安徽省蕪湖市蕪湖一中2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期12月教學(xué)質(zhì)量診斷測試數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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蕪湖一中2022級高二年級12月份教學(xué)質(zhì)量診斷測試數(shù)學(xué)試卷滿分150分.考試用時120分鐘.第I卷（選擇題）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.準(zhǔn)線方程為的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，從而可得，求解即可.【詳解】由拋物線的準(zhǔn)線方程為，可知拋物線是焦點(diǎn)在軸負(fù)半軸上的拋物線，設(shè)其方程為，則其準(zhǔn)線方程為，得.該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是.故選：D.2.雙曲線的焦點(diǎn)到其漸近線的距離為（）A.4B.C.D.2【答案】C【解析】【分析】找到焦點(diǎn)與漸近線，利用點(diǎn)到直線的距離求解即可.【詳解】由題可知：雙曲線，其中一個焦點(diǎn)為，其中一條漸近線為，所以焦點(diǎn)到漸近線的距離為，故選:C. 3.若無窮等差數(shù)列的公差為，則“”是“，”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】利用等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和存在量詞的性質(zhì)即可判斷.【詳解】等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，當(dāng)時，，，真命題，即充分行成立；若，則，但，所以，當(dāng)，時，假命題，必要性不成立.故選：A.4.班級物理社團(tuán)同學(xué)在做光學(xué)實(shí)驗(yàn)時，發(fā)現(xiàn)了一個有趣的現(xiàn)象：從橢圓的一個焦點(diǎn)發(fā)出的光線經(jīng)橢圓形的反射面反射后將匯聚到另一個焦點(diǎn)處.根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)解決下面問題：已知橢圓C的方程為，其左?右焦點(diǎn)分別是，，直線l與橢圓C切于點(diǎn)P，且，過點(diǎn)P且與直線l垂直的直線m與橢圓長軸交于點(diǎn)Q，則（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】由入射光線與反射光線的關(guān)系，結(jié)合角平分線定理可解.【詳解】由橢圓定義可得，由光學(xué)性質(zhì)可知，為的角平分線， 所以.故選：C5.若圓O：過雙曲線的實(shí)軸端點(diǎn)，且圓O與直線l：相切，則該雙曲線的離心率為（）A.B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圓的方程先求，再利用相切可得，從而可得離心率.【詳解】圓O：的圓心，半徑為，因?yàn)閳AO：過雙曲線的實(shí)軸端點(diǎn)，所以，又圓O與直線l：相切，所以，則，故.所以雙曲線的離心率為．故選:B．6.已知為等差數(shù)列，，則（）A.12B.24C.26D.36【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)即可求解.【詳解】因?yàn)? 所以．故選：A．7.設(shè)是橢圓的上頂點(diǎn)，點(diǎn)在上，則的最大值為（）A.16B.4C.3D.5【答案】B【解析】【分析】設(shè)得，利用，配方后利用的范圍可得答案.【詳解】，設(shè)，則，所以，，因?yàn)?，所以?dāng)時，有最大值為.故選：B.8.已知的通項(xiàng)公式為（），若數(shù)列為遞減數(shù)列，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）AB.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)單調(diào)數(shù)列的定義，，即可求的取值范圍.【詳解】，由數(shù)列為遞減數(shù)列，則， 即恒成立，即，當(dāng)時，的最小值為，即.故選：C二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.曲線C的方程為，則下列命題正確的是（）A.若曲線C為雙曲線，則B.若曲線C為橢圓，則，且C.曲線C不可能是圓D.若曲線C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)的取值結(jié)合圓、橢圓、雙曲線方程的特點(diǎn)逐項(xiàng)分析曲線的方程.【詳解】A．因?yàn)椋砸徽回?fù)，所以曲線是雙曲線，則,故A正確；B．因?yàn)?，，所以曲線是橢圓，則，且,故B正確；C．因?yàn)榍?，所以曲線是半徑為的圓，故C錯誤；D．因?yàn)榍€C為焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，,所以，故D正確；故選：ABD.10.設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，則（）A.為定值B.的周長的取值范圍是 C.當(dāng)時，為銳角三角形D.當(dāng)時，的面積為【答案】AD【解析】【分析】利用橢圓對稱性及其定義可知A正確，由可知，即可得的周長的取值范圍是，所以B錯誤；利用向量可知角為直角，即可得C錯誤；當(dāng)時可求得，即可知的面積為，即D正確.【詳解】設(shè)橢圓左焦點(diǎn)為，如圖所示：由橢圓對稱性可知，兩點(diǎn)關(guān)于軸對稱，可知，所以由橢圓定義可得為定值，即A正確；的周長為，易知當(dāng)時，，因此周長的取值范圍是，即B錯誤；當(dāng)時，可得，又，可得，所以，即是直角，即可知為直角三角形，所以C錯誤；當(dāng)時，易知，頂點(diǎn)到邊的距離為，所以的面積為，即D正確.故選：AD 11.已知是拋物線上不同于原點(diǎn)的兩點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線的焦點(diǎn)，下列說法正確的是（）A.點(diǎn)的坐標(biāo)為B.C.若，則直線經(jīng)過定點(diǎn)D.若點(diǎn)為拋物線的兩條切線，則直線的方程為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)拋物線的方程可得焦點(diǎn)坐標(biāo)可判斷A，根據(jù)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可判斷B，根據(jù)垂直關(guān)系得，由兩點(diǎn)坐標(biāo)求解直線方程即可判斷C，根據(jù)切線方程求出切點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)求解直線方程即可求解D.【詳解】因?yàn)閽佄锞€，故的坐標(biāo)為故A正確；由于當(dāng)直線過焦點(diǎn)時，由拋物線定義可得，但直線不一定過焦點(diǎn)，故B錯誤；若，故，即或（舍去），因?yàn)橹本€，即，得，故直線經(jīng)過定點(diǎn)，故C正確；設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，聯(lián)立，所以，故或，所以方程的根為，故切線方程中分別為和，故，，可得直線，即，故D正確. 故選：ACD.12.若數(shù)列滿足，，則稱該數(shù)列為斐波那契數(shù)列．如圖所示的“黃金螺旋線”是根據(jù)斐波那契數(shù)列畫出來的曲線．圖中的長方形由以斐波那契數(shù)為邊長的正方形拼接而成，在每個正方形中作圓心角為的扇形，連接起來的曲線就是“黃金螺旋線”．記以為邊長的正方形中的扇形面積為，數(shù)列的前項(xiàng)和為．下列結(jié)論正確的是（）A.B.是奇數(shù)C.D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)數(shù)列遞推關(guān)系以及特征，即可判斷選項(xiàng)AB，利用累加法即可判斷選項(xiàng)C，利用定義直接求解，表示出，即可判斷選項(xiàng)D.【詳解】該數(shù)列為，所以，A正確；由斐波那契數(shù)列得每三個數(shù)中，前兩個為奇數(shù)后一個為偶數(shù)，且是奇數(shù)，B正確；由，得：，，，累加得，C錯；由，得：， 所以，，D對.故選：ABD第II卷（非選擇題）三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.在中，，，，則頂點(diǎn)的軌跡方程是__________.【答案】【解析】【分析】由正弦定理化角為邊后確定點(diǎn)軌跡，由雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程求解．【詳解】∵，，∴，∵，∴由正弦定理得，即，，所以點(diǎn)軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支(除去頂點(diǎn))．該雙曲線的半焦距為，實(shí)半軸長為，虛半軸長為，所以軌跡方程為．故答案為：．14.一個正實(shí)數(shù)的小數(shù)部分的2倍，整數(shù)部分和自身成等差數(shù)列，則這個正實(shí)數(shù)是______.【答案】或【解析】【分析】根據(jù)等差數(shù)列的知識列方程，化簡求得這個正實(shí)數(shù).【詳解】設(shè)這個正實(shí)數(shù)的小數(shù)部分是，整數(shù)部分是（），自身是，則，所以，由于，，當(dāng)時，； 當(dāng)時，；當(dāng)時，，不符合.綜上所述，這個正實(shí)數(shù)是或.故答案為：或15.已知橢圓的一條弦所在的直線方程是，弦的中點(diǎn)坐標(biāo)是，則橢圓的離心率是________．【答案】【解析】【分析】先利用點(diǎn)差法應(yīng)用弦中點(diǎn)，再求橢圓離心率.【詳解】設(shè)直線與橢圓交于兩點(diǎn)，其中，將兩點(diǎn)代入橢圓可得，兩式作差可得，即，又中點(diǎn)坐標(biāo)是，所以，所以，令，則，所以，所以，故答案為：16.已知拋物線的方程為，過其焦點(diǎn)F的直線交此拋物線于M、N兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)E，若，，則___________. 【答案】【解析】【分析】設(shè)直線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立，由，，分別表示出，利用根與系數(shù)關(guān)系即可算得答案.【詳解】由拋物線的方程為，得，由題意可得直線的斜率存在且不等于零，則可設(shè)直線的方程為，，聯(lián)立，消得，則恒成立，則，故，由直線，令，得，則，由，得，所以，所以，由，得，所以，所以，所以.故答案為：. 四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知數(shù)列是等差數(shù)列，且，．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列的前項(xiàng)和為，求及其最小值．【答案】（1）（2），最小值為【解析】【分析】（1）設(shè)的公差為，即可得到關(guān)于、的方程組，解得、，從而求出其通項(xiàng)公式；（2）根據(jù)等差數(shù)列求和公式計(jì)算可得.【小問1詳解】設(shè)的公差為，則，解得，所以．【小問2詳解】由（1）可得，所以當(dāng)或時，取得最小值，最小值為． 18.已知點(diǎn)與點(diǎn)，是動點(diǎn)，且直線與的斜率之積等于（1）求動點(diǎn)的軌跡方程;（2）點(diǎn)為原點(diǎn)，當(dāng)時，求第二象限點(diǎn)的坐標(biāo)【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)的坐標(biāo)為，根據(jù)斜率公式把條件表示出來，化簡即可，要注意斜率存在的條件；（2）可以轉(zhuǎn)化為求兩曲線的交點(diǎn)問題解決.【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，由題意得（），化簡得.故動點(diǎn)的軌跡方程為（2）∵，故①又由（1）知②由①②得，又點(diǎn)在第二象限內(nèi)，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為.19.已知動圓與圓外切，與圓內(nèi)切．（1）求動圓圓心的軌跡方程；（2）求的取值范圍． 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用圓與圓的位置關(guān)系結(jié)合橢圓的定義可知，動圓圓心的軌跡是橢圓，求出、、的值，結(jié)合橢圓焦點(diǎn)的位置可得出動圓圓心的軌跡方程；（2）設(shè)點(diǎn)，則，利用兩點(diǎn)間的距離公式求出的取值范圍，利用橢圓的定義結(jié)合二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得的取值范圍.【小問1詳解】解：圓的圓心為，半徑．圓的圓心為，半徑，，所以圓內(nèi)含于圓．設(shè)動圓圓心為，動圓半徑為，由于，所以點(diǎn)的軌跡是以、為焦點(diǎn)，長軸長為的橢圓，從而，，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為．【小問2詳解】解：設(shè)點(diǎn)，則，則，則， 所以，，所以，，.所以的取值范圍為．20.已知過點(diǎn)的直線與拋物線（）交于，兩點(diǎn)，且當(dāng)?shù)男甭蕿闀r，恰為中點(diǎn)．（1）求的值；（2）當(dāng)經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)時，求的面積．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）求出直線方程后設(shè)出交點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線方程即可求解；（2）給出直線方程后和拋物線方程聯(lián)立，韋達(dá)定理結(jié)合面積公式即可求解.【詳解】（1）當(dāng)斜率為時，由得，恰好經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)，不妨設(shè)，則為拋物線上的點(diǎn)．代入拋物線的方程得，解得．（2）由（1）可知拋物線的焦點(diǎn)．當(dāng)經(jīng)過時，其方程為．將其與拋物線的方程聯(lián)立得．設(shè)，，則，．因此的面積． 21.已知數(shù)列的前項(xiàng)和.（1）求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，為數(shù)列的前項(xiàng)和，求證：.【答案】21.22.證明見解析【解析】【分析】（1）利用數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和之間的關(guān)系求解；（2）由，利用裂項(xiàng)相消法求解.【小問1詳解】解：當(dāng)時，，當(dāng)時，，當(dāng)時，不適合上式，所以；【小問2詳解】由（1）知：，當(dāng)時，，顯然成立；當(dāng)時，，則，， .結(jié)論成立.22.在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓＋，過點(diǎn)的動直線與橢圓相交于兩點(diǎn).（1）求面積的最大值；（2）是否存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使恒成立？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，說明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）設(shè)直線l為與橢圓方程聯(lián)立，將表達(dá)為k的函數(shù)，由基本不等式求最大值即可.（2）先討論直線水平與豎直情況，求出，設(shè)點(diǎn)關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)，證得三點(diǎn)共線得到成立.【小問1詳解】依題意，設(shè)，直線的斜率顯然存在，故設(shè)直線，聯(lián)立，消去，得，因?yàn)橹本€恒過橢圓內(nèi)定點(diǎn)，故恒成立，，故，令，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取得等號，綜上可知，面積的最大值為.【小問2詳解】 當(dāng)平行于軸時，設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，如果存點(diǎn)滿足條件，則有，即，所以點(diǎn)在軸上，可設(shè)的坐標(biāo)為；當(dāng)垂直于軸時，設(shè)直線與橢圓相交于兩點(diǎn)，如果存在點(diǎn)滿足條件，則有，即，解得或，所以若存在不同于點(diǎn)的定點(diǎn)滿足條件，則點(diǎn)的坐標(biāo)為；當(dāng)不平行于軸且不垂直于軸時，設(shè)直線方程為，由（1）知，又因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，，則，所以，則三點(diǎn)共線，所以；綜上，存在與點(diǎn)不同的定點(diǎn)，使恒成立，且.