安徽省合肥市合肥卓越中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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安徽省合肥卓越中學(xué)2023-2024學(xué)年高二年級上學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷（考試總分：150分考試時長：120分鐘）一、單選題（本題共計8小題，總分40分）1.經(jīng)過兩點的直線的傾斜角為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線上任意兩點可求出斜率，從而求出傾斜角.【詳解】由題意得，所以直線的傾斜角為；故選：A2.以點為圓心，且與直線相切的圓的方程為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)給定條件，利用點到直線的距離公式求出圓的半徑即可得解.【詳解】由直線為圓的切線，得圓的半徑，所以所求圓的方程為.故選：A 3.已知，如果與為共線向量，則（　?。〢.1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由與為共線向量則求解即可.【詳解】因為與為共線向量，所以，即，解得，故選：D4.經(jīng)過兩條直線，的交點，且直線的一個方向向量的直線方程為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】聯(lián)立方程組求得兩直線的交點坐標(biāo)為，再由題意，得到，結(jié)合直線的點斜式方程，即可求解.【詳解】聯(lián)立方程組，解得，即兩直線的交點坐標(biāo)為，因為直線一個方向向量，可得所求直線的斜率為，所以所求直線方程為，即.故選：A.5.如圖，在正方體中，M，N分別為AB，B1C的中點，若AB＝a，則MN的長為（） A.aB.aC.aD.a【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量的基本定理，用，，表示，將線段長度問題轉(zhuǎn)換為向量模長問題.【詳解】設(shè)，，，則構(gòu)成空間的一個正交基底.，故，所以MN＝a.故選：A6.已知，則的最小值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】利用直線與圓的位置關(guān)系及兩點距離公式計算即可.【詳解】易知為圓上一點與直線上一點的距離的平方，易知圓心，半徑，點C到直線的距離，則. 故選：B7.在我國古代的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，塹堵指底面為直角三角形，且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱，鱉臑指的是四個面均為直角三角形的三棱錐.如圖，在塹堵中，，當(dāng)鱉臑的體積最大時，直線與平面所成角的正弦值為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】先根據(jù)鱉臑體積最大求出和的值，建系求出各點坐標(biāo)，利用向量即可求出直線與平面所成角的正弦值.【詳解】在塹堵中，，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)是等號成立，即當(dāng)鱉臑的體積最大時，， 以為原點，為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，設(shè)直線與平面所成角為，則，直線與平面所成角的正弦值為．故選：C．8.已知橢圓，為兩個焦點，O為原點，P為橢圓上一點，，則（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)橢圓的定義結(jié)合余弦定理求出的值，利用，根據(jù)向量模的計算即可求得答案. 【詳解】由題意橢圓，為兩個焦點，可得，則①，即，由余弦定理得，，故，②聯(lián)立①②，解得：，而，所以，即，故選：B【點睛】方法點睛：本題綜合考查了橢圓和向量知識的結(jié)合，解答時要注意到O為的中點，從而可以利用向量知識求解.二、多選題（本題共計4小題，總分20分）9.已知平面的一個法向量為，以下四個命題正確的有（）A.若直線的一個方向向量為，則B.若直線的一個方向向量為，則C.若平面的一個法向量為，則D.若平面的一個法向量為，則【答案】BD【解析】【分析】由，可判斷AB；由可判斷CD 【詳解】對于AB：平面的一個法向量為，直線的一個方向向量為，所以，所以與不垂直，又，所以，所以，故A錯誤，B正確；對于CD：平面的一個法向量為，平面的一個法向量為，，所以，所以，所以，故C錯誤，D正確；故選：BD10.已知方程，則下列說法正確的是（）A.當(dāng)時，表示圓心為的圓B.當(dāng)時，表示圓心為的圓C.當(dāng)時，表示的圓的半徑為D.當(dāng)時，表示的圓與軸相切【答案】BCD【解析】【分析】將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，結(jié)合選項，逐項判定，即可求解.【詳解】由題意，方程，可化為，可圓的圓心坐標(biāo)為，A中，當(dāng)時，此時半徑為，所以A錯誤；B中，當(dāng)時，此時半徑大于，表示圓心為的圓，所以B正確；C中，當(dāng)時，表示的圓的半徑為，所以C正確；D中，當(dāng)時，可得，方程表示的圓半徑為， 又圓心坐標(biāo)為，所以圓心到軸的距離等于半徑，所以圓與軸相切，所以D正確．故選：BCD.11.已知（a，）是直線l的方向向量，是平面的法向量，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則B.若，則C若，則D.若，則【答案】ACD【解析】【分析】選項A、B：根據(jù)求解；選項C、D：根據(jù)，向量的平行求解；【詳解】對于A，B，若則，所以，即，即，A正確，B錯誤；對于C、D，若，則，所以，即且，C、D正確.故選：ACD.12.如圖所示，一個底面半徑為的圓柱被與其底面所成的角為的平面所截，截面是一個橢圓，則（）A.橢圓的長軸長為4B.橢圓的離心率為 C.橢圓的方程可以為D.橢圓上的點到焦點的距離的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】結(jié)合圖象根據(jù)橢圓的長軸，短軸的幾何意義求橢圓的，由此判斷各選項.【詳解】設(shè)橢圓的長半軸長為，橢圓的長半軸長為，半焦距為，由圖象可得，∴，又，，∴，∴橢圓的長軸長為4，A對，橢圓的離心率為，B錯，圓的方程可以為，C對，橢圓上的點到焦點的距離的最小值為，D對，故選：ACD.三、填空題（本題共計4小題，總分20分）13.兩直線與平行，則它們之間的距離為__________．【答案】【解析】分析】根據(jù)給定條件，利用平行線間距離公式求解即得.【詳解】兩直線與平行，則，即，直線化為：，于是.所以所求距離為. 故答案為：14.圓與圓的公共弦長為__________.【答案】【解析】【分析】將兩圓方程作差可得出相交弦所在直線的方程，求出圓的圓心到相交弦所在直線的距離，利用勾股定理可求得相交弦長.【詳解】設(shè)圓與圓相交于，兩點，圓的半徑，將兩圓的方程相減可得，即兩圓的公共弦所在的直線方程為，又圓心到直線的距離，，所以，解得.故答案為：.15.如圖，平行六面體的底面是邊長為的正方形，且，，則線段的長為_____．【答案】【解析】【分析】以為基底表示出空間向量，利用向量數(shù)量積的定義和運算律求解得到，進(jìn)而得到的長.【詳解】 ，，即線段的長為.故答案為：.16.古希臘著名數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)：平面內(nèi)到兩個定點距離之比為定值（且）的點的軌跡是圓，此圓被稱為“阿氏圓”.在平面直角坐標(biāo)系中，點，滿足的動點的軌跡為，若在直線上存在點，在上存在兩點A、B，使得，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)求軌跡方程的步驟：1.設(shè)點的坐標(biāo)；2.找等量關(guān)系列方程；3.化簡.先求出動點的軌跡方程，然后根據(jù)題意要使在直線上存在點，在上存在兩點A、B，使得成立，則點到圓心的距離小于等于，利用點到直線的距離公式即可求解.【詳解】設(shè)，因為，，又因為，所以，化簡整理可得：，動點的軌跡是以為圓心，以2為半徑的圓，因為直線過定點，若在直線上存在點，在上存在兩點A、B，使得，由數(shù)形結(jié)合可知：當(dāng)A、B為圓的切點時點到圓心的距離達(dá)到最大，此時為，所以點到圓心的距離小于等于，也即，解之可得：，所以實數(shù)的取值范圍是，故答案為：.四、解答題（本題共計6小題，總分70分） 17.在平行四邊形ABCD中，，，，點E是線段BC的中點．（1）求直線CD的方程；（2）求過點A且與直線DE垂直的直線．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出點D的坐標(biāo)，再求出直線CD的方程作答.（2）求出點E坐標(biāo)及直線DE的斜率，再利用垂直關(guān)系求出直線方程作答.【小問1詳解】在平行四邊形ABCD中，，，，則，則點，直線CD的斜率，則有，即，所以直線CD的方程是.【小問2詳解】依題意，點，則直線DE的斜率，因此過點A且與直線DE垂直的直線斜率為，方程為，即，所以所求方程是.18.如圖，在正方體中，為的中點.（1）證明：直線平面；（2）求異面直線與所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析 （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)線線平行，結(jié)合線面平行的判定即可求證，（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量的夾角即可求解線線角.【小問1詳解】如圖，連接交于點，連接，由于為的中點，為的中點,則,又因為平面平面，所以平面【小問2詳解】以為原點，所在直線為軸?軸?軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為，則，所以，，設(shè)與所成角為,則 所以與所成角的余弦值為.19.已知圓的圓心坐標(biāo)，直線被圓截得弦長為．（1）求圓的方程；（2）從圓外一點向圓引切線，求切線方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）計算出圓心到直線的距離，利用勾股定理求出圓的半徑，由此可得出圓的方程；（2）對切線的斜率是否存在進(jìn)行分類討論，在第一種情況下，寫出切線方程，直接驗證即可；在第二種情況下，設(shè)出切線方程為，利用圓心到切線的距離等于圓的半徑，由此可得出所求切線的方程.小問1詳解】解：圓心到直線的距離為，所以，圓的半徑為，因此，圓的方程為.【小問2詳解】解：當(dāng)切線的斜率不存在時，則切線的方程為，且直線與圓相切，合乎題意；當(dāng)切線的斜率存在時，設(shè)切線方程為，即，由題意可得，解得，此時，切線的方程為.綜上所述，所求切線的方程為或.20.如圖，在四棱臺中，底面為矩形，平面平面，且. （1）證明：平面；（2）若，求平面與平面夾角的余弦值.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）連結(jié)，進(jìn)而利用勾股定理證明，結(jié)合題中條件利用線面垂直的判斷定理證明即可；（2）以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，計算即可.【小問1詳解】如圖，在梯形中，因為，作于，則，所以，所以，連結(jié)，由余弦定理可求得因為，所以，因為平面平面且交于，平面，所以平面因為平面，所以，因為，平面，所以平面. 【小問2詳解】連結(jié)，由（1）可知，平面，所以與平面所成的角為，即，在中，因為，所以因為，所以平面與平面是同一個平面.以為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則，所以設(shè)平面的法向量為，則有，,即，令，則，故由題意可知是平面的一個法向量所以，故平面與平面夾角的余弦夾角的值為. 21.如圖，相距14km兩個居民小區(qū)M和N位于河岸l（直線）的同側(cè)，M和N距離河岸分別為10km和8km．現(xiàn)要在河的小區(qū)一側(cè)選一地點P，在P處建一個生活污水處理站，從P排直線水管PM，PN分別到兩個小區(qū)和垂直于河岸的水管PQ，使小區(qū)污水經(jīng)處理后排入河道．設(shè)PQ段長為tkm（0