湖北省武漢市部分學(xué)校2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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2023~2024學(xué)年度武漢市部分學(xué)校高一年級第一學(xué)期期中調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷本試題卷共5頁，22題，全卷滿分150分.考試用時120分鐘.注意事項：1．答題前，先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在試卷和答題卡上，并將準(zhǔn)考證號條形碼粘貼在答題卡上的指定位置.2．選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.3．非選擇題的作答：用黑色簽字筆直接答在答題卡上對應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi).寫在試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.4．考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并上交一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.已知集合，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用并集的定義直接計算即可.【詳解】集合，，則.故選：A.2.設(shè)命題，，則為（）A.，B.，C.，D.，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系， 命題“，”的否定“，”.故選：A.3.已知函數(shù)的定義域為，則的定義域為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合抽象函數(shù)的定義域的求解方法，以及函數(shù)的解析式有意義，列出不等式組，即可求解.【詳解】由題意知，函數(shù)的定義域為，則函數(shù)滿足，解得或，即函數(shù)的定義域為.故選：C.4.不存在函數(shù)，滿足（）A.定義域相同，值域相同，但對應(yīng)關(guān)系不同B.值域相同，對應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同C.定義域相同，對應(yīng)關(guān)系相同，但值域不同D.定義域不同，對應(yīng)關(guān)系不同，但值域相同【答案】C【解析】【分析】對于ABD，舉例判斷，對于C，由兩函數(shù)相等的條件分析判斷.【詳解】對于A，如，滿足定義域相同，值域相同，但對應(yīng)關(guān)系不同，所以A錯誤，對于B，如，滿足值域相同，對應(yīng)關(guān)系相同，但定義域不同，所以B錯誤，對于C，當(dāng)兩函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)關(guān)系相同時，這兩函數(shù)為相同的函數(shù)，所以值域必相同， 所以不存在函數(shù)，滿足定義域相同，對應(yīng)關(guān)系相同，但值域不同，所以C正確，對于D，如，滿足定義域不同，對應(yīng)關(guān)系不同，但值域相同，所以D錯誤，故選：C5.設(shè)，已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】作差即可判斷.【詳解】時，，，故.故選：B6.已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間是增函數(shù)，且，則不等式的解集為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【詳解】由已知可得在上遞減，，然后畫出的簡圖，結(jié)合圖象求解不等式即可.【點(diǎn)睛】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在區(qū)間是增函數(shù)，所以在上遞減，因為，所以， 所以的簡圖如圖所示，由，得或，所以，或，解得，或，綜上，所以不等式的解集為，故選：A7.已知關(guān)于的不等式恰有四個整數(shù)解，則實數(shù)的取值范圍是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】化不等式為，分，和三種情況討論，求得不等式的解集，結(jié)合題意即可求解．【詳解】不等式，可化為，當(dāng)時，不等式的解集為空集，不合題意；當(dāng)時，不等式的解集為，要使不等式恰有四個整數(shù)解，則，當(dāng)時，不等式的解集為， 要使不等式恰有四個整數(shù)解，則，綜上可得，實數(shù)的取值范圍是．故選：C．8.定義函數(shù)為實數(shù)x的小數(shù)部分，為不超過x的最大整數(shù)，則（）A.的最小值為0，最大值為1B.在為增函數(shù)C.是奇函數(shù)D.滿足【答案】D【解析】【分析】首先注意到，使得，結(jié)合函數(shù)新定義先得到是周期為1的周期函數(shù)，由此可以依次判斷DBC選項，最后研究在上的最值情況即可.【詳解】對于D，因為，使得，此時，，這表明了，故D正確；對于B，首先，由D選項分析可知，，故B錯誤；對于C，由D選項分析可知，是周期為1的周期函數(shù)，所以，故C錯誤；對于A，由D選項分析得知，是周期為1的周期函數(shù)，所以只需研究它在上的最值情況即可，而當(dāng)時，，即的最小值為0，沒有最大值，故A錯誤.故選：D.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是注意到，使得，結(jié)合函數(shù)新定義得出是周期函數(shù).二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20 分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9.已知，則下列命題中正確的是（）A.若，，則B.若，，則C.若，則D.若，則【答案】AD【解析】【分析】用不等式的性質(zhì)可判斷A，取特值可判斷BC，用函數(shù)增減性可判斷D.【詳解】用不等式的性質(zhì)可判斷A正確；B錯誤：若，則；C錯誤：若，則；D正確：時遞增，故時，.故選：AD.10.已知函數(shù)，則（）A.是偶函數(shù)B.在區(qū)間單調(diào)遞增C.的值域為D【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性定義可判斷；根據(jù)函數(shù)奇偶性性質(zhì)結(jié)合單調(diào)性可判斷；根據(jù)偶函數(shù)和冪函數(shù)性質(zhì)可判斷.【詳解】對于，因為函數(shù)的定義域為，且，所以是偶函數(shù)，故正確；對于，因為是定義在上的偶函數(shù)，所以在上單調(diào)性與在 上單調(diào)性相反，當(dāng)時，，而在單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞減，故錯誤；對于，，當(dāng)時，的值域為，因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以的值域為，故正確；對于，因為函數(shù)是偶函數(shù)，所以，因為，所以，所以,因為在單調(diào)遞增，所以，故正確.故選：.11.已知定義在的函數(shù)滿足：當(dāng)時，恒有，則（）A.B.函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)C.函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)D.【答案】BD【解析】【分析】令可判斷A；不妨設(shè)，可得，即，即可判斷B；結(jié)合選項B，可取判斷C；結(jié)合選項B及不等式的性質(zhì)判斷D.【詳解】令，則有，即，故A錯誤；不妨設(shè)，由，可得， ∴，∴函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，故B正確；由選項B可知，函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，可取，此時在區(qū)間為增函數(shù)，而，可知函數(shù)在上為減函數(shù)，在上為增函數(shù)，故C錯誤；∵函數(shù)在區(qū)間為增函數(shù)，，∴，∴，∴，故D正確.故選：BD.12.已知x，y均為正實數(shù)，則（）A.的最大值為B.若，則的最大值為8C.若，則的最小值為D.若，則的最小值為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合基本不等式，可判定A、C正確，B錯誤，再由，化簡得到 ，得出，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，可判定D正確.【詳解】A中，因為，可得，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以，即的最大值為，所以A正確；B中，由，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以的最小值為，所以B不正確；C中，若，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以C正確；D中，由，可得，則，令，則，又由，所以當(dāng)，可得，所以，所以D正確.故選：ACD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知“”是“”的必要不充分條件，則實數(shù)m的取值范圍為________．【答案】【解析】【分析】分別把不等式表示為集合形式，將必要不充分條件轉(zhuǎn)化為集合間的真包含關(guān)系，從而得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，， 因為“”是“”的必要不充分條件，所以ü，所以，故答案為：.14.寫出一個定義域為，值域為的函數(shù)________．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】結(jié)合反比例函數(shù)模型得到定義域為，值域為的函數(shù)解析式.【詳解】因為定義域為，值域為，關(guān)于對稱，所以函數(shù)定義域為，值域為，結(jié)合反比例函數(shù)模型可得，故答案為：（答案不唯一）15.某學(xué)校高一年級一班48名同學(xué)全部參加語文和英語書面表達(dá)寫作比賽，根據(jù)作品質(zhì)量評定為優(yōu)秀和合格兩個等級，結(jié)果如下：優(yōu)秀合格合計語文202848英語301848若在兩項比賽中都評定為合格的學(xué)生最多為10人，則在兩項比賽中都評定為優(yōu)秀的同學(xué)最多為________人．【答案】12【解析】【分析】設(shè)集合表示語文寫作優(yōu)秀的學(xué)生，集合表示英語書面表達(dá)優(yōu)秀的學(xué)生，全班學(xué)生用集合表示.利用可得出答案.【詳解】設(shè)集合表示語文寫作優(yōu)秀的學(xué)生，集合表示英語書面表達(dá)優(yōu)秀的學(xué)生，全班學(xué)生用集合表示.則表示語文寫作合格的學(xué)生，表示英語書面表達(dá)合格的學(xué)生，作出圖. 如圖，設(shè)兩項寫作都優(yōu)秀的人數(shù)為，兩項寫作都合格的人數(shù)為.由圖可得,即因為，所以，即兩個項目中都優(yōu)秀的同學(xué)最多為12.故答案為：12.16.已知函數(shù)的定義域為，滿足，的圖象關(guān)于直線對稱，且，則______；______.附注：.【答案】①.②.【解析】【分析】根據(jù)已知可得的圖象關(guān)于對稱、關(guān)于直線對稱，利用對稱性可得的周期，結(jié)合已知條件和周期即可求和.【詳解】因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱，且；又的圖象關(guān)于直線對稱，所以的圖象關(guān)于直線對稱，即為偶函數(shù)，所以，所以以4為周期，所以，，，，所以，因為，所以，同理，，，，，所以. 所以.故答案為：；【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：根據(jù)函數(shù)的對稱性得函數(shù)的周期，從而利用周期和對稱性求和是解決本題的關(guān)鍵.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.已知集合，．（1）當(dāng)時，求集合；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）（2）或．【解析】【分析】（1）由補(bǔ)集的定義即可得出答案；（2）由，得，討論和，列出不等式求得結(jié)果.【小問1詳解】集合，當(dāng)時，，所以．小問2詳解】由，得．①當(dāng)時，則有，解得：，符合題意；②當(dāng)時，則有，解得：．綜合①②可得：實數(shù)的取值范圍為或．18.已知函數(shù)．（1）證明：函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減；（2）若是奇函數(shù)，其定義域為，當(dāng)時，，求時，的解析式，并求的最大值和最小值．【答案】（1）證明見解析 （2），最大值為，最小值為．【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義和判定方法，即可求解；（2）根據(jù)結(jié)合函數(shù)是奇函數(shù)，結(jié)合題意，求得函數(shù)的解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性和對稱性，即可求解.【小問1詳解】證明：任取，且，則，因為，可得，，所以，即．所以在上單調(diào)遞減．【小問2詳解】解：當(dāng)時，，因為是奇函數(shù)，額的，所以，由（1）知，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，，又因為是奇函數(shù)，則且當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以．綜上可知，的最大值為2，最小值為．19.已知x，y都是正數(shù)，且．（1）求的最小值；（2）已知不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】（1）9（2）．【解析】 【分析】（1）應(yīng)用基本不等式“1”的代換求目標(biāo)式的最小值，并確定取值條件.（2）將問題化為恒成立，利用基本不等式求右側(cè)的最小值，即可得參數(shù)范圍.【小問1詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)即時取等號，此時的最小值為9．【小問2詳解】解法一：由題意知的最小值．因為，，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，等號成立．所以．解法二：由，得，又恒成立，所以的最小值，因為，當(dāng)且僅當(dāng)，且，即，時等號成立．所以．20.如圖1，腰長為的等腰直角與矩形DEFG夾在兩條平行直線之間，其中B點(diǎn)與D 點(diǎn)重合．若矩形DEFG位置固定不動，而以的速度向右平行移動，移動過程中兩圖形重疊部分的面積記為，函數(shù)的部分圖象如圖2所示，其中的函數(shù)圖像被遮住，由虛線代替．（1）求函數(shù)的解析式；（2）求重疊部分的面積不小于的持續(xù)時間．【答案】（1）（2）3秒【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，求得，結(jié)合圖象，分段求解，即求得函數(shù)的解析式；（2）由（1）中，函數(shù)的解析式，結(jié)合，分段求解，即可得到答案.【小問1詳解】解：依題意得，DE的長應(yīng)為B與D重合至B與E重合時運(yùn)動路程，故．當(dāng)，；當(dāng)，；當(dāng)，；當(dāng)，， 所以.【小問2詳解】解：若，結(jié)合函數(shù)的解析式，只需考慮，當(dāng)時，由，解得；當(dāng)時，由成立；當(dāng)時，由，解得，所以重疊部分的面積不小于的時間區(qū)間為，持續(xù)時間為3秒.21.已知函數(shù)．（1）若函數(shù)的圖象與x軸有兩個不同的交點(diǎn)，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞減，且對任意，，都有，求實數(shù)m的取值范圍．【答案】（1）或；（2）．【解析】【分析】（1）由判別式大于0可得；（2）由二次函數(shù)性質(zhì)首先求得，然后求得在上的最大值和最小值，由得結(jié)論．【小問1詳解】由題意可知方程有兩個不相等的實數(shù)根，，所以，解得或，所以m的取值范圍是或；【小問2詳解】 因為函數(shù)在是減函數(shù)，其對稱軸為，所以，即．因為對任意的，，總有，所以要使成立，則必有．因為在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，且，所以，，所以，即，解得．所以，實數(shù)m的取值范圍是．22.已知函數(shù)，．（1）對任意，，求實數(shù)x的取值范圍；（2）設(shè)，記的最小值為，求的最小值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解法1：由已知可得恒成立．分，，三種情況，分離常數(shù)，結(jié)合的范圍，列出不等式求解，即可得出答案；解法2：由，可將函數(shù)看為關(guān)于的一次函數(shù)，列出不等式組，求解即可得出答案；（2）代入可得．分，，三種情況，去絕對值，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)，得出的單調(diào)性，進(jìn)而得出最小值，求出的表達(dá)式.分段求解得出范圍，即可得出答案.【小問1詳解】 解法1：因為，對任意，，所以恒成立．當(dāng)時，恒成立，即，解得，所以；當(dāng)時，，顯然成立；當(dāng)時，恒成立，即，解得，所以．綜上所述，x的取值范圍為．解法2：因為對任意，，所以，解得；且，解得．所以x的取值范圍為．小問2詳解】由題意可知，．①當(dāng)時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.函數(shù)的最小值為；②當(dāng)時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.所以，函數(shù)的最小值為； ③當(dāng)時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，可知函數(shù)在單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.故函數(shù)的最小值為.綜上所述，.所以，當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，此時；當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，此時；當(dāng)時，函數(shù)的最小值為，此時．綜上所述，的最小值為．