重慶市南開中學2023-2024學年高二上學期期中數(shù)學 Word版含解析.docx

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重慶南開中學高2025級高二（上）期中考試數(shù)學試題本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，滿分150分，考試時間120分鐘．第I卷（選擇題共60分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項符合要求，請將答案填寫在答題卡相應的位置上．1.直線的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由直線方程，結(jié)合斜率與傾斜角關(guān)系求傾斜角的大小.【詳解】由直線方程為，即斜率為，若傾斜角，則，故.故選：B2.若直線與互相垂直，則（）A.B.6C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)兩直線垂直的充要條件得到方程，解得即可.【詳解】因為直線與互相垂直，所有，解得．故選：B.3.拋物線的準線方程是A.B.C.D.【答案】A【解析】 【分析】由拋物線x2＝y(tǒng)可得：2p＝1，即可得出拋物線的準線方程．【詳解】由拋物線x2＝y(tǒng)可得：2p＝1，∴，因此拋物線的準線方程是y．故選A．【點睛】本題考查了拋物線的標準方程及其準線方程，考查了推理能力與計算能力，屬于基礎(chǔ)題．4.若雙曲線C以兩條坐標軸為對稱軸，是其一條漸近線，則雙曲線C的離心率為（）A.B.C.或D.或【答案】D【解析】【分析】討論雙曲線焦點位置，結(jié)合已知漸近線確定雙曲線參數(shù)關(guān)系，進而求離心率.【詳解】若雙曲線焦點在軸上，則一條漸近線為，所以；若雙曲線焦點在軸上，則一條漸近線為，所以；所以雙曲線C的離心率為或.故選：D5.若直線與相離，則點與圓的位置關(guān)系為（）A.點在圓內(nèi)B.點在圓上C.點在圓外D.無法確定【答案】A【解析】【分析】由題設(shè)及點線距離公式有，進而可得即可判斷位置關(guān)系.【詳解】由題設(shè)與直線的距離，即，所以點在圓內(nèi). 故選：A6.設(shè)、分別為雙曲線的左、右焦點，雙曲線上存在一點使得，，則該雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用雙曲線的定義結(jié)合已知條件可得出，可求得，再由公式可求得雙曲線的離心率的值.【詳解】由雙曲線的定義得，又，，即，因此，即，則，解得，（舍去），因此，該雙曲線的離心率為.故選：B.【點睛】本題考查雙曲線離心率的求解，解題的關(guān)鍵就是利用雙曲線的定義建立、所滿足的齊次等式，考查計算能力，屬于中等題.7.若F為橢圓的左焦點，P為橢圓C上一動點，，則周長的最大值為（）A.B.C.7D.10【答案】D【解析】【分析】利用橢圓的定義及三角形三邊關(guān)系有，即可求最大值，注意取值條件. 【詳解】若為橢圓右焦點，如下圖示，，周長為，且，所以，而，故，當且僅當共線且在兩側(cè)時等號成立，所以周長的最大值為10.故選：D8.橢圓與雙曲線有相同的焦點、，記橢圓的離心率為，雙曲線的離心率為，則下列關(guān)系式一定正確的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由橢圓、雙曲線共焦點，結(jié)合對應方程得，根據(jù)離心率公式判斷各項的正誤.【詳解】由橢圓與雙曲線焦點相同，即參數(shù)相同，而，，又，由，所以.當，則，此時不合要求；當，則，不合要求； 當，則，，不一定成立；綜上，A、B不成立，C不一定成立，D一定成立.故選：D二、多項選擇題：本題共4小題、每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對得5分，部分選對得2分，有選錯得0分．請將答案填寫在答題卡相應的位置上．9.已知橢圓的中心為坐標原點，焦點、在軸上，短軸長等于，焦距為，過焦點作軸的垂線交橢圓于、兩點，則下列說法正確的是（）A.橢圓的方程為B.橢圓的離心率為C.D.【答案】AD【解析】【分析】求出、、的值，可判斷AB選項的正誤；設(shè)點為橢圓的左焦點，將代入橢圓方程，可求得的長，可判斷C選項的正誤；利用橢圓的定義可判斷D選項的正誤.【詳解】對于橢圓，由已知可得，則，，.對于A選項，因為橢圓的焦點在軸上，故橢圓的方程為，A對；對于B選項，橢圓離心率為，B錯；對于C選項，設(shè)點為橢圓的左焦點，易知點，將代入橢圓方程可得，故，C錯；對于D選項，，故，D對.故選：AD.10.已知圓，．則下列說法正確的是（） A.當時，圓與圓有4條公切線B.當時，是圓與圓的一條公切線C.當時，圓與圓相交D.當時，圓與圓的公共弦所在直線的方程為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)圓心距與半徑間的關(guān)系判斷各項圓與圓的位置關(guān)系，結(jié)合點線距離與半徑大小判斷直線與圓的關(guān)系，相交情況下兩圓作差求公共弦方程.【詳解】由題設(shè)且半徑，且半徑，故，當時，，即兩圓相離，故有4條公切線，A對；當時，是圓切線，又到的距離為，即是圓的切線，B對；當時，，即兩圓相離，C錯；當時，，即兩圓相交，故有公共弦，將兩圓方程作差得，整理得，即為，D對.故選：ABD11.已知雙曲線：的左、右焦點分別為、，過向的一條漸近線作垂線，垂足為，交另一條漸近線于，則下列說法正確的是（）A.為線段的中點B.點在直線上C.D.【答案】BCD【解析】【分析】選項A：根據(jù)圖像和雙曲線的幾何性質(zhì)可得；選項B：先求漸近線和直線的方程，聯(lián)立可得；選項C：根據(jù)點坐標，利用數(shù)量積的坐標運算可得；選項D：根據(jù)雙曲線距離公式可得. 【詳解】因為雙曲線：，所以，，，則，，根據(jù)雙曲線的對稱性，不妨取漸近線方程，選項A：由題意，故A錯誤；選項B：直線的斜率為，直線方程為，聯(lián)立得，所以正確；選項C：由，，，則，，故，故C正確；選項D：，故D正確，故選：BCD12.如圖，F(xiàn)為拋物線的焦點，O為坐標原點，過y軸左側(cè)一點P作拋物線C的兩條切線，切點為A、B，、分別交y軸于M、N兩點，則下列結(jié)論一定正確的是（） A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】求得過點的切線方程，得到，得出和，可判斷A正確；當點在準線上，求得，可判定B錯誤；由，求得，可判定C錯誤；分別求得和，可判定D正確.【詳解】設(shè)拋物線上一點，則，過點的切線方程為，聯(lián)立方程組，整理的，令，解得，即過拋物線上一點的切線的斜率為，對于A中，設(shè)，則過點的切線方程為，令，可得，即，又由拋物線的焦點為，所以， 則，所以，即，同理可得，則四點共圓，所以，所以A正確；對于B中，若點在準線上，可直線的方程為，此時直線過焦點，則，所以，所以B錯誤；對于C中，由，，可得，，若，可得，則，所以，此時直線過焦點，設(shè)直線，代入拋物線，可得，設(shè)方程的兩根為，可得，即當直線過拋物線焦點時，兩交點的縱坐標之積為，而直線不一定過拋物線的交點，所以C錯誤；對于D中，由，可得，聯(lián)立方程組，解得，即,則，所以，所以D正確.故選：AD 【點睛】方法點睛：解決拋物線問題的方法與策略：1、涉及拋物線的定義問題：拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點到焦點的距離、拋物線上的點到準線的距離)進行等量轉(zhuǎn)化．如果問題中涉及拋物線的焦點和準線，又能與距離聯(lián)系起來，那么用拋物線定義就能解決問題．因此，涉及拋物線的焦半徑、焦點弦問題，可以優(yōu)先考慮利用拋物線的定義轉(zhuǎn)化為點到準線的距離，這樣就可以使問題簡單化．2、涉及直線與拋物線的綜合問題：通常設(shè)出直線方程，與拋物線方程聯(lián)立方程組，結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，合理進行轉(zhuǎn)化運算求解，同時注意向量、基本不等式、函數(shù)及導數(shù)在解答中的應用.第II卷（非選擇題共90分）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分，請將答案填寫在答題卡相應位置上．13.已知雙曲線，則的右焦點的坐標為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)雙曲線方程，直接求焦點坐標.【詳解】由雙曲線方程可知，，則，則，并且焦點在軸，雙曲線的右焦點的坐標為.故答案為：14.若為圓的弦的中點，則直線的方程為__________．【答案】【解析】 【分析】根據(jù)圓的性質(zhì)知：，由兩條直線垂直，若斜率都存在，則斜率乘積為，求出直線的斜率，根據(jù)直線的點斜式寫出直線方程即可.【詳解】因為圓，所以圓心坐標為，半徑為，因為是弦的中點，由圓的性質(zhì)知：，因為，且，所以，因為在直線上，所以直線的方程為，即：.故答案為：15.若P是橢圓上一動點，，則的最大值為__________．【答案】4【解析】【分析】令，應用兩點距離公式有，結(jié)合橢圓的有界性求最大值.【詳解】令，則，又，所以，又，當時，的最大值為4.故答案為：416.設(shè)橢圓的焦點為，，P是橢圓上一點，且，若的外接圓和內(nèi)切圓的半徑分別為R，r，當時，橢圓的離心率為______．【答案】##0.6【解析】【分析】由正弦定理得到，再根據(jù)三角形面積公式和余弦定理得到，從而根據(jù)得到方程，求出離心率.【詳解】由題意得， 由正弦定理得，故，由橢圓定義可知，，故，又，由余弦定理得，即，解得，故，解得，因為，所以，解得.故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．請將答案填寫在答題卡相應的位置上． 17.已知雙曲線的方程是．（1）求雙曲線的漸近線方程；（2）設(shè)和是雙曲線的左、右焦點，點在雙曲線右支上，且，求的大?。敬鸢浮浚?）；（2）2.【解析】【分析】（1）由雙曲線方程直接寫出漸近線方程；（2）由雙曲線定義有，結(jié)合已知求即可.【小問1詳解】由雙曲線方程知：其漸近線方程為；【小問2詳解】由雙曲線定義，又，所以，可得（負值舍），所以的大小為2.18.已知圓．（1）求實數(shù)的取值范圍；（2）若直線被圓C所截得的弦長為，求實數(shù)m的值．【答案】（1）；（2）4.【解析】 【分析】（1）利用方程表示圓的充要條件，列式求解即得.（2）借助直線被圓所截的弦長公式，列式計算即得.【小問1詳解】圓，則(?2)2+42?4m>0，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.【小問2詳解】由（1）知，，圓的圓心，半徑，則點到直線的距離，依題意，，即2=2(5?m)2?(22)2，解得，所以實數(shù)m的值為4.19.已知拋物線與直線相交于A、B兩點，O為坐標原點．（1）求證：；（2）當時，求的值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）令，聯(lián)立拋物線與直線并應用韋達定理得，進而可得，再由即可證結(jié)論；（2）利用點線距離公式和弦長公式求到的距離、，結(jié)合已知列方程求參數(shù).【小問1詳解】令，聯(lián)立拋物線與直線得，且，則，故，又，則，即，得證.【小問2詳解】由到的距離， 又，所以，則.20.已知圓，A是圓C上一動點，點，M為線段的中點．（1）求動點M的軌跡方程；（2）記M的軌跡為曲線E，過點的點線l與曲線E有且只有一個交點，求直線l的方程．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）令，由題設(shè)得，代入已知圓方程整理即可得動點M的軌跡方程；（2）討論直線l斜率存在性，設(shè)直線方程，結(jié)合點線距離公式及直線與圓的交點個數(shù)列方程求參數(shù)，即可得直線方程.【小問1詳解】令，由M為線段的中點，，則，而A是圓C上一動點，故，整理得，即，所以動點M的軌跡方程為. 【小問2詳解】由（1）知：曲線E圓心為，半徑，且點N在曲線E外，若直線l斜率不存在，即，顯然與曲線E相切，滿足；若直線l斜率存在，設(shè)，則到直線l的距離，所以，此時；綜上，直線l的方程為或.21.如圖，橢圓離心率為，其長軸的兩個端點與短軸的一個端點構(gòu)成的三角形的面積為．（1）求橢圓C的標準方程；（2）過點的直線l交C于A、B兩點，交直線于點P．若，，證明：為定值，并求出這個定值．【答案】（1）；（2）證明見解析，定值為0.【解析】 【分析】（1）由已知得，結(jié)合橢圓參數(shù)關(guān)系求得，即可得橢圓方程；（2）令，，，聯(lián)立橢圓方程并應用韋達定理得，，再由向量數(shù)量關(guān)系的坐標表示得到關(guān)于參數(shù)k的表達式，將韋達公式代入化簡即可證.【小問1詳解】由題設(shè)，又，則，所以橢圓C的標準方程為.【小問2詳解】由題設(shè)，直線l斜率一定存在，令，且在橢圓C內(nèi)，聯(lián)立直線與橢圓并整理得，且，令，而，則，由，則且，得，同理由，則且，得，所以又，，則.所以為定值0. 22.如圖，雙曲線，過原點O的直線與雙曲線分別交于A、C、B、D四點，且．（1）若，P為雙曲線的右頂點，記直線、、、的斜率分別為、、、，求的值；（2）求四邊形面積的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由題意可設(shè)，則，結(jié)合直線與雙曲線都有兩交點得，再聯(lián)立雙曲線求各交點坐標，應用兩點式求、、、，即可求結(jié)果；（2）由題設(shè)且同（1）得，聯(lián)立直線與雙曲線，應用韋達定理和弦長公式求，根據(jù)及換元法求其取值范圍即可. 【小問1詳解】由題設(shè)，的斜率都存在且不為0，令，則，所以，即，聯(lián)立與雙曲線，得，不妨令，同理，由，則、、、，所以.【小問2詳解】由題設(shè)且同（1）得，聯(lián)立，則，所以，聯(lián)立，同理可得，所以四邊形面積， 則，令，所以，而且，故，，當時，，當趨向于時，趨向于0，即趨向于正無窮，所以四邊形面積的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：第二問，先求得，聯(lián)立直線與雙曲線求四邊形對角線長度為關(guān)鍵.