安徽省桐城中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

《安徽省桐城中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

安徽省桐城中學(xué)2023-2024學(xué)年度上學(xué)期高二第一次教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試卷（考試總分：150分考試時(shí)長(zhǎng)：120分鐘）一、單選題（本題共計(jì)8小題，總分40分）1.直線x+y﹣1＝0的傾斜角為（　?。〢.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出斜率，由斜率得傾斜角．【詳解】直線x+y﹣1＝0的斜率是，∴傾斜角為．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查直線的傾斜角，掌握傾斜角與斜率的關(guān)系是解題關(guān)鍵．2.如圖，在平行六面體中，與交點(diǎn)為，設(shè)，，，則下列選項(xiàng)中與向量相等的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)空間向量基本定理結(jié)合平行六面體的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)樵谄叫辛骟w中，M為與的交點(diǎn)，，，， 所以=.故選：B3.下列函數(shù)既是奇函數(shù)，又在上單調(diào)遞增的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)中函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，綜合即可得答案．【詳解】對(duì)于A，，為偶函數(shù)，不符合題意；對(duì)于B,，其定義域?yàn)?，有，為奇函?shù)，設(shè)，在上為減函數(shù)，而為增函數(shù)，則在上為減函數(shù)，不符合題意；對(duì)于C,,有，為奇函數(shù)，且為增函數(shù)，故在R上為增函數(shù)，符合題意；對(duì)于D,，其定義域?yàn)镽，有，為奇函數(shù)，設(shè)在R上為減函數(shù)，而為增函數(shù)，則在R上為減函數(shù)，不符合題意.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性的判定，關(guān)鍵是掌握常見函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，屬于中檔題．4.定義，若向量，向量為單位向量，則的取值范圍是（）A.[6，12]B.[0，6]C.[-1，5]D.[0，12] 【答案】A【解析】【分析】設(shè)，則,由即得解.【詳解】由題意知，．設(shè)，則．又，∴，∴．故選：A5.已知直線和以，為端點(diǎn)的線段相交，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）AB.C.D.或【答案】D【解析】【分析】直線過定點(diǎn)，分別求出和，結(jié)合圖形，可求出答案.【詳解】由題意，直線可化為，令，得，即該直線過定點(diǎn)，，，所以當(dāng)或時(shí)，直線和以，為端點(diǎn)的線段相交.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查了直線系方程的應(yīng)用，以及過兩點(diǎn)的直線的斜率的求法，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題．6.一個(gè)結(jié)晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點(diǎn) 為端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都相等，且它們彼此的夾角都是，則與所成角的余弦值為（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】將向量分別用表示，再根據(jù)結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.【詳解】不妨設(shè)，則，，則，，，所以，即與所成角的余弦值為.故選：D. 7.如圖，已知，，，，，一束光線從點(diǎn)出發(fā)射到上的點(diǎn)，經(jīng)反射后，再經(jīng)反射，落到線段上（不含端點(diǎn)），則直線的斜率的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，連接與直線分別交于，連接，分別與直線交于，由題意，在線段之間即可，算出兩點(diǎn)的坐標(biāo)結(jié)合斜率公式即可得到答案.【詳解】設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，連接與直線分別交于，連接，分別與直線交于，由題意，在線段之間即可，又，直線的方程為，設(shè)，則，解得，所以，同理可得關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，所以直線：， 又直線方程為：，所以，所以直線方程為：，即，由，得，所以，又易得方程為：，所以，所以.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查求點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)、兩直線的交點(diǎn)的問題，涉及到入射光線、反射光線，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是一道有一定難度的題.8.如圖，菱形邊長(zhǎng)為2，，E為邊的中點(diǎn)，將沿折起，使A到，連接，且，平面與平面的交線為l，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（）A.平面平面B.C.與平面所成角的余弦值為D.二面角的余弦值為 【答案】C【解析】【分析】對(duì)于A，由平面幾何的知識(shí)可知，再利用線面垂直的判定定理可證得平面，由此再利用面面垂直的性質(zhì)定理即可證得平面平面；對(duì)于B，利用線面平行的性質(zhì)定理即可證得；對(duì)于C，先證明兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，再求得與平面的一個(gè)法向量，從而可求得與平面所成角的余弦值為；對(duì)于D，在C的基礎(chǔ)上，求得平面與平面的一個(gè)法向量與，由此可求得二面角的余弦值為.【詳解】對(duì)于A，在菱形中連結(jié)，在中，，，所以是正三角形，由于E為邊的中點(diǎn)，所以，又，故，又因?yàn)?平面，所以平面，因?yàn)椋云矫妫驗(yàn)槠矫?，所以平面平面，故A正確；對(duì)于B，因?yàn)?，平面，平面，所以面，又面與面的交線為l，面,所以，故B正確；對(duì)于C，由A知，，故折起后仍有，又平面，則，故以為原點(diǎn),分別以為軸,建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：則，則，因?yàn)槊?，所以是面的一個(gè)法向量，設(shè)與平面所成角為，則，所以，故C錯(cuò)誤； 對(duì)于D，易證面，故為平面的一個(gè)法向量，又，設(shè)平面的一個(gè)法向量為：，則，即，令，則，故，所以，又由圖形可知二面角為銳角，故其余弦值為，故D正確.故選：C.二、多選題（本題共計(jì)4小題，總分20分）9.(多選題)已知是不共面的三個(gè)向量，則下列向量組中，不能構(gòu)成一個(gè)基底的一組向量是（）A.B.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】利用空間向量基底的意義逐一分析各選項(xiàng)中的三個(gè)向量是否共面即可得解.詳解】對(duì)于A，因，則三個(gè)向量共面，它們不能構(gòu)成一個(gè)基底；對(duì)于B，因，則三個(gè)向量共面，它們不能構(gòu)成一個(gè)基底；對(duì)于C，假設(shè)共面，則必有不全為0的實(shí)數(shù)，使得， 因不共面，則，即，與不全為0矛盾，因此，不共面，它們能構(gòu)成一個(gè)基底；對(duì)于D，因，則三個(gè)向量共面，它們不能構(gòu)成一個(gè)基底，所以不能構(gòu)成一個(gè)基底的一組向量是ABD.故選：ABD10.下列說法錯(cuò)誤的是（）A.“”是“直線與直線互相垂直”的充要條件B.直線的傾斜角的取值范圍是C.經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線方程過D.方程與方程表示同一條直線【答案】AD【解析】【分析】對(duì)于A：利用垂直直線的關(guān)系和充要條件的概念即可判斷；對(duì)于B：首先求出斜率范圍，進(jìn)而得到傾斜角范圍；對(duì)于C：分別討論斜率是否存在，并利用兩點(diǎn)式即可判斷；對(duì)于D：分析兩個(gè)方程的定義域即可判斷.【詳解】對(duì)于A：若，則兩直線方程分別為：和，兩直線的斜率分別為，，故，從而直線與直線互相垂直；若直線與直線互相垂直，則，解得或，從而“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：由題意，直線的斜率，即且，解得或，故B正確；對(duì)于C：當(dāng)斜率不存在時(shí)，此時(shí)直線方程：且，此時(shí)符合題意；當(dāng)斜率存在時(shí)，由兩點(diǎn)式可知：直線方程為： 滿足題意，故C正確；對(duì)于D：因?yàn)榈亩x域?yàn)?，而的定義域?yàn)?，所以方程與方程不表示同一條直線，故D錯(cuò)誤.故選：AD.11.下列說法錯(cuò)誤的是（）A.是直線的一個(gè)單位方向向量B.直線與直線之間的距離是C.點(diǎn)到直線l：的距離為D.經(jīng)過點(diǎn)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線條數(shù)共有2條【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A：根據(jù)單位向量模長(zhǎng)為1判斷；對(duì)于B：先把兩平行直線的的系數(shù)化為相同后再代入平行直線距離公式；對(duì)于C：代入點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算；對(duì)于D：截距的絕對(duì)值相等的直線還包括過原點(diǎn)直線.【詳解】對(duì)于A：的模長(zhǎng)為，不是單位向量，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：化為，與的距離為，故B正確；對(duì)于C：點(diǎn)到直線l：的距離為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D：在兩坐標(biāo)軸上的截距的絕對(duì)值相等的直線有斜率為的兩條，還有過原點(diǎn)的一條，故D錯(cuò)誤.故選：ACD.12.已知，，且，則（）A.的取值范圍B.的取值范圍是C.D.的最小值是【答案】CD【解析】 【分析】對(duì)A利用基本不等式構(gòu)造，解出范圍即可，同時(shí)注意的前提，對(duì)B構(gòu)造得到最小值，同時(shí)注意，對(duì)C把原式變?yōu)閱巫兞浚俜蛛x常數(shù)構(gòu)造基本不等式情形即可，對(duì)D依然把原式變?yōu)閱巫兞?，再分離常數(shù)構(gòu)造基本不等式情形即可求出最值.【詳解】因?yàn)?且,所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，注意到，則解得,即,所以的取值范圍為，故A錯(cuò)誤;又,且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào),解得，又，故B錯(cuò)誤，由,得,所以，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即或，無法取到，故，故C正確；，,當(dāng)且僅當(dāng),即時(shí)取等號(hào),此時(shí)取得最小值，故D正確.故選：CD.【點(diǎn)睛】本題對(duì)基本不等式需要達(dá)到靈活運(yùn)用，利用基本不等式構(gòu)建一元二次不等式求范圍，分離常數(shù)構(gòu)造滿足基本不等式的情形求解最值，同時(shí)一定要注意取等條件是否能達(dá)到. 三、填空題（本題共計(jì)4小題，總分20分）13.有一根蠟燭點(diǎn)燃6min后，蠟燭長(zhǎng)為17.4cm；點(diǎn)燃21min后，蠟燭長(zhǎng)為8.4cm．已知蠟燭長(zhǎng)度l（cm）與燃燒時(shí)間t（min）可用直線方程表示，則這根蠟燭從點(diǎn)燃到燃盡共耗時(shí)______min．【答案】35【解析】【分析】假設(shè)直線方程為，利用待定系數(shù)法求得直線方程，代入即可求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意，不妨設(shè)直線方程為，則，解得，所以直線方程為，當(dāng)時(shí)，即，得，所以這根蠟燭從點(diǎn)燃到燃盡共耗時(shí)35min.故答案為：35.14.已知的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別是，，，若，，，則的面積為_____________.【答案】【解析】【分析】由正弦定理可得，由余弦定理可得，從而有，再由三角形的面積公式求解即可.【詳解】解：因?yàn)椋瑒t，由正弦定理可得，，即，由余弦定理可得，則，解得，所以，又因?yàn)?，所?故答案為：15.已知點(diǎn)為正四面體的外接球上的任意一點(diǎn)，正四面體的棱長(zhǎng)為2，則的取值范圍為___________. 【答案】【解析】【分析】將正四面體放在正方體內(nèi)，以正方體的中心為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求的取值范圍.【詳解】如圖，將正四面體放在正方體內(nèi)，并建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，∵正四面體的棱長(zhǎng)為2，則正方體的棱長(zhǎng)為，正四面體ABCD的外接球即為圖中正方體的外接球，其半徑為R，則，則，，設(shè)，則，則，∵，，∴.故答案為：.16.已知等腰內(nèi)接于圓O，點(diǎn)M是下半圓弧上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)，如圖所示）. 現(xiàn)將上半圓面沿AB折起，使所成的二面角為.則直線AC與直線OM所成角的正弦值最小值為______.【答案】##0.5【解析】【分析】取下半圓弧的中點(diǎn)D，連接OC，OD，以點(diǎn)O為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解作答.【詳解】在折后的圖形中，取下半圓弧的中點(diǎn)D，連接OC，OD，如圖，依題意，平面，于是得平面，且是二面角的平面角，即，在平面內(nèi)過點(diǎn)O作，因此射線兩兩垂直，以點(diǎn)O為原點(diǎn)，射線分別為非負(fù)半軸建立空間直角坐標(biāo)系，令，則，設(shè)點(diǎn)，顯然有，于是得，令直線AC與直線OM所成的角為，因此， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號(hào)，顯然直線AC與直線OM為異面直線，即，而余弦函數(shù)在上單調(diào)遞減，因此取最大值時(shí)，角取最小值，，所以直線AC與直線OM所成角的正弦值最小值為.故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求空間角的最值問題，根據(jù)給定條件，選定變量，將該角的某個(gè)三角函數(shù)建立起變量的函數(shù)，求出函數(shù)最值即可.四、解答題（本題共計(jì)6小題，總分70分）17.（1）已知，，且，求，的值；（2）已知，，若與（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的夾角為，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算，結(jié)合空間向量共線的坐標(biāo)表示計(jì)算作答；（2）先算出，，然后利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算得到，再利用夾角公式即可得到答案【詳解】（1）因?yàn)?，，所以，，因?yàn)?，所以，解得，所以；?）因?yàn)?，，所以，?所以，因?yàn)榕c的夾角為，所以，因?yàn)榻獾?8.在平面直角坐標(biāo)系中，為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)作直線分別與軸正半軸、軸正半軸交于點(diǎn).（1）當(dāng)斜率為2時(shí)，求的一般式方程；（2）求面積的最小值時(shí)直線的方程.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由點(diǎn)斜式寫出的方程，再化成一般式即；（2）則設(shè)直線的方程為，，求得在兩坐標(biāo)軸的截距分別為，，再由，可得，結(jié)合基本不等式可得當(dāng)時(shí)，面積的最小值，即可得答案.【小問1詳解】解：由題意可知，直線的方程：，即；小問2詳解】解：∵點(diǎn)在第一象限，且直線分別與軸正半軸、軸正半軸相交，∴直線的斜率，則設(shè)直線的方程為，，令，得；令，得.∴.∵，∴， ∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.∴面積的最小值為6.此時(shí)直線的方程為，即.19.如圖，在四棱錐中，平面，底面四邊形是正方形，，點(diǎn)為上的點(diǎn)，.（1）求證：平面平面；（2）若，求點(diǎn)到平面的距離.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定證明，，進(jìn)而可得平面，從而得到平面平面；（2）（法一）利用等體積法求解；（法二）以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，再根據(jù)點(diǎn)到面的向量表示求解即可.【小問1詳解】因?yàn)榈酌嫠倪呅螢檎叫?，所以，因?yàn)槠矫妫矫?，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平?【小問2詳解】（法一）因?yàn)槠矫?，平面，所以?因?yàn)榈酌嫠倪呅螢檎叫危?，又，平面，所以平面，又平面，所以，即為直角三角形，因?yàn)?，則，所以，，，，在中，，在中，由余弦定理，即，同理可求得，所以為直角三角形，，因?yàn)?，所以點(diǎn)到平面的距離為，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得，即，所以，所以點(diǎn)到平面的距離為.（法二）因?yàn)椋瑒t，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，所在的直線分別為，，軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，.所以，由，得， ，，，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則取，可得，，所以，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，所以點(diǎn)到平面的距離為.20.如圖，將一塊直角三角形木板置于平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)是三角形木板內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)因三角形木板中陰影部分受到損壞，要把損壞部分鋸掉，可用經(jīng)過點(diǎn)P的任一直線將三角形木板鋸成，設(shè)直線的斜率為k.（1）用k表示出直線的方程，并求出M、N的坐標(biāo)；（2）求鋸成的的面積的最小值.【答案】（1），，.（2）.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求得直線的方程，再聯(lián)立直線方程組即可求得M、N的坐標(biāo)；（2）先由題意確定的范圍，再利用（1）結(jié)論可得到與M到直線的距離，由此得到的面積關(guān)于的關(guān)系式，利用基本不等式即可求解. 【小問1詳解】設(shè)直線，因直線過點(diǎn)，所以，即，所以，又因?yàn)?，，易得直線，直線，聯(lián)立，解得；聯(lián)立，解得，故，.【小問2詳解】因?yàn)?，，所以，所以，因?yàn)?，設(shè)M到直線的距離為d，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以S的最小值為.21.在中，，，，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，滿足且DE經(jīng)過的重心，將沿DE折起到的位置，使，M是的中點(diǎn)，如圖所示. （1）求證：平面BCDE；（2）求CM與平面所成角的大小；（3）在線段上是否存在點(diǎn)N（N不與端點(diǎn)、B重合），使平面CMN與平面DEN垂直?若存在，求出與BN的比值；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）證明見解析（2）（3）存在；2【解析】【分析】（1）結(jié)合線面垂直判定定理和折疊性質(zhì)可證；（2）通過建系法求出和平面的法向量，設(shè)線面角為，結(jié)合公式求解即可；（3）在（2）的坐標(biāo)系基礎(chǔ)上，寫出坐標(biāo)，設(shè)，，表示出點(diǎn)N，分別求出平面CMN與平面DEN的法向量，令數(shù)量積為0，求出參數(shù)即可.【小問1詳解】因?yàn)樵谥校?，，所以，因?yàn)檎郫B前后對(duì)應(yīng)角相等，所以，所以平面，，又，，所以平面BCDE；【小問2詳解】因?yàn)镈E經(jīng)過的重心，故，由（1）知平面BCDE，以為軸，為軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由幾何關(guān)系可知，，故，， ，設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則，設(shè)CM與平面所成角的大小為，則有，故，即CM與平面所成角的大小為；【小問3詳解】設(shè)，，即，即，，，，設(shè)平面CMN的法向量為，則有，即，令則，，，同理，設(shè)平面DEN的法向量為，，則，即，令，則，故，若平面CMN與平面DEN垂直，則滿足，即，，故存在這樣的點(diǎn)，，所以22.如圖，正方形和所在平面互相垂直，且邊長(zhǎng)都是1，，，分別為線段，，上的動(dòng)點(diǎn)，且，平面，記. （1）證明：平面；（2）當(dāng)?shù)拈L(zhǎng)最小時(shí)，求二面角的余弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理證明線面垂直；（2）求出的長(zhǎng)最小時(shí)點(diǎn)的位置，然后分別以，，所在的直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求二面角．【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，且平面，平面平面，所以，所以，所以，所以，所以，所以，又因?yàn)槠矫嫫矫?，且平面，平面平面，所以平?（2）由（1）知，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，分別以，，所在的直線為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，， 設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，，則，取，得，設(shè)平面的一個(gè)法向量為，因?yàn)?，，則，取，得，所以，則二面角的余弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查面面垂直的性質(zhì)定理，考查用空間向量法求二面角，解題關(guān)鍵是是建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由向量的夾角得二面角，注意觀察二面角是銳二面角還是鈍二面角．