是（）A.(-e，2)B.(-e，1-e)C.(1，2)D.【答案】A【解析】【分析】在上遞增，根據(jù)在上有最小值，可知有極小值點(diǎn)，也即最小值點(diǎn)，由此列不等式來求得的取值范圍.【詳解】在區(qū)間上單調(diào)遞增，由題意只需， 這時(shí)存在，使得在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，即函數(shù)在區(qū)間上有極小值也即是最小值．所以的取值范圍是.故選：A二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對的得2分.9.下列說法正確的是（）A.線性回歸方程中，若線性相關(guān)系數(shù)越大，則兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)B.數(shù)據(jù)的第75百分位數(shù)為10C.根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于0.05D.某校共有男女學(xué)生1500人，現(xiàn)按性別采用分層抽樣的方法抽取容量為100人的樣本，若樣本中男生有55人，則該校女生人數(shù)是675【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)相關(guān)系數(shù)的含義判斷A；由百分位數(shù)求法可判斷B；根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想判斷C；由分層抽樣比例分配建立關(guān)系求解即可判斷D.【詳解】對于A，相關(guān)系數(shù)，且越接近于1，相關(guān)程度越大，反之兩個(gè)變量的線性相關(guān)性越弱，當(dāng)時(shí)，線性相關(guān)系數(shù)越大，則越小，線性相關(guān)性越弱，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；對于B，數(shù)據(jù)是從小到大排列的，由，則第75百分位數(shù)為第6項(xiàng)數(shù)據(jù)與第7項(xiàng)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，故選項(xiàng)B正確：對于C：因?yàn)?，所以有的把握可判斷分類變量與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不大于，故選項(xiàng)C正確；對于D，設(shè)該校女生人數(shù)是，則由分層抽樣的比例分配方式， 得，解得，故選項(xiàng)D正確.故選：BCD.10.已知直線：與：相交于點(diǎn)P，直線與x軸交于點(diǎn)，過點(diǎn)作x軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作y軸的垂線交直線于點(diǎn)，過點(diǎn)作x軸的工線交直線于點(diǎn)，…，這樣一直作下去，可得到一系列點(diǎn)，，，，…，記點(diǎn)的橫坐標(biāo)構(gòu)成數(shù)列，則（）A.點(diǎn)B.數(shù)列的前n項(xiàng)和滿足：C.數(shù)列單調(diào)遞減D.【答案】AD【解析】【分析】由題意，點(diǎn)，，，在直線上，點(diǎn)，，，在直線上，設(shè)點(diǎn)，則，可得，可得，利用數(shù)列遞推關(guān)系變形可得是等比數(shù)列，進(jìn)而可求得，依次可判斷各選項(xiàng).詳解】由題可知，，，，故A正確；設(shè)點(diǎn)，則，故，即有，∴， 故是以1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，，，可得，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；對于數(shù)列有：，故數(shù)列單調(diào)遞增，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；由兩直線交點(diǎn)和點(diǎn)可得：，故D正確.故選：AD.11.在圓錐中，已知高，底面圓的半徑為為母線的中點(diǎn)，根據(jù)圓錐曲線的定義，下列四個(gè)圖中的截面邊界曲線分別為圓?橢圓?雙曲線及拋物線，下面四個(gè)結(jié)論正確的有（）A.圓的面積為B.橢圓的長軸長為C.雙曲線兩漸近線的夾角正切值為D.拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)所給的圖，結(jié)合截面圓與底面關(guān)系確定半徑，即可求面積判斷A；再由橢圓、雙曲線、拋物線性質(zhì)建立直角坐標(biāo)系，并標(biāo)注相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)求對應(yīng)曲線方程，進(jìn)而判斷B、C、D. 【詳解】A：由題圖及已知：截面圓的半徑為底面圓半徑的一半，故圓的面積為，對；B：如下圖軸截面中，作于，則長軸長，又，則，對；C：如下圖，與面垂直且過M的平面內(nèi)，建立平面直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)原點(diǎn)O、點(diǎn)P與底面距離相等，均為2，則，雙曲線與底面一個(gè)交點(diǎn)，設(shè)雙曲線為，且，則，所以其中一條漸近線為，若其傾斜角為，則，故兩條漸近線夾角正切值為，對；D：如下圖，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線與底面圓的一個(gè)交點(diǎn)為H，則，故，設(shè)拋物線方程為，則，所以拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，錯(cuò).故選：ABC 12.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則下列說法正確的是（）A.曲線在點(diǎn)處的切線方程為B.不等式的解集為C.若關(guān)于的方程有6個(gè)實(shí)根，則D.，，都有【答案】AC【解析】【分析】利用函數(shù)為奇函數(shù)求出時(shí)的解析式并求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，得出切線方程，即可判斷A；結(jié)合的解析式，求出不等式的解集即可判斷B；根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)作出的大致圖象，可知當(dāng)時(shí)，，由此即可判斷D；根據(jù)的圖象，結(jié)合函數(shù)圖象的變換規(guī)律，作出的大致圖象，根據(jù)直線與交點(diǎn)個(gè)數(shù)的情況，即可判斷C．【詳解】函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，∵當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，則，∴，，又∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，故A正確；∵∴令，則當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，符合題意，故的解集為，故B錯(cuò)誤； 當(dāng)時(shí)，，∴，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∴當(dāng)時(shí)，取極小值，在時(shí)，，函數(shù)是上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，根據(jù)以上信息，作出的大致圖象如圖，由圖可知，當(dāng)時(shí)，，，，都有，故D錯(cuò)誤．根據(jù)函數(shù)圖象的變換規(guī)律，作出的大致圖象如圖，由圖可知，當(dāng)時(shí)，直線與的圖象有6個(gè)交點(diǎn)，則關(guān)于的方程有6個(gè)實(shí)根，故C正確；故選：AC．三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.在中，，，則的值是______________.【答案】.【解析】 【分析】根據(jù)三角形內(nèi)角和是，以及兩角和的余弦公式，并使用誘導(dǎo)公式和平方關(guān)系，可得結(jié)果.【詳解】在中，，所以又，所以可知為銳角，所以又，可知所以即所以故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查兩角和的余弦公式，還考查三角形中角的大小的判斷，屬基礎(chǔ)題.14.數(shù)列和數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，數(shù)列滿足：，則數(shù)列的最大項(xiàng)等于______.【答案】##1.75【解析】【分析】由條件求數(shù)列的通項(xiàng)公式，再研究數(shù)列的單調(diào)性，由此確定其最大項(xiàng).【詳解】數(shù)列和數(shù)列的公共項(xiàng)從小到大構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列為：，該數(shù)列為首項(xiàng)為1，公差為的等差數(shù)列，所以，所以因?yàn)樗援?dāng)時(shí)，，即， 又，所以數(shù)列的最大項(xiàng)為第二項(xiàng)，其值為.故答案為：.15.已知雙曲線的離心率為，其中一條漸近線與圓交于兩點(diǎn)，則_____.【答案】【解析】【分析】利用雙曲線的離心率，求解漸近線方程，然后求解圓的圓心到直線的距離，轉(zhuǎn)化求解即可．【詳解】雙曲線的離心率為，可得，所以，所以雙曲線的漸近線方程為：，一條漸近線與圓交于，兩點(diǎn)，圓的圓心，半徑為1，圓的圓心到直線的距離為：，所以．故答案為：．16.萊洛三角形，也稱圓弧三角形，是一種特殊三角形，在建筑、工業(yè)上應(yīng)用廣泛，如圖所示，分別以正三角形的頂點(diǎn)為圓心，以邊長為半徑作圓弧，由這三段圓弧組成的曲邊三角形即為萊洛三角形，已知兩點(diǎn)間的距離為2，點(diǎn)為上的一點(diǎn)，則的最小值為______．【答案】【解析】 【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算及向量數(shù)量積的運(yùn)算將所求式子表示為，再利用三角形的幾何意義求解即可.【詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，如圖所示，則，在正三角形中，，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以的最小值為?故答案為：.四?解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.在中，角的對邊分別為，已知，且.（1）求的外接圓半徑；（2）求內(nèi)切圓半徑的取值范圍. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理及余弦定理求得，由求；（2）由正弦定理求的范圍，再用求得后即可求的取值范圍.小問1詳解】由正弦定理，，可得再由余弦定理，，又，所以.因?yàn)?，所?【小問2詳解】由（1）可知：，則.則.在中，由正弦定理，，所以，則 ，又，所以，所以，，所以.18.已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，．（1）求證為等比數(shù)列；（2）求證：．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）由已知得，即，可證明是等比數(shù)列；（2）有（1）知，即，合理利用放縮然后利用裂項(xiàng)相消可得證明.【詳解】證明：（1）∵數(shù)列的前n項(xiàng)和為，，，∴，∴，，∴是以為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列．（2）∵是以為首項(xiàng)，以4為公比的等比數(shù)列，∴，∴．∴．，，所以， 當(dāng)時(shí)，∴．綜上所述，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了由遞推數(shù)列求證等比數(shù)列，以及放縮法證明不等式，其中合理利用放縮然后再利用裂項(xiàng)相消求和是解答的關(guān)鍵，著重考查推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19.綜合素質(zhì)評價(jià)是高考招生制度改革的內(nèi)容之一．某高中采用多維評分的方式進(jìn)行綜合素質(zhì)評價(jià)．下圖是該校高三學(xué)生“運(yùn)動與建康”評價(jià)結(jié)果的頻率直方圖，評分在區(qū)間[90，100），[70，90），[60，70），[50，60）上，分別對應(yīng)為A，B，C，D四個(gè)等級．為了進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生對運(yùn)動與健康的重視，初評獲A等級的學(xué)生不參加復(fù)評，等級不變，對其余學(xué)生學(xué)校將進(jìn)行一次復(fù)評．復(fù)評中，原獲B等級的學(xué)生有的概率提升為A等級：原獲C等級的學(xué)生有的概率提升為B等級：原獲D等級的學(xué)生有的概率提升為C等級．用頻率估計(jì)概率，每名學(xué)生復(fù)評結(jié)果相互獨(dú)立．（1）若初評中甲獲得B等級，乙、丙獲得C等級，記甲、乙、丙三人復(fù)評后等級為B等級的人數(shù)為ξ，求ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望；（2）從全體高三學(xué)生中任選1人，在已知該學(xué)生是復(fù)評晉級的條件下，求他初評是C等級的概率．【答案】（1）分布列見解析，（2）【解析】【分析】（1）求出的所有可能取值及其對應(yīng)的概率，即可求出ξ的分布列，再由期望公式求出ξ的數(shù)學(xué)期望；（2）記事件A為“該學(xué)生復(fù)評晉級”，事件B為“該學(xué)生初評是C”，由條件概率公式代入求解即可. 【小問1詳解】的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，∴的分布列如下：0123P．【小問2詳解】記事件A為“該學(xué)生復(fù)評晉級”，事件B為“該學(xué)生初評是C”，．20.如圖，三棱臺，，，平面平面，，，與相交于點(diǎn)，，且∥平面.（1）求三棱錐的體積；（2）平面與平面所成角為，與平面所成角為，求證：.【答案】（1）2（2）證明見解析【解析】 【分析】（1）通過證明線線和線面垂直，并結(jié)合已知條件即可得出三棱錐的體積；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，表達(dá)出各點(diǎn)的坐標(biāo)，求出所成角為與的正余弦值，即可證明結(jié)論.【小問1詳解】由題意，∵平面平面，且平面平面，，平面ABC∴平面，∵平面，∴，又，，平面ABC∴平面，連接，∵平面，平面，平面平面，∴，∵，∴，∴.∴三棱錐底面的面積，高，∴其體積為：.【小問2詳解】證明：由題意及（1）得，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系， 如圖則.設(shè)平面的法向量為，由，取，則，平面的一個(gè)法向量為，所以又因?yàn)?，所以又，所?21.已知函數(shù).（1）若對任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：當(dāng)時(shí)，.【答案】（1）（2）見解析【解析】【分析】（1）對任意的，恒成立，分離參數(shù)，則，令 ，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行研究求出函數(shù)的最大值即可；（2）由（1）可得，令，整理即可得，然后利用此不等式將待證不等式左邊每一項(xiàng)放縮，進(jìn)而利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)證得原不等式.【小問1詳解】解：對任意的，恒成立，即為，令，則，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，又當(dāng)時(shí)，，注意到，則當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)在上遞增，在上遞減，所以，所以；【小問2詳解】證明：由（1）可得，即，令，則，即，所以.，所以原不等式成立. 22.已知橢圓的離心率為，三點(diǎn)中恰有兩個(gè)點(diǎn)在橢圓上．（1）求橢圓C的方程；（2）若C的上頂點(diǎn)為E，右焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線交C于A，B兩點(diǎn)（與橢圓頂點(diǎn)不重合），直線EA，EB分別交直線于P，Q兩點(diǎn)，求面積的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)對稱性得到和在C上，得到，再根據(jù)離心率得到答案；（2）設(shè)直線，聯(lián)立方程根據(jù)韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，計(jì)算的橫坐標(biāo)，得到，設(shè)，，，計(jì)算最值即可.【小問1詳解】由橢圓的對稱性可知點(diǎn)和在C上，代入方程得．設(shè)C的半焦距為，則離心率為，所以，所以，解得，以橢圓C的方程為．【小問2詳解】設(shè)，，，設(shè)直線．由消去x得，所以， 設(shè)點(diǎn)，直線EA的方程為，由與聯(lián)立得，同理可得．所以．整理得，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離，所以．設(shè)，則，所以，當(dāng)，即時(shí)，．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了求橢圓方程，橢圓中的面積的最值問題，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力，轉(zhuǎn)化能力和綜合應(yīng)用能力，其中根據(jù)設(shè)而不求的思想，利用韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，利用換元法求最值是解題的關(guān)鍵.