安徽省黃山市八校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)Word版含解析.docx

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“八校聯(lián)盟”2023-2024學(xué)年度高二第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題（考試時(shí)間：120分鐘滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填涂在答題卡上．2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)．寫在試卷上無效．3．非選擇題必須用0.5毫米黑色簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)的位置；如需改動(dòng)，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不能使用涂改液、膠帶紙、修正帶．不按以上要求作答的答案無效．一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1.設(shè)點(diǎn)關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱點(diǎn)是B，則等于（）A.6B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用空間兩點(diǎn)間距離公式，結(jié)合對(duì)稱的性質(zhì)計(jì)算即得.【詳解】令坐標(biāo)原點(diǎn)為，依題意，.故選：C2.設(shè)為定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)滿足，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡是（）A.線段B.直線C.圓D.橢圓【答案】A【解析】【分析】對(duì)的位置分類討論即可求解.【詳解】若在直線外，由三角形兩邊長(zhǎng)大于第三邊有，不合題意，故必在直線上，若在線段外，也有，不合題意，故必在線段上，且總有，故選：A. 3.已知直線l的一個(gè)方向向量為，直線l的傾斜角為，則的值為（）A.B.0C.D.2【答案】A【解析】【分析】根據(jù)直線方向向量得出直線斜率，再由同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求解.【詳解】因?yàn)橹本€l的一個(gè)方向向量為，直線l的傾斜角為，所以，所以，故選：A4.設(shè)，則是直線與直線平行的（）A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】將代入直線方程，判斷充分性；由直線平行的依據(jù)判斷必要性.【詳解】充分性：當(dāng)時(shí)，直線，直線.顯然，兩直線斜率相等，故兩直線平行，充分性成立.必要性：若兩直線平行，則有即，解得或，經(jīng)檢驗(yàn)兩直線不重合，顯然，必要性不成立.故選：B【點(diǎn)睛】5.已知點(diǎn)D在△ABC確定的平面內(nèi)，O是平面ABC外任意一點(diǎn)，實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值為（）A.B.C.1D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)空間四點(diǎn)共面及二次函數(shù)的最值求解. 【詳解】因?yàn)?，且四點(diǎn)共面，由空間四點(diǎn)共面的性質(zhì)可知，即，所以，所以當(dāng)時(shí)，有最小值.故選：D6.已知P是直線l：上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A、B，則四邊形PACB的外接圓的面積的最小值為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合圖像給出外接圓的表達(dá)式即可求解.【詳解】如圖，由知四邊形的外接圓以為直徑，故面積，而最小值為點(diǎn)到的距離，故，故選：B 7.已知矩形的四個(gè)頂點(diǎn)都在橢圓上，邊和分別經(jīng)過橢圓的左、右焦點(diǎn)，且，則該橢圓的離心率（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意可得，由條件建立方程求解即可.【詳解】由橢圓方程，當(dāng)時(shí)，，所以，因?yàn)椋?，即，所以，解得或（舍去），故選：A8. 《九章算術(shù)》是我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著．書中將底面為矩形，且有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱錐稱為陽(yáng)馬．如圖，在陽(yáng)馬中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是矩形，E、F分別為PD，PB的中點(diǎn)，，，，若AG⊥平面EFC，則=（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)法向量的求法可求得平面的法向量，由可求得結(jié)果.【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，??設(shè)，則，，，，，，，，，設(shè)平面的法向量，則，令，解得，， ，，又平面，，，解得.故選：C.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9.下列說法正確的是（）A.點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為B.過，兩點(diǎn)的直線方程為C.經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線方程為D.直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積是2【答案】AD【解析】【分析】利用點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱知識(shí)判斷A的正誤；運(yùn)用直線的兩點(diǎn)式方程判斷B的正誤；利用直線的截距相等可判斷C的正誤；求出直線在兩坐標(biāo)軸上的截距可得到三角形的面積判斷D的正誤；【詳解】對(duì)于A，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，即對(duì)稱點(diǎn)為，A正確；對(duì)于B，兩點(diǎn)式使用前提是，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，經(jīng)過點(diǎn)且在軸和軸上截距都相等的直線也可以為過原點(diǎn)，即，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，直線與兩坐標(biāo)軸交點(diǎn)分別為，則與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積，故D正確； 故選：AD10.如圖，直三棱柱中，，，D、E分別為、的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A.∥B.直線DE與平面所成角的正弦值為C.平面與平面ABC夾角的余弦值為D.DE與所成角為【答案】BC【解析】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量逐項(xiàng)分析判斷.【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，對(duì)于選項(xiàng)A：可得，因?yàn)椋芍c不平行，所以與不平行，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：可得， 設(shè)平面的法向量，則，令，則，可得，則，所以直線DE與平面所成角的正弦值為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)C：可得平面ABC的法向量，則，所以平面與平面ABC夾角的余弦值為，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：因?yàn)?，可得，則DE與所成角的余弦值為，所以DE與所成角不為，故D錯(cuò)誤；故選：BC.11.已知為圓錐底面圓的直徑，，，點(diǎn)為圓上異于的一點(diǎn)，為線段上的動(dòng)點(diǎn)（異于端點(diǎn)），則（）A.直線與平面所成角的最大值為B.圓錐內(nèi)切球的體積為C.棱長(zhǎng)為的正四面體可以放在圓錐內(nèi)D.當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，滿足的點(diǎn)有2個(gè)【答案】AC【解析】【分析】A：根據(jù)線面垂直得到線面角，然后結(jié)合三角函數(shù)以及線段長(zhǎng)度分析角的最大值；B：根據(jù)幾何體的軸截面圖進(jìn)行分析計(jì)算；C：先考慮將正四面體補(bǔ)形為正方體，然后根據(jù)正方體的外接球以及B 選項(xiàng)的結(jié)果進(jìn)行判斷；D：假設(shè)成立，通過線面垂直推導(dǎo)線線垂直并逐步推出矛盾.【詳解】A：過作交于點(diǎn)，連接，如下圖所示：因?yàn)閳A錐底面，所以，又因?yàn)?，，平面，所以平面，所以與平面所成角即為，且，又，所以，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)位于的中點(diǎn)處時(shí)取等號(hào)，所以，所以直線與平面所成角的最大值為，故正確；B：根據(jù)題意可得軸截面如下圖所示，設(shè)內(nèi)切球的球心為，半徑為，因?yàn)?，所以為等邊三角形，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以?所以內(nèi)切球的體積為，故錯(cuò)誤；C：將棱長(zhǎng)為的正四面體補(bǔ)形為正方體，如下圖所示：由圖可知正方體的棱長(zhǎng)為，此正方體的外接球的半徑等于，所以正四面體可以在半徑為的球內(nèi)任意轉(zhuǎn)動(dòng)，由B選項(xiàng)的結(jié)果可知，棱長(zhǎng)為的正四面體可以放在圓錐內(nèi)，故正確;D：當(dāng)為的中點(diǎn)時(shí)，如下圖:因?yàn)榈冗吶切?，所以，又因?yàn)椋?，平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，又因?yàn)閳A錐底面，所以，且相交，平面，所以平面， 因?yàn)槠矫?，所以，這顯然不成立，所以滿足的點(diǎn)不存在，故錯(cuò)誤；故選：AC.12.如圖所示．已知橢圓方程為，F(xiàn)1、F2為左右焦點(diǎn)，下列命題正確的是（）A.P為橢圓上一點(diǎn)，線段PF1中點(diǎn)為Q，則為定值B.直線與橢圓交于R，S兩點(diǎn)，A是橢圓上異與R，S的點(diǎn)，且、均存在，則C.若橢圓上存在一點(diǎn)M使，則橢圓離心率的取值范圍是D.四邊形為橢圓內(nèi)接矩形，則其面積最大值為2ab【答案】ACD【解析】【分析】利用橢圓的定義、直線斜率公式、離心率公式，結(jié)合橢圓和矩形的對(duì)稱性、基本不等式、余弦定理逐一判斷即可.【詳解】A：連接，由橢圓的定義可知，線段中點(diǎn)為Q，所以，于是有，所以本選項(xiàng)命題正確；B：直線與橢圓交于R，S兩點(diǎn)，因?yàn)橹本€經(jīng)過原點(diǎn)，而橢圓是關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形，所以R，S兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，不妨設(shè)，，， 因?yàn)锳是橢圓上異與R的點(diǎn)，所以有，兩個(gè)式相減，得，因此，所以本選項(xiàng)命題是假命題；C：橢圓上存在一點(diǎn)M使，由余弦定理可知：，即，即，而，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即M為上（下）頂點(diǎn)時(shí)取等號(hào)，而，所以，因此本選項(xiàng)命題是真命題；D：因?yàn)榫匦魏驮摍E圓的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心相同，所以設(shè)矩形在第一象限的頂點(diǎn)為，即，所以矩形的面積為，因?yàn)椋?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)時(shí)取等號(hào)，因此本選項(xiàng)命題真命題，故選：ACD 【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是利用橢圓的定義、橢圓和矩形的對(duì)稱性、基本不等式進(jìn)行求解.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量的概念計(jì)算即可得解.【詳解】向量在向量上的投影向量為：.故答案為：14.已知P為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)到P點(diǎn)的距離的最大值為_________．【答案】8【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)的軌跡為圓，由圓的幾何性質(zhì)，求利用兩圓上兩點(diǎn)間的距離的最大值.【詳解】由知圓心為，半徑為，又，所以點(diǎn)的軌跡方程為，則圓心為，半徑，故，所以. 故答案為：815.若關(guān)于的不等式的解集是，則值是________．【答案】2【解析】【分析】將給定不等式等價(jià)轉(zhuǎn)化構(gòu)造函數(shù)，再借助幾何圖形及給定解集確定直線過的點(diǎn)即得.【詳解】不等式，令，即表示以點(diǎn)為圓心，1為半徑的圓在x軸及上方的半圓，表示過定點(diǎn)的直線，因此不等式的解集是，等價(jià)于半圓在直線及上方時(shí)，的取值集合恰為，觀察圖象得直線恰過點(diǎn)，則有，所以.故答案為：216.半徑為R的球面上有A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，，則的最大值為_______【答案】【解析】【分析】由題意可求出間距離的最大值，結(jié)合棱錐體積確定當(dāng)平面時(shí)取最大值，從而利用棱錐體積公式求得答案.【詳解】由題意知半徑為R的球面上有A、B、C、D四個(gè)點(diǎn)，， 設(shè)球心為O，則O到AB的距離為，到CD的距離為，則間距離的最大值為，此時(shí)位于O點(diǎn)兩側(cè)，所在的小圓面平行時(shí)，間距離最大；設(shè)M為AB上一點(diǎn)，則的面積的最大值為，設(shè)到平面的距離為，而，則，當(dāng)平面時(shí)取等號(hào)，即當(dāng)平面時(shí)，取到最大值，最大值為，故答案為：四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.如圖，三棱錐中，點(diǎn)D、E分別為和的中點(diǎn)，設(shè)，，．（1）試用，，表示向量； （2）若，，求異面直線AE與CD所成角的余弦值．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量的運(yùn)算即可求得答案；（2）根據(jù)空間向量的數(shù)量積的運(yùn)算律求出，的模，以及二者的數(shù)量積，根據(jù)向量的夾角公式即可求得答案.【小問1詳解】；【小問2詳解】由題意可知：，，故，，故，，，則 ，，由于異面直線和所成角范圍大于小于等于，∴異面直線和所成角的余弦值為．18.已知直線．（1）若直線l不經(jīng)過第二象限，求k的取值范圍．（2）若直線l與x軸、y軸正半軸分別交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)△AOB的面積為時(shí)（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），求此時(shí)相應(yīng)的直線l的方程．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）首先確定直線過定點(diǎn)，再根據(jù)條件，求斜率的取值范圍；（2）首先分別求直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，并表示的面積，即可求直線的斜率和方程.【小問1詳解】由題意可知直線，易知直線過定點(diǎn)，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，可得，當(dāng)時(shí)，直線不經(jīng)過第二象限．【小問2詳解】由題意可知∵直線與軸、軸正半軸的交點(diǎn)分別是，， 當(dāng)時(shí)，由得：，即：，或，即：直線的方程為或.19.如圖，與都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，平面平面，平面且．（1）證明：平面.（2）求平面與平面的夾角的大?。敬鸢浮浚?）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，利用面面垂直、線面垂直，以及線段長(zhǎng)度求證線面垂直即可.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面與平面的法向量，進(jìn)而求出其夾角大小即可.【小問1詳解】 取中點(diǎn)，連接都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，，，又，面，面，面，又平面平面，面且又面且，，，是正方形，又，平面，平面，平面【小問2詳解】由（1）知兩兩垂直，如圖建立空間直角坐標(biāo)系由于軸垂直面∴平面的法向量為又，，，設(shè)平面的法向量， 則，令，則，，所以∴平面與平面的夾角為20.已知定點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．（1）求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程（2）若點(diǎn)B為直線上一點(diǎn)，過點(diǎn)B作圓M的切線，切點(diǎn)分別為C、D，若，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示列式，化簡(jiǎn)即得.（2）利用圓的切線性質(zhì)，結(jié)合兩點(diǎn)間的距離公式，列出方程組求解即得.【小問1詳解】依題意，，，即，所以的軌跡方程為.【小問2詳解】 由點(diǎn)為直線上一點(diǎn)，又分別與圓相切于點(diǎn)，得，而，則有四邊形為矩形，又，因此四邊形為正方形，由（1）知，，則，設(shè)，則，解得或，所以點(diǎn)的坐標(biāo)為或.21.如圖，在五面體中，底面為正方形，側(cè)面為等腰梯形，二面角為直二面角，.（1）求點(diǎn)到平面距離；（2）設(shè)點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)滿足，若直線與平面及平面所成的角相等，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）作出輔助線，由面面垂直得到線面垂直，得到點(diǎn)到平面的距離即為的長(zhǎng)，由勾股定理求出答案； （2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，由直線與平面及平面所成的角相等列出方程，求出的值.【小問1詳解】如圖，過點(diǎn)作⊥于點(diǎn)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，連接.因二面角為直二面角，所以平面平面，又平面平面平面，所以平面，所以點(diǎn)到平面的距離即為的長(zhǎng)，因?yàn)槠矫妫?，因?yàn)樗倪呅螢榈妊菪?，，所以，故，，因?yàn)椋晒垂啥ɡ淼?，又，由勾股定理得，即點(diǎn)到平面的距離為.【小問2詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以所在直線分別為軸，過點(diǎn)作平面的垂線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.則，由，得..設(shè)平面的法向量為，由， 由，解得，令，得，故，又易知平面的一個(gè)法向量為.設(shè)直線與平面所成角為，與平面所成角為，則，∴，整理得，由，得.22.橢圓的左右焦點(diǎn)分別為、，短軸端點(diǎn)分別為、．若四邊形為正方形，且．（1）求橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若、分別是橢圓長(zhǎng)軸左、右端點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足，點(diǎn)在橢圓上，且滿足，求證定值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）；（3）在（2）條件下，試問在軸上是否存在異于點(diǎn)的定點(diǎn)，使，若存在，求坐標(biāo)，若不存在，說明理由．【答案】（1）（2）證明見解析（3）存在；【解析】【分析】（1）依題可得且，即可求出、、，從而得解； （2）設(shè)方程為，聯(lián)立直線與橢圓方程，求出交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，由，可得、、三點(diǎn)共線，即可得到點(diǎn)坐標(biāo)，由，可得，即，從而求出點(diǎn)坐標(biāo)，即可求出的值.（3）設(shè)，表示出，，根據(jù)斜率之積為求出即可.【小問1詳解】依題可得且，又，，，故橢圓方程為.【小問2詳解】依題意的斜率存在，設(shè)方程為，聯(lián)立方程組可得，解得、，即，，，、、三點(diǎn)共線．，又由，，即，所以，所以，∴聯(lián)立方程組解得，所以，所以，， 所以（為定值）..【小問3詳解】設(shè)，則，，，得，故，即存在一點(diǎn)滿足條件．.