新疆維吾爾自治區(qū)烏魯木齊市第101中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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烏魯木齊市第101中學(xué)2023-2024學(xué)年高三上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題總分150分考試時間120分鐘一、單項選擇題（8小題每題5分共40分）1.若（為虛數(shù)單位），則對應(yīng)點位于（）.A.第一象限B.第二象限C.第二象限D(zhuǎn).第四象限【答案】D【解析】【分析】先化簡復(fù)數(shù)，再計算，確定象限.【詳解】對應(yīng)點位于第四象限故答案為D【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡和共軛復(fù)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題型.2.已知：，：，若是的必要不充分條件，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求解不等式化簡集合，，再由題意可得ü，由此可得的取值范圍．【詳解】解：由，即，解得或，所以或，，命題是命題的必要不充分條件，ü，則．實數(shù)的取值范圍是．故選：C． 3.有男志愿者120人，女志愿者180人，按性別進行分層，用分層隨機抽樣的方法從中抽取一個容量為50的樣本.如果樣本按比例分配，那么男志愿者應(yīng)抽取的人數(shù)是（）A.10B.20C.30D.40【答案】B【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關(guān)系即可.【詳解】依題意得，志愿者一共有人，其中男志愿者所占比例為：，則抽取一個容量為50的樣本中，男志愿者應(yīng)抽取的人數(shù)為：.故選：B.4.已知是定義在上的偶函數(shù)，并滿足：，當(dāng)，，則（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用函數(shù)的周期和奇偶性可求得的值.【詳解】由已知條件可得.故選：D.5.以，為焦點的橢圓與直線有公共點，則滿足條件的橢圓中長軸最短的為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】設(shè),與直線方程聯(lián)立可得,由有公共點,則滿足,進而求解即可. 【詳解】由題,設(shè)橢圓方程為,與直線聯(lián)立可得,令解得或（舍去）,故的最小值為5,故選:C【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關(guān)系的應(yīng)用,考查運算能力.6.函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，則的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】計算，根據(jù)的特點可知在上恒成立，然后利用進行判斷即可.【詳解】由題可知：由函數(shù)是上的單調(diào)函數(shù)，又是開口向上的二次函數(shù)所以可知原函數(shù)是的單調(diào)遞增的函數(shù)故在恒成立，所以所以，即故選：B【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)，熟練掌握導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系，審清題意，屬基礎(chǔ)題.7.已知，，則等于（?。〢.4B.C.D.【答案】C【解析】【分析】將代換成，代換成，再結(jié)合二倍角正切公式求解即可 【詳解】原式可代換成，即，則故選C【點睛】本題考查三角函數(shù)的化簡求值，二倍角的正弦、余弦、正切公式的使用，屬于基礎(chǔ)題8.若數(shù)列的前項和為，則下列命題：（1）若數(shù)列是遞增數(shù)列，則數(shù)列也是遞增數(shù)列；（2）數(shù)列是遞增數(shù)列的充要條件是數(shù)列的各項均為正數(shù)；（3）若是等差數(shù)列，則的充要條件是；（4）若是等比數(shù)列且，則充要條件是；其中，正確命題個數(shù)是（）A.0個B.1個C.2個D.3個【答案】B【解析】【分析】對各選項逐個論證或給出反例后可得正確的命題的個數(shù).【詳解】對于（1），取，則，因該數(shù)列的公差為，故是遞增數(shù)列.，故，所以數(shù)列不是遞增數(shù)列，故（1）錯.對于（2），取，則，數(shù)列是遞增數(shù)列，但，故數(shù)列是遞增數(shù)列推不出的各項均為正數(shù)，故（2）錯.對于（3），取，則，，故當(dāng)時，但總成立，故總成立，故推不出，故（3）錯. 對于（4），設(shè)公比為，若，若，則，，矛盾，故.又，故必存在，使得即，即，所以，故，所以是必要條件.若，則，所以，所以，所以是的充分條件故的充要條件是，故（4）正確.故選：B.【點睛】本題考查數(shù)列的單調(diào)性、數(shù)列的前項和的單調(diào)性以及等比數(shù)列前項和的積的性質(zhì)，對于等差數(shù)列的單調(diào)性，我們可以求出前項和關(guān)于的二次函數(shù)的形式，再由二次函數(shù)的性質(zhì)討論其單調(diào)性，也可以根據(jù)項的符號來判斷前項和的單調(diào)性.應(yīng)用等比數(shù)列的求和公式時，注意對公比是否為1分類討論.二、多選題（共4小題每題五分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.）9.若一個直角三角形的兩條直角邊長分別為3與4，則以其直角邊為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)而成的空間圖形的側(cè)面積為（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】由題得旋轉(zhuǎn)而成的空間圖形是圓錐，分底面半徑為3和4兩種情況討論計算得解.【詳解】解：由題得旋轉(zhuǎn)而成的空間圖形是圓錐，母線長為5.若底面半徑為3，則側(cè)面積為； 若底面半徑為4，則側(cè)面積為．故選：BC10.設(shè)拋物線C：的焦點為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點，以F為圓心,為半徑的圓交l于B，D兩點，若，且的面積為，則（　?。〢.B.是等邊三角形C.點F到準(zhǔn)線的距離為3D.拋物線C的方程為【答案】BC【解析】【分析】由幾何關(guān)系與拋物線的性質(zhì)對選項逐一判斷，【詳解】由題意作出圖象，由題意得，，設(shè)，以F為圓心，為半徑的圓交l于B，D兩點，則，而，由拋物線定義知，是中點，故，故為等邊三角形，面積為，則邊長，所以點F到準(zhǔn)線的距離為3，拋物線C的方程為，故BC正確，AD錯誤，故選：BC11.函數(shù)，當(dāng)時，，則的取值可以是（）A.0B.1 C.－1D.【答案】AB【解析】【分析】設(shè)，則在上為增函數(shù)，且，所以要滿足當(dāng)時，，只要有當(dāng)時，，當(dāng)時，，從而可得，得（），從而可得【詳解】設(shè)，則在上為增函數(shù)，且，若當(dāng)時，，則有當(dāng)時，，當(dāng)時，，所以的圖像必過點，則，得（）此時，則的另一個零點為，得，所以，故選：AB【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想，解題的關(guān)鍵是構(gòu)造函數(shù)，由在上為增函數(shù)，且，結(jié)合題意可得，得（），從而可得，屬于中檔題12.某社區(qū)開展“防疫知識競賽”，甲?乙兩人榮獲一等獎的概率分別為p和q，兩人是否獲得一等獎相互獨立，則這兩人中至少有一人獲得一等獎的概率為（）A.B.C.D.【答案】AD【解析】【分析】令且A、B相互獨立，從正反兩個角度，利用事件的關(guān)系及含義表示出兩人中至少有一人獲得一等獎，進而求出其概率即可.【詳解】記A為“甲獲得一等獎”，B為“乙獲得一等獎”，則且A、B相互獨立.從正面考慮，甲?乙兩人中至少有一人獲得一等獎為，為三個互斥事件， 所以；從反面考慮，事件“甲?乙兩人中至少有一人獲得一等獎”的對立事件是“甲?乙兩人都沒獲得一等獎”，即事件，易得，所以“這兩人中至少有一人獲得一等獎”的概率為，綜上，A、D正確.故選：AD三、填空題（本題共4小題，每題5分，共20分）13.在平面直角坐標(biāo)系中，已知向量，，點在圓上，，若，則與的夾角為______．【答案】【解析】【分析】由已知得，，設(shè)與的夾角為，則由得，從而可求出與的夾角，或設(shè)，則由已知條件可得，再利用向量的夾角公式求解即可【詳解】解法一由題意得，，．由，點在圓上，得．設(shè)與的夾角為，則由，得，所以．因為，所以，即與的夾角為．解法二由題意得，，．由，點在圓上，得，設(shè)，則，又，所以，所以．設(shè)與的夾角為，則．因為，所以，即與的夾角為．故答案為： 14.底面邊長為4的正四棱錐被平行于其底面的平面所截，截去一個底面邊長為2，高為3的正四棱錐，所得棱臺的體積為______．【答案】【解析】【分析】方法一：割補法，根據(jù)正四棱錐的幾何性質(zhì)以及棱錐體積公式求得正確答案；方法二：根據(jù)臺體的體積公式直接運算求解.【詳解】方法一：由于，而截去的正四棱錐的高為，所以原正四棱錐的高為，所以正四棱錐的體積為，截去的正四棱錐的體積為，所以棱臺的體積為.方法二：棱臺的體積為.故答案為：.15.已知圓，如果圓的弦的中點坐標(biāo)是，那么弦所在的直線方程是__________．【答案】【解析】【分析】先由圓的方程，得到圓心坐標(biāo)，由弦所在直線垂直圓心與弦中點的連線，求出弦所在的直線的斜率，進而可求出結(jié)果.【詳解】由得，所以圓的圓心為，因為圓的弦的中點坐標(biāo)是， 所以弦所在直線垂直圓心與弦中點的連線，則，所以，因此弦所在的直線方程是，即.故答案為【點睛】本題主要考查求圓的弦所在直線方程，熟記直線的點斜式方程，根據(jù)直線與圓位置即可求解，屬于常考題型.16.已知數(shù)列的前n項和為，若，則______________.【答案】【解析】【分析】對任意的，計算出，，，的值，即可求得的值.【詳解】對任意的，，，，，所以，，且，，，因此，.故答案為：.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.請根據(jù)答題卡題號及分值在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域的答案無效.）17.已知的內(nèi)角，，的對邊分別是，，，且.（1）求的大小； （2）若，且的外接圓半徑，求的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理得到，化簡得到答案.（2）計算，根據(jù)余弦定理得到，利用面積公式計算得到答案.【詳解】（1）由正弦定理，得，即，又，∴，∴.（2），∴，由余弦定理，得，即，∴.∴的面積為.【點睛】本題考查了正弦定理，余弦定理，面積公式，意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.18.已知各項均不為零的數(shù)列的前項和為，，.（1）求的通項公式；（2）若恒成立，求正整數(shù)的最大值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，當(dāng)時，求得，當(dāng)時，得到，兩式相減化簡求得，得到數(shù)列中奇數(shù)項和偶數(shù)項分別構(gòu)成等差數(shù)列，進而求得數(shù)列的通項公式；（2）由（1）求得，結(jié)合當(dāng)時，和當(dāng)時，，即可求解.【小問1詳解】 解：由題意，各項均不為零的數(shù)列的前項和為，滿足且，當(dāng)時，，解得，當(dāng)時，，兩式相減得，因為數(shù)列中各項均不為零，即.所以數(shù)列中奇數(shù)項是以為首項，2為公差的等差數(shù)列；偶數(shù)項是以為首項，2為公差的等差數(shù)列，當(dāng)時，，即；當(dāng)時，，即，綜上，數(shù)列的通項公式為.【小問2詳解】解：由（1）知數(shù)列是以1為首項，1為公差的等差數(shù)列，可得，因為，所以，當(dāng)時，，即不等式恒成立；當(dāng)時，.故正整數(shù)的最大值為.19.某省新課改后某校為預(yù)測2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況，從該校上一屆高三（1）班到高三（5）班隨機抽取50人，得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù)，并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計圖.（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖，估計本屆高三學(xué)生本科上線率.（2）已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬，假設(shè)以（1 ）中的本科上線率作為甲市每個考生本科上線的概率.（i）若從甲市隨機抽取10名高三學(xué)生，求恰有8名學(xué)生達(dá)到本科線的概率（結(jié)果精確到0.01）；（ii）已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬，假設(shè)該市每個考生本科上線率均為，若2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市，求p的取值范圍.可能用到的參考數(shù)據(jù)：取，.【答案】(1)60%；(2)（i）0.12（ii）【解析】【分析】（1）利用上線人數(shù)除以總?cè)藬?shù)求解；（2）（i）利用二項分布求解；（ii）甲、乙兩市上線人數(shù)分別記為X，Y，得，.，利用期望公式列不等式求解【詳解】（1）估計本科上線率為.（2）（i）記“恰有8名學(xué)生達(dá)到本科線”為事件A，由圖可知，甲市每個考生本科上線的概率為0.6，則.（ii）甲、乙兩市2020屆高考本科上線人數(shù)分別記為X，Y，依題意，可得，.因為2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市，所以，即，解得，又，故p的取值范圍為.【點睛】本題考查二項分布的綜合應(yīng)用，考查計算求解能力，注意二項分布與超幾何分布是易混淆的知識點.20.在中，，D是的中點，S是所在平面外一點，且.（1）求證：平面；（2）若，求證：平面.【答案】（1）證明見解析（2）證明見解析 【解析】【分析】（1），D為的中點得，由得，再由線面垂直的判斷定理可得答案；（2），D是的中點得，由（1）知，再由線面垂直的判斷定理可得平面.【小問1詳解】如圖，∵，D為的中點，∴，連接，在中，有，∵，為公共邊，∴，∴，∴，又，∴平面【小問2詳解】∵，D是的中點，∴，由（1）知，且，∴平面.21.已知函數(shù)與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱，（1）在數(shù)列中，，當(dāng)時，，在數(shù)列中，，，若點在函數(shù)的圖像上，求a的值.（2）在（1）的條件下，過點作傾斜角為的直線，若在y軸上的截距為，求數(shù)列的通項公式.【答案】（1）；（2）.【解析】 【分析】（1）先求出的反函數(shù)，代入，令，即得解；（2）點斜式表示直線的方程，通過截距為，可得，項和轉(zhuǎn)化，得到，結(jié)合（1）可得，即，列舉出，可猜想，利用數(shù)學(xué)歸納法，即得證【詳解】（1）因為函數(shù)是的反函數(shù)，則.因為點在函數(shù)的圖像上，所以.（*）令，得，，，則.（2）由（1）得，（*）式可化為.①直線的方程為：.因為在y軸上截距為，所以，結(jié)合①可得.②由①式可知，當(dāng)自然數(shù)時，，.兩式作差得，結(jié)合②式得.③在③式中，令，結(jié)合，可解得或2，又因為當(dāng)時，，所以.同理，③式中，依次令，，可解得，.由此猜想，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（i）當(dāng)，2，3時，已證成立；（ii）假設(shè)當(dāng)時命題成立，即，當(dāng)時，由③式可得， 把代入，解得或.由于，則，所以不符合題意，應(yīng)舍去，故只有，則當(dāng)時命題也成立.綜上可知，數(shù)列的通項公式為.22.已知.（1）求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意，不等式恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）增區(qū)間為，無減區(qū)間；（2）.【解析】【分析】（1）由解析式知定義域為，，令，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，進而判斷的單調(diào)區(qū)間；（2）法一：將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)并結(jié)合分類討論的方法研究的單調(diào)性，進而求的范圍；法二：將問題轉(zhuǎn)化為在上恒成立，令，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)與方程思想，結(jié)合分類討論的方法研究的單調(diào)性，求的范圍；法三：分離常量法得在上恒成立，令應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，求的范圍；【詳解】（1）由解析式知：的定義域為且，令，則∴當(dāng)時，；當(dāng)時，，∴在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，即，∴在上單調(diào)遞增，即的增區(qū)間為，無減區(qū)間.（2）解法1：直接求導(dǎo)，分類討論. 對任意，不等式恒成立等價于對任意，不等式恒成立.令，則，令，則，由知：，①當(dāng)，即時，即，即在上單調(diào)遞減，又，∴時，，即在上單調(diào)遞減，又，∴時，，符合題意.②若，即，當(dāng)時，，∴在單調(diào)遞增，即時，，故不恒成立，不合題意.③若，則恒成立，所以在單調(diào)遞增.∴時，，即在單調(diào)遞增，又時，，即恒成立，不合題意.綜上所述，的取值范圍是.解法2：對任意，不等式恒成立等價于對任意，恒成立.令，則，記，①當(dāng)時，，此時，在單調(diào)遞減，又，所以時，，即對任意，恒成立.②當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，又， 所以時，，即對任意，恒成立，不符合題意.③時，不等式化為，顯然不成立.④當(dāng)且時，方程的二根為，，若，，，則在單調(diào)遞增，又，所以時，，即不等式不恒成立；若，，則在單調(diào)遞增，又，所以時，，即不等式不恒成立.綜上所述，的取值范圍是.解法3：參數(shù)分離當(dāng)，對任意，不等式恒成立等價于對任意，恒成立.記，則，記，則，所以在單調(diào)遞減，又，所以，時，，即，所以在單調(diào)遞減.所以 ，綜上所述，的取值范圍是.【點睛】關(guān)鍵點點睛：（1）由解析式確定函數(shù)定義域，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究在某區(qū)間內(nèi)不等式恒成立，綜合應(yīng)用分類討論、函數(shù)與方程等思想，以及分離常量法結(jié)合極限思想，求參數(shù)范圍.