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《安徽省南陵中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一次診斷練習(xí)數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。
高二上學(xué)期第一次診斷練習(xí)數(shù)學(xué)試卷一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若一次函數(shù)所表示直線的傾斜角為，則的值為（）．A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由題意可得，化簡代入計算．【詳解】的斜率為即故選：D．2.某高中為了了解本校學(xué)生考入大學(xué)一年后的學(xué)習(xí)情況，對本校上一年考入大學(xué)的同學(xué)進(jìn)行了調(diào)查，根據(jù)學(xué)生所屬的專業(yè)類型，制成餅圖，現(xiàn)從這些同學(xué)中抽出100人進(jìn)行進(jìn)一步調(diào)查，已知張三為理學(xué)專業(yè)，李四為工學(xué)專業(yè)，則下列說法不正確的是（）A.若按專業(yè)類型進(jìn)行分層抽樣，則張三被抽到的可能性比李四大B.若按專業(yè)類型進(jìn)行分層抽樣，則理學(xué)專業(yè)和工學(xué)專業(yè)應(yīng)抽取30人和20人C.采用分層抽樣比簡單隨機(jī)抽樣更合理D.該問題中的樣本容量為100【答案】A【解析】
【分析】由分層抽樣的特點(diǎn)以及它的定義判斷選項A、B、C,利用樣本容量的定義判斷選項D.【詳解】對于選項A，張三與李四被抽到的可能性一樣大，故A錯誤；對于選項B，理學(xué)專業(yè)應(yīng)抽取的人數(shù)為，工學(xué)專業(yè)應(yīng)抽取的人數(shù)為，故B正確；對于選項C，因為各專業(yè)差異比較大，所以采用分層隨機(jī)抽樣更合理，故C正確；對于選項D，該問題中的樣本容量為100，故D正確.故選：A.3.在等邊中，O為重心，D是的中點(diǎn)，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用平面向量的線性運(yùn)算計算作答.【詳解】O為的重心，延長AO交BC于E，如圖，E為BC中點(diǎn)，則有，而D是的中點(diǎn)，所以.故選：D4.“雙減”政策實施后，學(xué)生的課外閱讀增多.某班50名學(xué)生到圖書館借書數(shù)量統(tǒng)計如下：借書數(shù)量（單位：本）5678910頻數(shù)（單位：人）58131194則這50名學(xué)生的借書數(shù)量的上四分位數(shù)（第75百分位數(shù)）是（）A.8B.8.5C.9D.10【答案】C【解析】【分析】根據(jù)百分位數(shù)的定義，結(jié)合統(tǒng)計表求四分位數(shù).
【詳解】由，故第75百分位數(shù)在借書數(shù)量從小到大排序后的第38人，又，故四分位數(shù)（第75百分位數(shù)）是9.故選：C5.設(shè)為兩條直線，為兩個平面，則的充分條件是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】對于選項A、B、D，可以舉反例進(jìn)行排除；對于選項C，可以結(jié)合空間兩個平面的法向量垂直，則兩個平面垂直進(jìn)行判斷.詳解】對于A，如圖1，，，則滿足，平面與不一定垂直，故A錯誤；對于B，如圖2，，，則滿足，平面與不一定垂直，故B錯誤；C.如圖3，如圖，在直線上取兩個向量,則分別為平面的法向量，且,則，故C正確；C.如圖4，，，，則，平面與不一定垂直，故D錯誤；故選：C.
6.下列說法正確的是（）A.有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體叫棱柱B.過空間內(nèi)不同的三點(diǎn)，有且只有一個平面C.棱錐的所有側(cè)面都是三角形D.用一個平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺【答案】C【解析】【分析】根據(jù)定義逐項分析即可【詳解】對：根據(jù)棱柱的定義知，有兩個面平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個四邊形的公共邊都互相平行的幾何體是棱柱，所以錯誤，反例如圖：對：若這三點(diǎn)共線，則可以確定無數(shù)個平面，故錯誤；對：棱錐的底面為多邊形，其余各面都是有一個公共頂點(diǎn)的三角形，故正確；對：只有用平行于底面的平面去截棱錐，底面與截面之間的部分組成的幾何體叫棱臺，故錯誤，故選：.7.在正三棱柱中，，，以為球心，為半徑的球面與側(cè)面的交線長為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)為的中點(diǎn)，證明平面，根據(jù)球的截面性質(zhì)確定交線的形狀，結(jié)合弧長公式求交線長.【詳解】設(shè)為的中點(diǎn)，連接，因為，為等邊三角形，
所以，因為，，，平面，所以平面，所以以為球心，為半徑的球面與平面的交線為以為圓心的圓，由，可得交線即以為圓心，為半徑的圓弧，設(shè)該圓弧與，分別相交于點(diǎn)M，N，因為，，所以，因為，所以所以，故交線長.故選：B.8.已知鈍角的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，．若邊上中線長為，，求的面積（）
A.B.C.或D.【答案】B【解析】【分析】先結(jié)合正弦定理化簡求出，進(jìn)而求出角,再結(jié)合向量的實數(shù)化求出，則三角形的面積可求.【詳解】因為，所以由正弦定理可得，因為在三角形中，所以，又因為，所以，所以或，因為邊上中線長為，，設(shè)中點(diǎn)為，則可得，所以，又因為邊上中線長為，，所以，當(dāng)時，代入可得，解之可得，則所以，即為直角三角形，與題意矛盾，故舍去.
當(dāng)時，代入可得，解之可得，則的面積.故選：B.二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知平面向量，，則下列說法正確的是（）A.B.在方向上的投影向量為C.與共線的單位向量的坐標(biāo)為D.若向量與向量共線，則【答案】AD【解析】【分析】選項A，利用向量的夾角余弦值公式即可直接求解；選項B,利用投影向量的公式即可直接求解；選項C,利用向量的共線單位向量公式即可直接求解；選項D,利用向量的共線定理即可直接求解.【詳解】，則選項A正確;在方向上的投影向量,則選項B錯誤；與共線的單位向量為，即或，則選項C錯誤；若向量與向量共線,則，，可得解得，則選項D正確；故選：AD.10.設(shè)為復(fù)數(shù)，則下列命題中正確的是（）
A.B.C.若，則的最大值為2D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】設(shè).AB選項，由復(fù)數(shù)運(yùn)算法則可判斷選項正誤；C選項，由題可得，則，據(jù)此可判斷選項正誤；D選項，由題可得，則，據(jù)此可判斷選項正誤.詳解】設(shè)，選項，，，故選項正確；選項，，，故選項錯誤；選項，，則，又，則當(dāng)時，有最大值2，故C正確；D選項，，則.又，則，故D正確.故選：.11.口袋里裝有2紅，2白共4個形狀相同的小球，從中不放回的依次取出兩個球，事件“取出的兩球同色”，事件“第一次取出的是紅球”，事件“第二次取出的是紅球”，事件“取出的兩球不同色”，下列判斷中正確的（）A.與互為對立B.與互斥C.與相互獨(dú)立D.與相互獨(dú)立【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)對立事件、互斥事件、相互獨(dú)立事件的知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】先編號：紅球為，白球為，不放回依次取出兩個，基本事件有，共種，
事件“”；事件“”；事件“”；事件“”.A選項，，所以與互為對立事件；B選項，，所以與不是互斥事件；C選項，事件“”，所以，所以與相互獨(dú)立，所以C選項正確.D選項，事件“”，，所以與相互獨(dú)立，所以D選項正確.故選：ACD12.已知正方體的棱長為1，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，滿足，則下列說法正確的是（）A.點(diǎn)到直線的距離是B.點(diǎn)到平面的距離為C.平面與平面間的距離為D.點(diǎn)到直線的距離為【答案】AB【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線的方向向量和平面的法向量結(jié)合空間向量數(shù)量積求得各個選項的距離，得出結(jié)論.【詳解】如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，所以.設(shè)，則，.故到直線的距離，故A對.易知，平面的一個法向量，則點(diǎn)到平面的距離，故B對..設(shè)平面的法向量為，則，所以
令，得，所以.所以點(diǎn)到平面的距離.因為平面平面，所以平面與平面間的距離等于點(diǎn)到平面的距離，所以平面與平面間的距離為，故C錯.因為，所以又，則，所以點(diǎn)到的距離，故D錯.故選：AB.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.如圖，水平放置的四邊形的斜二測直觀圖為矩形，已知，，則四邊形的周長為______．【答案】20【解析】【分析】根據(jù)斜二測畫法的公式，畫出復(fù)原圖即可求解.【詳解】因為斜二測直觀圖為矩形，,則，
可得原圖中，,,,四邊形的周長.故答案為：20.14.已知向量，，若向量與向量的夾角為鈍角，則實數(shù)t的取值范圍為_________．【答案】且【解析】【分析】根據(jù)向量與向量的夾角為鈍角，可得，且向量與向量不共線，即可求得答案.【詳解】由題意得，向量與向量的夾角為鈍角，即，且向量與向量不共線，則，且，故，且，解得且，故答案為：且15.已知直線l：，一條光線經(jīng)直線的定點(diǎn)T射入，先后被x軸、反射回T點(diǎn)，求光線在這個過程中走過的路程為______．【答案】【解析】【分析】先求直線l的必過點(diǎn)，再利用點(diǎn)關(guān)于直線對稱求解即可.【詳解】直線l：即為，
令可得所以直線過定點(diǎn)，因為一條光線經(jīng)定點(diǎn)T射入，先后被x軸、x+y=0反射回T點(diǎn)，如圖所示：T關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,T關(guān)于的對稱點(diǎn)為,則解得可得，則，故答案為：．16.已知三棱錐的四個頂點(diǎn)在球O的球面上，平面，，與平面所成的角為，則球O的表面積為______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意畫出圖形，取中點(diǎn)，可知，結(jié)合平面可證平面，則為與平面所成的角為．繼而可求各邊長，發(fā)現(xiàn)三角形為直角三角形，繼而作出球心，算出半徑再用公式得到球的表面積.【詳解】取中點(diǎn)，連接，則．
因為平面，平面，所以．又，,所以平面，故為與平面所成的角為．因為平面，平面，所以則，又直角三角形中所以,,則在直角三角形中,所以，則,故．球心在平面的投影為的外心，由可知，,故,故球的表面積為．故答案為：.四、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.已知直線：，：，則（1）若兩直線平行，求a的值．（2）若兩直線垂直，求a的值．【答案】（1）
（2）或【解析】【分析】（1）利用兩直線平行的充要條件，列出方程，解之即可；(2)利用兩直線垂直的充要條件，列出方程，解之即可.【小問1詳解】直線：與直線：互相平行，所以，即，解得.故兩直線平行，則.【小問2詳解】直線：與直線：互相垂直，所以，即，解得或.故兩直線垂直，則或.18.如圖所示（單位：cm），四邊形是直角梯形，求圖中陰影部分繞旋轉(zhuǎn)一周所成幾何體的表面積和體積.【答案】表面積為，體積為．【解析】【分析】由三視圖作出原幾何體，確定結(jié)構(gòu)尺寸，然后計算表面積和體積．【詳解】由三視圖知原幾何體是一個圓臺，挖去一個半球，如圖，圓臺上下底面半徑分別為2和5，高為4，因此母線長為5，幾何體表面積為，
體積為．19.在某海域處的巡邏船發(fā)現(xiàn)南偏東方向，相距海里的處有一可疑船只，此可疑船只正沿射線（以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，正東，正北方向分別為軸，軸正方向，1海里為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系）方向勻速航行.巡邏船立即開始沿直線勻速追擊攔截，巡邏船出發(fā)小時后，可疑船只所在位置的橫坐標(biāo)為.若巡邏船以30海里/小時的速度向正東方向追擊，則恰好1小時與可疑船只相遇.（1）求的值；（2）若巡邏船以海里/小時的速度進(jìn)行追擊攔截，能否搃截成功？若能，求出搃截時間，若不能，請說明理由.【答案】（1）（2）能夠攔截成功攔截，時間為2小時【解析】【分析】（1）設(shè)1小時后兩船相遇于點(diǎn)C，根據(jù)關(guān)于y軸對稱，且，即可求解；（2）設(shè)t小時后兩船相遇于點(diǎn)D，利用余弦定理列出方程，即可求解.【小問1詳解】解：由題意，直線的傾斜角為，若巡邏船以30海里/小時的速度向正東方向追擊，設(shè)1小時后兩船相遇于點(diǎn)C，如圖所示，則軸，，且關(guān)于y軸對稱，所以，所以.
【小問2詳解】解：若巡邏船以海里/小時進(jìn)行追擊，設(shè)t小時后兩船相遇于點(diǎn)D，如圖所示，則，，，，因為可得整理得，解得或（舍去），所以能夠攔截成功攔截時間為2小時.20.法國著名的數(shù)學(xué)家笛卡爾曾經(jīng)說過：“閱讀優(yōu)秀的書籍，就是和過去時代中最杰出的人們（書籍的作者）一一進(jìn)行交談，也就是和他們傳播的優(yōu)秀思想進(jìn)行交流，閱讀會讓精神世界閃光”.某研究機(jī)構(gòu)為了解某地年輕人的閱讀情況，通過隨機(jī)抽樣調(diào)查了100位年輕人，對這些人每天的閱讀時間（單位：分鐘）進(jìn)行統(tǒng)計，得到樣本的頻率分布直方圖，如圖所示：（1）求a；
（2）根據(jù)頻率分布直方圖，估計該地年輕人每天閱讀時間的中位數(shù)（精確到0.1）（單位：分鐘）；（3）為了進(jìn)一步了解年輕人的閱讀方式，研究機(jī)構(gòu)采用分層抽樣的方法從每天閱讀時間位于分組，和的年輕人中抽取5人，再從中任選3人進(jìn)行調(diào)查，求其中恰好有2人每天閱讀時間位于的概率.【答案】（1）（2）74.4分鐘（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率之和為1即可求出；（2）根據(jù)頻率可判斷中位數(shù)位于區(qū)間，設(shè)為，列出方程即可求出；（3）求出5人中任取3人的所有情況，再求出滿足條件的情況即可求出.【小問1詳解】因為頻率分布直方圖的所有矩形面積之和為1，所以，解得.【小問2詳解】因為，.則中位數(shù)位于區(qū)間內(nèi)，設(shè)中位數(shù)為x，則，解得，所以估計該地年輕人閱讀時間的中位數(shù)約為74.4分鐘.【小問3詳解】由題意，閱讀時間位于的人數(shù)為，閱讀時間位于的人數(shù)為，閱讀時間位于的人數(shù)為，所以在這三組中按照分層抽樣抽取5人的抽樣比例為，則抽取的5人中位于區(qū)間有1人，設(shè)為a，位于區(qū)間有2人，設(shè)為，，位于區(qū)間有2人，設(shè)為，.則從5人中任取3人，樣本空間
.含有10個樣本點(diǎn).設(shè)事件A為“恰有2人每天閱讀時間在”，，含有3個樣本點(diǎn).所以，所以恰好有2人每天閱讀時間位于的概率為.21.如圖，在梯形中，，．（1）若，求周長最大值；（2）若，，求值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用余弦定理結(jié)合基本不等式可求得的最大值，即得出周長的最大值；（2）利用正弦定理可得出、，兩式相除可得出關(guān)于的等式，即可求得的值.【小問1詳解】解：在中，，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．故周長的最大值是．【小問2詳解】
解：設(shè)，則，．在中，，在中，．兩式相除得，，，因為，，，故．22.如圖，已知四棱錐的底面是菱形，平面平面，為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，.（1）證明：平面；（2）若，且與平面所成的角為，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）見解析（2）【解析】【分析】（1）設(shè)的交點(diǎn)為，連接，可證得，再由線面平行的判定定理即可證明；（2）取的中點(diǎn)為，連接，由面面垂直的性質(zhì)定理可證得則平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面與平面
的法向量，再由二面角的向量公式即可得出答案.【小問1詳解】設(shè)交點(diǎn)為，連接，已知為的重心，所以，，所以在中，，所以，所以平面，平面，則平面.【小問2詳解】因為所以所以為等邊三角形，所以，又因為，所以，所以，取的中點(diǎn)為，連接，則，平面平面，平面平面，則平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為與平面所成的角為，所以，設(shè)菱形的邊長為，所以，所以，因為，所以，，設(shè)平面，，令，所以，設(shè)平面，
，令，所以，則，所以平面與平面夾角的余弦值為.
