安徽省宣城市2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期末數(shù)學(xué) Word版含解析

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宣城市2021—2022學(xué)年度高一第二學(xué)期期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題考生注意事項：1.本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分.全卷滿分150分，考試時間120分鐘.2.答題前，考生先將自己的姓名、考號在答題卷指定位置填寫清楚并將條形碼粘貼在指定區(qū)域.3.考生作答時，請將答案答在答題卷上.第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卷上對應(yīng)題目的答案標號涂黑；第Ⅱ卷請用0.5毫米的黑色墨水簽字筆在答題卷上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效.4.考試結(jié)束時，務(wù)必將答題卡交回.第Ⅰ卷選擇題（共60分）一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的）1.在復(fù)平面內(nèi)，設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限【答案】D【解析】【分析】設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，再根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運算以以及復(fù)數(shù)相等的充要條件求出復(fù)數(shù)，進而根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義確定對應(yīng)點所在象限.【詳解】設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式為，，，，解得，，復(fù)數(shù)所對應(yīng)的點為，在第四象限.故選：D.2.某學(xué)校高一、高二、高三共有學(xué)生3500

1人，其中高三學(xué)生人數(shù)是高一學(xué)生人數(shù)的兩倍，高二學(xué)生人數(shù)比高一學(xué)生人數(shù)多300人，現(xiàn)在按的抽樣比用分層抽樣的方法抽取樣本，則應(yīng)抽取高一學(xué)生人數(shù)為A.8B.11C.16D.10【答案】A【解析】【詳解】若設(shè)高三學(xué)生數(shù)為x，則高一學(xué)生數(shù)為，高二學(xué)生數(shù)為＋300，所以有x＋＋＋300＝3500，解得x＝1600.故高一學(xué)生數(shù)為800，因此應(yīng)抽取高一學(xué)生數(shù)為＝8.故答案為：A點睛：設(shè)出高一年級的人數(shù)，根據(jù)三個年級人數(shù)之間的關(guān)系，寫出高二和高三的人數(shù)，根據(jù)學(xué)校共有的人數(shù)，得到關(guān)于高一人數(shù)的方程，解方程得到高一人數(shù)，用人數(shù)乘以抽取的比例，得到結(jié)果．本題考查分層抽樣，在分層抽樣之前有一個小型的運算，是一個基礎(chǔ)題，運算量不大，可以作為選擇和填空出現(xiàn)．分層抽樣主要用于個體數(shù)量較多，且個體間具有明顯差異的，這時采用分層抽樣合適．3.數(shù)據(jù)5，6，7，7，8，8，9，10的第75百分位數(shù)是（）A.7.5B.8C.8.5D.9【答案】C【解析】【分析】根據(jù)已知條件，結(jié)合百分位數(shù)的定義，即可求解.【詳解】數(shù)據(jù)從小到大排列：5，6，7，7，8，8，9，10，共個數(shù)，，該組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)是第項和第項的平均數(shù)，即.故選：C.4.已知某種設(shè)備在一年內(nèi)需要維修的概率為0.2.用計算器產(chǎn)生1~5之間的隨機數(shù)，當(dāng)出現(xiàn)隨機數(shù)1時，表示一年內(nèi)需要維修，其概率為0.2，由于有3臺設(shè)備，所以每3個隨機數(shù)為一組，代表3臺設(shè)備一年內(nèi)需要維修的情況，現(xiàn)產(chǎn)生20組隨機數(shù)如下：412451312533224344151254424142435414335132123233314232353442據(jù)此估計一年內(nèi)至少有1臺設(shè)備需要維修的概率為（）A.0.4B.0.45C.0.55D.0.6【答案】B

2【解析】【分析】找出代表事件“一年內(nèi)至少有1臺設(shè)備需要維修”的數(shù)組，利用古典概型的概率公式可求得結(jié)果.【詳解】由題意可知，代表事件“一年內(nèi)至少有1臺設(shè)備需要維修”的數(shù)組有：、、、、、、、、，共組，因此，所求概率為.故選：B.5.已知空間四邊形中，，分別是，的中點，若，，，則與所成的角為（）A30°B.45°C.60°D.90°【答案】A【解析】【分析】設(shè)G為AD的中點，連接GF，GE，由三角形中位線定理可得，，則∠GFE即為EF與CD所成的角，結(jié)合AB=2，CD=4，EF⊥AB，在△GEF中，利用三角函數(shù)即可得到答案.【詳解】解：設(shè)G為AD的中點，連接GF，GE，則GF，GE分別為△ABD，△ACD的中線.∴，且，，且，則EF與CD所成角的度數(shù)等于EF與GE所成角的度數(shù)，又EF⊥AB，，∴EF⊥GF，則△GEF為直角三角形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°，∴在直角△GEF中，，∴∠GEF=30°.故選：A.6.中，點為上的點，且，若，則（）A.B.C.D.【答案】B

3【解析】【分析】選定基向量，根據(jù)向量的加減法，用基底表示出向量，結(jié)合條件即可求得，可得答案.【詳解】由題意可得,又，故，故，故選:B7.內(nèi)角A、B、C所對邊分別為a、b、c，且，則的值為（）A.1B.3C.4D.5【答案】D【解析】【分析】由正弦定理將條件展開，，從而求得的值.【詳解】由正弦定理知，，即，故，故故選：D8.如圖，某沙漏由上、下兩個圓錐組成，圓錐底面直徑和高均為16，當(dāng)細沙全部在上面的圓錐內(nèi)時，其高度為圓錐高度的（中間銜接的細管長度忽略不計）．當(dāng)細沙全部漏入下部后，恰好堆成一個蓋住沙漏底部的圓錐形沙堆，則此沙堆的側(cè)面積為（）

4A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】首先求得細沙在上部容器時小圓錐的底面半徑為4，進而求出小棱錐的體積，接著求出流入下部后的圓錐形沙堆的高，最后求出沙堆的側(cè)面積.【詳解】細沙在上部容器時的體積，流入下部后的圓錐形沙堆底面半徑為8，設(shè)高為，則，所以，下部圓錐形沙堆的母線長，故此沙堆的側(cè)面積．故選：D.【點睛】圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和．二、多項選擇題（本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.設(shè)m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列說法正確的是（）A.若m⊥α，n⊥α，則mnB.若α⊥β，m⊥β，mα，則mαC.若α⊥β，m?α，則D.若m?α，n?α，mβ，nβ，則αβ【答案】AB【解析】【分析】選項A.由線面垂直的性質(zhì)可判斷;選項B.由面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)判斷;選項C.由面面垂直的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)判斷;選項D.沒有直線m，n相交的條件，所以α，β可能平行，也可能相交.【詳解】選項A.由m⊥α，n⊥α，則mn，故A正確.選項B.由α⊥β，m⊥β，可得，或，由條件mα，所以，故B正確.選項C.α⊥β，m?α,設(shè)，若不垂直于，則與平面也不垂直，故選項C不正確.選項D.m?α，n?α，mβ，nβ，則α，β可能平行，也可能相交.故D不正確.

5故選：AB10.下列命題正確的是（）A.若向量、滿足，則或B.若向量，的夾角為鈍角，則C.已知，，則向量在向量方向上的投影向量的長度為4D.設(shè)，是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，若，，則，可作為該平面的一個基底【答案】BCD【解析】【分析】當(dāng)都不為零向量滿足時，，判斷A;根據(jù)數(shù)量積的定義可判斷B;計算出量在向量方向上的投影向量的長度即可判斷C；根據(jù)，不共線可推出，不共線，即可判斷D.【詳解】對于A，當(dāng)都不為零向量且滿足時，，故A錯誤；對于B，因為，當(dāng)向量，的夾角為鈍角時，，故，故B正確；對于C，，，則向量在向量方向上的投影向量的長度為，故C正確；對于D，由于，不共線，故，不共線，故，可作為該平面的一個基底，D正確；故選：BCD11.甲罐中有四個相同的小球，標號為1，2，3，4；乙罐中有五個相同的小球，標號為1，2，3，5，6.現(xiàn)從甲罐、乙罐中分別隨機抽取1個小球，記事件A：抽取的兩個小球標號之和大于5，事件：抽取的兩個小球標號之積大于8，則（）A.事件A與事件是對立事件B.事件與事件是互斥事件C.事件發(fā)生的概率為D.事件發(fā)生的概率為【答案】BC

6【解析】【分析】求得從甲罐、乙罐中分別隨機抽取1個小球，共包含個基本事件；再寫出事件A,B包含的基本事件，即可判斷A,B；寫出事件以及包含的事件，即可以求得其概率，判斷C,D.【詳解】由題意知：從甲罐、乙罐中分別隨機抽取1個小球，共包含個基本事件；事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共11個基本事件；事件包含的基本事件有：，，，，，，，，共8個基本事件，可以看出，事件是事件的子事件，故錯；事件包括：，，，，，，，，共9個事件，每個事件中兩小球標號之積都小于8，故與事件是互斥事件，故正確；事件包含的基本事件為：，，，，，，，，，，，共11個，所以事件發(fā)生的概率為，故正確；事件包含的基本事件有：，，，，，，，，，，，共12個，所以事件包含的基本事件為：，，，共3個基本事件，所以事件發(fā)生的概率為，故不正確，故選：．12.已知正四面體的外接球、內(nèi)切球的球面上各有一動點、，若線段的最小值為，則（）A.正四面體的棱長為6B.正四面體的內(nèi)切球的表面積為C.正四面體的外接球的體積為D.線段的最大值為【答案】ABD【解析】

7【分析】設(shè)這個四面體的棱長為，利用分割補形法求出其外接球的半徑，由等體積法求其內(nèi)切球半徑，再由已知列式求解，然后逐個分析判斷即可【詳解】設(shè)這個四面體的棱長為，則此四面體可看作棱長為的正方體截得的，所以四面體的外接球即為正方體的外接球，外接球直徑為正方體的對角線長，設(shè)外接球的半徑為，內(nèi)切球的半徑為，則，所以，四面體的高為，則等體積法可得，所以，由題意得，所以，解得所以A正確，所以，所以外接球的體積為，所以C錯誤，因為內(nèi)切球半徑為，所以內(nèi)切球的表面積為，所以B正確，線段的最大值為，所以D正確，故選：ABD第Ⅱ卷（非選擇題共90分）三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）13.已知向量，，若，則______.【答案】【解析】【分析】由向量垂直的坐標表示列出等式求解即可.

8【詳解】，，解得.故答案為：.14.已知樣本數(shù)據(jù)1，2，3，4，的平均數(shù)是3，則數(shù)據(jù)2，4，6，8，的方差是______.【答案】8【解析】【分析】先由平均數(shù)公式列方程求出，再求新數(shù)據(jù)的方差【詳解】因為樣本數(shù)據(jù)1，2，3，4，的平均數(shù)是3，所以，解得，所以數(shù)據(jù)2，4，6，8，10的平均數(shù)為，所以方差為，故答案為：815.某圓錐的側(cè)面展開圖是面積為，圓心角為的扇形，則該圓錐的軸截面的面積是______.【答案】【解析】【分析】由題意先計算出母線長，再可求出底面半徑，從而可求出圓錐的高，進而可求出軸截面的面積【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為，母線長為，因為圓錐的側(cè)面展開圖是面積為，圓心角為的扇形，所以，解得，因為，所以，得，所以圓錐的高為，所以圓錐的軸截面的面積是，故答案為：16.在銳角中，角，，所對的邊分別為，，.若，則

9的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】由正弦定理，三角函數(shù)恒等變換的應(yīng)用化簡可得，由，為銳角，可得，解得的范圍，可得求，，化簡所求即可得解．【詳解】，由正弦定理可得：，，可得：，即：，，為銳角，可得：，可得：，，又，可得：，綜上，可得，可得：，，，故答案為：．四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)，.（1）當(dāng)為純虛數(shù)時，求復(fù)數(shù)；（2）當(dāng)時，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點記為點A，將點A繞著原點順時針旋轉(zhuǎn)到達點，求所對應(yīng)的共軛復(fù)數(shù).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)純虛數(shù)的概念列出方程組，求得，即得，計算可得答案;（2）由題意求得，，繼而求得，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義以及共軛復(fù)數(shù)的概念可得答案.【小問1詳解】

10由題意得，解得，所以，則.【小問2詳解】當(dāng)時，，則，則，所以，所對應(yīng)的復(fù)數(shù)，所以其共軛復(fù)數(shù).18.2021年5月31日，中共中央政治局召開會議，會議指出，進一步優(yōu)化生育政策，實施一對夫妻可以生育三個子女政策及配套支持措施，有利于改善我國人口結(jié)構(gòu)、落實積極應(yīng)對人口老齡化國家戰(zhàn)略、保持我國人力資源稟賦優(yōu)勢.某地一家庭有甲、乙、丙三位小孩，他們是否需要照顧相互之間沒有影響.已知在某一小時內(nèi)，甲、乙都需要照顧的概率為，甲、丙都需要照顧的概率為，乙、丙都需要照顧的概率為.（1）求甲、乙、丙三位小孩在這一小時內(nèi)需要照顧的概率；（2）求這一小時內(nèi)恰有一位小孩需要照顧的概率.【答案】（1），，；（2）.【解析】【分析】（1）設(shè)甲、乙、丙三位小孩在這一小時內(nèi)需要照顧的概率分別是，，，根據(jù)已知條件以及事件的相互獨立性列出方程組求解即可；（2）這一小時內(nèi)恰有一位小孩需要照顧，即是甲、乙、丙三位小孩中的一位需要照顧，其余兩位不需要照顧，結(jié)合互斥事件以及對立事件的概率公式進行求解即可.【小問1詳解】設(shè)甲、乙、丙三位小孩在這一小時內(nèi)需要照顧的概率分別是，，，則由題意得，解得.

11即甲、乙、丙三位小孩在這一小時內(nèi)需要照顧的概率分別是，，.【小問2詳解】設(shè)事件：這一小時內(nèi)恰有一位小孩需要照顧，則，即這一小時內(nèi)恰有一位小孩需要照顧的概率為是.19.在中，內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，向量，，且.（1）求角；（2）若，______，求的周長.從①，②這兩個條件中任選一個，補充在上面的橫線上，并解答該問題.注：如果按照兩個條件分別解答，則按第一個解答計分.【答案】（1）；（2）條件選擇見解析，.【解析】【分析】（1）根據(jù)兩向量平行的坐標表示以及正弦定理得出，進而求出，即得角；（2）若選擇①：已知角和邊，利用正弦定理以及余弦定理分別求出邊，進而求出周長；若選擇②：首先利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求出，然后利用正弦定理求出邊，進而求出周長.【小問1詳解】，，由正弦定理得，∵為三角形的內(nèi)角，∴，則，，又，∴.【小問2詳解】

12若選擇①：中，由正弦定理得，，又由余弦定理得，，則周長為.若選擇②：，在中，由正弦定理得，，，.則周長為.20.已知某校高一年級全體學(xué)生的期末數(shù)學(xué)成績?nèi)拷橛?5分到145分之間（滿分150分），為了解該年級學(xué)生的數(shù)學(xué)成績情況，現(xiàn)從該年級的1000名學(xué)生中隨機抽取50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，并分成八組：第一組，第二組，……第八組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）求第七組的頻率，并補全頻率分布直方圖；（2）求這50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均分；

13（3）記數(shù)學(xué)成績在120分以上為“優(yōu)秀”，試估計該年級數(shù)學(xué)成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生的人數(shù).【答案】（1）0.08，直方圖見解析（2）102分（3）150人【解析】【分析】（1）由頻率分布直方圖中各矩形面積之和為1，求得第七組的頻率，即可補全分布圖；（2）根據(jù)平均數(shù)的計算公式可求得這50名學(xué)生數(shù)學(xué)成績的平均分；（3）求出數(shù)學(xué)成績在120分以上為“優(yōu)秀”的概率，即可求得答案.【小問1詳解】由題意得，，所以第七組的頻率是0.08.補全圖形得如圖：【小問2詳解】，所以這50名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績的平均分為102.【小問3詳解】由頻率分布直方圖可知數(shù)學(xué)成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的頻率為，由樣本估計總體：，所以得該年級“優(yōu)秀”的學(xué)生大約有150人.21.如圖，在中，，，，點在邊的延長線上.

14（1）求的面積；（2）若，為線段上靠近的三等分點，求的長.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）在中利用正弦定理求出，再利用兩角和的正弦公式求出，然后利用三角形的面積公式可求得結(jié)果，（2）方法1：由題意可得，代值計算即可，方法2：在中利用余弦定理求出，則可求得，再在利用正弦定理求出，從而可求出，然后在中利用余弦定理可求得【小問1詳解】中，，因為，，所以因為，所以.【小問2詳解】方法1：因為為線段上靠近的三等分點，所以,所以,所以，

15則.方法2：在中，由余弦定理得，因為為線段上靠近的三等分點，所以，因為，所以，因為為銳角，所以，在中，由余弦定理得，，所以.22.如圖，正方形與直角梯形所在平面互相垂直，，，.（1）求證：平面；（2）求四面體的體積；（3）求平面與平面的夾角的正切值.【答案】（1）證明見解析

16（2）（3）【解析】【分析】（1）先證明線線垂直，根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明平面；（2）根據(jù)三棱錐的體積公式即可求得答案.（3）作輔助線，根據(jù)面面角的定義找到平面與平面的二面角的平面角，解直角三角形即可求得答案.【小問1詳解】證明：由題意，可得，，平面，平面平面，所以平面，又平面，則，在正方形中，，又，則平面.【小問2詳解】因為平面，平面平面，平面，又，故，.【小問3詳解】記交于，連接，過作，交于，連接，由題意知，,O為BD中點，故，∵平面，∴，則，則平面,則為平面與平面的夾角.

17∵，∴平面，則,四邊形AOGF為平行四邊形，故,由于,故平面BDE，故平面BDE，平面BDE，故，中,，，，則在中，，故平面與平面夾角的正切值為.

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