浙江省浙南名校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期第一次聯(lián)考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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2023學(xué)年高三年級(jí)第一學(xué)期浙南名校聯(lián)盟第一次聯(lián)考數(shù)學(xué)試題考生須知：1.本卷共5頁(yè)滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2.答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級(jí)?姓名?考場(chǎng)號(hào)?座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3.所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無(wú)效.4.考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先求得集合，然后根據(jù)交集的知識(shí)求得正確答案.【詳解】，解得或，所以.由得，所以，所以.故選：A2.雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線的性質(zhì)求解．【詳解】由題意可知雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，，故焦點(diǎn)為，故選：D3.已知平面向量，則在方向上的投影向量為（） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由向量數(shù)量積求出在方向上的投影為，再結(jié)合投影向量的定義求解.【詳解】在方向上的投影為，又方向上的單位向量為，故在方向上的投影向量是.故選：B.4.已知，則“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條C.充要條件件D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】作差，利用二次函數(shù)性質(zhì)可判斷充分性；取可判斷必要性.【詳解】充分性：，因?yàn)榈膶?duì)稱軸為，所以在單調(diào)遞增，所以的最小值為，因?yàn)?，所以，所以，即?shù)列是遞增數(shù)列.“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的充分條件.必要性：顯然，當(dāng)時(shí)，為遞增數(shù)列.“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的不必要條件. 綜上，“”是“數(shù)列是遞增數(shù)列”的充分不必要條件.故選：A5.生活中有很多常見(jiàn)的工具有獨(dú)特的幾何體結(jié)構(gòu)特征，例如垃圾畚箕，其結(jié)構(gòu)如圖所示的五面體，其中四邊形與都為等腰梯形，為平行四邊形，若面，且，記三棱錐的體積為，則該五面體的體積為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】將五面體分割成三個(gè)三棱錐，通過(guò)選擇適當(dāng)定點(diǎn)可得其體積關(guān)系，然后可得五面體體積.【詳解】因?yàn)闉槠叫兴倪呅危?，所?記梯形的高為，因?yàn)?，所以，所以，所以該五面體的體積.故選：C 6.若，則的值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先由三角函數(shù)平方關(guān)系結(jié)合已知求出，從而求出，再由即可求出，最后由兩角和的正切公式代入表達(dá)式即可求解.【詳解】一方面由題意，且注意到，聯(lián)立得，解得，所以，另一方面不妨設(shè)，且，所以有，解得或（舍去），即，由兩角和的正切公式有， 所以.故選：B.7.設(shè)離散型隨機(jī)變量的期望和方差分別為和，且，則（）A.BC.D.和大小不確定【答案】C【解析】【分析】根據(jù)期望和方差公式計(jì)算并作差可得．【詳解】設(shè)，則，，，.，所以， 所以，故選：C．8.在四棱錐中，底面是直角梯形，，.若，且三棱錐的外接球的表面積為，則當(dāng)四棱錐的體積最大時(shí)，長(zhǎng)為（）A.B.2C.D.【答案】D【解析】【分析】由球的表面積公式得半徑，確定球心和點(diǎn)在底面的投影，建立函數(shù)關(guān)系求解．【詳解】由球的表面積，得，因?yàn)闉橹苯侨切?，所以的外接球球心在底面的投影為中點(diǎn)，而，故在底面的投影為垂直平分線與垂直平分線的交點(diǎn)，即中點(diǎn)，，，可得，設(shè)，則，設(shè)，令，則，，故當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)即時(shí)，函數(shù)取最大值，此時(shí)四棱錐的體積最大，長(zhǎng)為．故選：D 二?多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的選項(xiàng)中有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.成人心率的正常范圍為60~100次/分鐘，超過(guò)100次/分鐘為心率過(guò)速.觀測(cè)并記錄一名心率過(guò)速成人患者服用某種藥物后心率，其隨時(shí)間的變化如圖所示，則該患者（）A.服了藥物后心率會(huì)馬上恢復(fù)正常B.服藥后初期藥物起效速度會(huì)加快C.所服藥物約15個(gè)小時(shí)后失效（服藥后心率下降期間為有效期）D.一天需服用該藥1至2次【答案】BCD【解析】【分析】由函數(shù)圖象對(duì)選項(xiàng)逐一判斷．【詳解】對(duì)于A，服藥后2小時(shí)心率恢復(fù)正常，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，服藥后初期心率下降速率增大，故B正確，對(duì)于C，服藥15小時(shí)后心率開(kāi)始回升，故C正確，對(duì)于D，服藥22小時(shí)后心率過(guò)速，需再次服藥，故D正確，故選：BCD10.將函數(shù)圖象向左平移 個(gè)單位長(zhǎng)度，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)保持不變，得到函數(shù)的圖象，則關(guān)于的說(shuō)法正確的是（）A.最小正周期為B.偶函數(shù)C.在上單調(diào)遞減D.關(guān)于中心對(duì)稱【答案】BD【解析】【分析】先根據(jù)三角函數(shù)圖象變換的知識(shí)求得，然后根據(jù)三角函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確答案.【詳解】，的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，再把所得圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的，縱坐標(biāo)保持不變，得到，所以，的最小正周期為，A選項(xiàng)錯(cuò)誤.是偶函數(shù)，B選項(xiàng)正確.由得，所以在上單調(diào)遞增，C選項(xiàng)錯(cuò)誤.，所以D選項(xiàng)正確.故選：BD11.已知函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)為，則（）A.曲線在處的切線方程為B.有極大值，也有極小值C.使得恒成立的最小正整數(shù)為2021D.有兩個(gè)不同零點(diǎn)，且【答案】ACD 【解析】【分析】根據(jù)切線方程的求解即可判斷A，根據(jù)導(dǎo)數(shù)求解單調(diào)性即可判斷極值求解B，根據(jù)過(guò)原點(diǎn)的切線的斜率，即可求解C，利用極值點(diǎn)偏移的求解方法即可求解D.【詳解】由得，對(duì)于A，則，故處的切線方程為，即，A正確，對(duì)于B,令，故當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)，取極大值,無(wú)極小值，B錯(cuò)誤，設(shè)切點(diǎn)為,則切點(diǎn)處的切線方程為，則該切線方程經(jīng)過(guò)原點(diǎn)時(shí)，則，所以，得，所以此時(shí)切線方程為，由于過(guò)原點(diǎn)，所以當(dāng)直線與相切時(shí)，此時(shí)，要使恒成立，則，由于,故，C正確，由于是的兩個(gè)零點(diǎn)，所以，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，故當(dāng)，取極大值，故不妨設(shè)，記，則，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以，故在單調(diào)遞增，故，因此，由于，所以，而在單調(diào)遞增，故，故， 由于所以，由于是的兩個(gè)零點(diǎn)，所以，記，所以是的兩個(gè)零點(diǎn)，由于，所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，所以當(dāng)時(shí)，取極小值也是最小值，不妨設(shè)，則，記，則，由于，所以，因此在單調(diào)遞減，所以，即，由于時(shí)，單調(diào)遞增，，所以，即，因此，D正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題主要考查導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，以及函數(shù)問(wèn)題的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計(jì)算能力，對(duì)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個(gè)角度進(jìn)行：(1)考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點(diǎn)處的切線方程；(2)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問(wèn)題，同時(shí)注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.12.已知是橢圓上不同的三點(diǎn)，記的面積分別為（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.若，則（）A.B.C.D.為定值【答案】BC 【解析】【分析】先證明：設(shè)，不共線，則．然后設(shè)，，，求出，代入后利用三角恒等變換得出，從而可判斷各選項(xiàng)．【詳解】先證明：設(shè)，不共線，則．若，則，若，當(dāng)中有一個(gè)為0時(shí)，例如，則易得，當(dāng)都不為0時(shí)，設(shè)直線與軸交點(diǎn)為，直線方程為，令，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，，由已知設(shè)，，，則，同理，，由得，，，， ，，由題意中任意兩點(diǎn)都與原點(diǎn)不共線，即，，所以，，所以，，從而或,所以，，故選：BC．【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題中利用三角換元法或稱為橢圓的參數(shù)方程設(shè)出三點(diǎn)的坐標(biāo)后，易錯(cuò)點(diǎn)是得出后容易得出，要注意換元后參數(shù)的意義，在中，，因此不能得出．非選擇題部分三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知復(fù)數(shù)滿足，則______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)相等的概念求得，即可求解.【詳解】設(shè)，則，所以，所以，所以，則，故答案為:.14.若的展開(kāi)式中所有系數(shù)絕對(duì)值之和為81，則其常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____.【答案】【解析】 【分析】由二項(xiàng)式定理求解．【詳解】的展開(kāi)式中所有系數(shù)絕對(duì)值之和為，得，的展開(kāi)通項(xiàng)為，當(dāng)時(shí)，常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：15.已知點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，且最小值為，則實(shí)數(shù)的值為_(kāi)_____.【答案】5【解析】【分析】結(jié)合圖形，先判斷得，再將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值，利用換元法與二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值求法即可得解.【詳解】因?yàn)榭苫癁?，又，所以表示焦點(diǎn)在軸上，實(shí)半軸長(zhǎng)為的雙曲線上支的一部分，而圓的圓心為，半徑為，如圖，因?yàn)樽钚≈禐?，即，又，即，所以，即?則，又，所以，因?yàn)辄c(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)，故設(shè),，所以，令，，則，，所以，令，則其對(duì)稱軸為，因?yàn)?，所以，則在上單調(diào)遞減，則，即，則，解得或（舍去），所以.故答案為：5.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問(wèn)題，從而得解.16.已知數(shù)列的首項(xiàng)為，且滿足，其中為其前項(xiàng)和，若恒有，則的取值范圍為_(kāi)_____.【答案】【解析】【分析】利用與的關(guān)系可得，進(jìn)而可得，再利用累乘法得，由恒成立可知，，列不等式組求解即可.【詳解】由①可得②，②①得，即，，所以，，所以，，累乘得， ，將代入得，解得，所以，，對(duì)于函數(shù)，得，由指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得存在滿足，同理時(shí)，所以要使恒成立，只需，即可，即，解得，故答案為：四?解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明?證明過(guò)程或演算步驟.17.設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，已知.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出等差數(shù)列的公差，利用給定條件列出方程組，解方程組作答.（2）由（1）的結(jié)論，利用分組求和法及等差等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解作答.【小問(wèn)1詳解】設(shè)等差數(shù)列的首項(xiàng)為，公差為，由題：解得所以；【小問(wèn)2詳解】 由（1）知，則.兩式相減得：即有18.記的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，已知.（1）若，求；（2）若，求的周長(zhǎng).【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由正弦定理角化邊，再結(jié)合已知條件與余弦定理即可求解.（2）由（1）得,結(jié)合已知由余弦定理可以先求出，再由變形公式即可求解.【小問(wèn)1詳解】由得：,則,則,即，化簡(jiǎn)并整理得，又，則,所以. 【小問(wèn)2詳解】由題意有，由（1）得,所以所以，由，所以，則的周長(zhǎng)為.19.某型合金鋼生產(chǎn)企業(yè)為了合金鋼的碳含量百分比在規(guī)定的值范圍內(nèi)，檢驗(yàn)員在同一試驗(yàn)條件下，每天隨機(jī)抽樣10次，并測(cè)量其碳含量（單位：%）.已知其產(chǎn)品的碳含量服從正態(tài)分布.（1）假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示一天內(nèi)10次抽樣中其碳含量百分比在之外的次數(shù)，求及的數(shù)學(xué)期望：（2）一天內(nèi)的抽檢中，如果出現(xiàn)了至少1次檢測(cè)的碳含量在之外，就認(rèn)為這一天的生產(chǎn)過(guò)程可能出現(xiàn)了異常情況，需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.下面是在一天中，檢測(cè)員進(jìn)行10次碳含量（單位：%）檢測(cè)得到的測(cè)量結(jié)果：次數(shù)12345678910碳含量（%）0.310.320.340.310.300.310.320.310.330.32經(jīng)計(jì)算得，，其中為抽取的第次的碳含量百分比.（i）用樣本平均數(shù)作為的估計(jì)值，用樣本標(biāo)準(zhǔn)差作為的估計(jì)值，利用估計(jì)值判斷是否需對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查？（ii）若去掉，剩下的數(shù)的平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別記為，試寫出的算式（用表示）. 附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則..【答案】（1）0.0257，0.026（2）（i）不需要（ii）【解析】【分析】（1）由公式結(jié)合已知即可求出，由二項(xiàng)分布的期望公式即可求出.（2）先求出，對(duì)比表中數(shù)據(jù)即可判斷是否需要對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查，由樣本平均數(shù)和方差的計(jì)算公式推導(dǎo)即可得出.【小問(wèn)1詳解】由已知得：抽取一次碳含量在之內(nèi)的概率為0.9974，所以，又碳含量在之外的概率為0.0026，故,因此.【小問(wèn)2詳解】由得的估計(jì)值為，所以，由所測(cè)數(shù)據(jù)可以看出10次抽檢的碳含量均在之內(nèi)，因此不需要對(duì)當(dāng)天的生產(chǎn)過(guò)程進(jìn)行檢查.若去掉，剩下的數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差 又注意到，所以.20.在正三棱臺(tái)中，側(cè)棱長(zhǎng)為1，且為的中點(diǎn)，為上的點(diǎn)，且.（1）證明：平面，并求出的長(zhǎng)；（2）求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析，（2）【解析】【分析】（1）畫出圖形，由線面垂直的性質(zhì)以及判定定理證明即可,解三角形即可求出的長(zhǎng).（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量即可求解.【小問(wèn)1詳解】如圖所示： 由三棱臺(tái)可知：延長(zhǎng)交于點(diǎn)，連接，延長(zhǎng)交于，并連接，易得三棱錐為正四面體，所以，且平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)?，且平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以，在中，，則，所以.【小問(wèn)2詳解】如圖，以底面中心為坐標(biāo)原點(diǎn)，以與平行的方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S，以方向?yàn)檩S建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系： 則，所以，所以，設(shè)平面的法向量為，則即為令，得，取平面的法向量為，所以，所以平面與平面夾角的余弦值為. 21.設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為是坐標(biāo)原點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線與拋物線交于兩點(diǎn)，延長(zhǎng)分別交拋物線于兩點(diǎn)，分別是的中點(diǎn).（1）求直線的斜率的取值范圍；（2）求的最小值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)出直線的方程并與拋物線方程聯(lián)立，化簡(jiǎn)寫出根與系數(shù)關(guān)系，結(jié)合基本不等式求得直線的斜率的取值范圍.（2）求得兩點(diǎn)的坐標(biāo)，從而求得點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)向量的夾角公式以及函數(shù)的單調(diào)性求得的最小值.【小問(wèn)1詳解】由題：，設(shè)，代入得，則有，，所以，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)綜上可得直線的斜率取值范圍為.【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則解得，同理，， 所以，所以點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，所以的斜率，記，，取的方向向量分別為，故，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，最小值為，所以當(dāng)時(shí)，取到最小值為. 【點(diǎn)睛】求解直線和拋物線相交有關(guān)的問(wèn)題，如果交點(diǎn)有兩個(gè)，可設(shè)直線方程為的形式，這個(gè)設(shè)法包括了直線斜率不存在的情況，但不包括直線與軸平行的情況.求解最值有關(guān)的問(wèn)題，可根據(jù)表達(dá)式的結(jié)構(gòu)，利用基本不等式或函數(shù)的單調(diào)性來(lái)求.22.設(shè)函數(shù).（1）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意，函數(shù)均有2個(gè)零點(diǎn)，求的取值范圍；（3）設(shè)且，證明：.【答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）（3）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）求導(dǎo)，對(duì)參數(shù)進(jìn)行分類討論即可.（2）由（1）可知的單調(diào)性，結(jié)合題意有，轉(zhuǎn)換為不等式恒成立問(wèn)題來(lái)求解即可.（3）首先利用分析法，兩邊取對(duì)數(shù)將不等式變形為，進(jìn)一步采用倒序相加法，則只需證，結(jié)合（2）中結(jié)論即可求證.【小問(wèn)1詳解】由題：，（i）當(dāng)時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減；（ii）當(dāng)時(shí)，解為，且，所以函數(shù)的減區(qū)間為，增區(qū)間為. 【小問(wèn)2詳解】由（1）知當(dāng)時(shí)，有減區(qū)間為，增區(qū)間為,由題可知：對(duì)任意，均有成立，等價(jià)于恒成立，令，則，得，且，所以在上遞增，在上遞減，所以，所以；所以當(dāng)時(shí)，，注意到，所以，所以的取值范圍為.【小問(wèn)3詳解】由題意，其中且，，因?yàn)?由（2）可知：，取，代入上式得，，所以，得證!