浙江省杭州市學(xué)軍中學(xué)2021-2022學(xué)年高二上學(xué)期期中數(shù)學(xué)Word版含解析

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杭州學(xué)軍中學(xué)2021-2022學(xué)年高二第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試卷時(shí)限：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．直線的傾斜角是（????）A．B．C．D．2．若?是兩條不同的直線，??是三個(gè)不同的平面，則下列命題中為真命題的是（????）A．若，，則B．若，，，則C．若，，則D．若，，則3．如果直線(2a+5)x+(a－2)y+4=0與直線(2－a)x+(a+3)y－1=0互相垂直，則a的值等于（????）A．2B．－2C．2,－2D．2,0,－24．已知，，且，則向量與的夾角為（????）A．B．C．D．5．已知點(diǎn)、，若線段的垂直平分線的方程是，則實(shí)數(shù)的值是（????）A．B．C．D．6．直線與曲線有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則的取值范圍是A．或B．或C．D．7．在正方體中，和的中點(diǎn)分別為M，N.如圖，若以A，M，N所確定的平面將正方體截為兩個(gè)部分，則所得截面的形狀為（????）A．六邊形B．五邊形C．四邊形D．三角形8．橢圓的右焦點(diǎn)為，過(guò)點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，若，，則橢圓的離心率為A．B．C．D．

1二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分．9．設(shè)直線系：，則下面四個(gè)命題正確的是（????）A．點(diǎn)到中的所有直線的距離恒為定值B．存在定點(diǎn)不在中的任意一條直線上C．對(duì)于任意整數(shù)，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上D．中的直線所能圍成的正三角形面積都相等10．已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別是，，左、右頂點(diǎn)分別是，，點(diǎn)是橢圓上異于，的任意一點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（????）A．B．直線與直線的斜率之積為C．存在點(diǎn)滿足D．若的面積為，則點(diǎn)的橫坐標(biāo)為11．如圖所示，在四棱錐中，底面是邊長(zhǎng)為的正方形，是正三角形，為線段的中點(diǎn)，點(diǎn)為底面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A．若時(shí)，平面平面B．若時(shí)，直線與平面所成的角的正弦值為C．若直線和異面時(shí)，點(diǎn)不可能為底面的中心D．若平面平面，且點(diǎn)為底面的中心時(shí)，12．已知?是橢圓的左?右焦點(diǎn)，，橢圓上（異于頂點(diǎn)）的點(diǎn)滿足，則下列選項(xiàng)正確的有（????）A．直線必定與橢圓相切B．三角形與三角形面積之和為定值6C．三角形與三角形面積之和為定值6D．點(diǎn)?到直線的距離相等三、填空題：本題共4小題，每小題5分，滿分20分．13．若直線：與直線：平行，則直線與之間的距離為___________.

214．已知直線：，則動(dòng)直線被圓截得的弦長(zhǎng)最短為___________.15．如圖，已知分別是正方形的邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將正方形沿折成的二面角，則異面直線與所成角的余弦值是_______．16．已知斜率不為0的直線過(guò)橢圓：的左焦點(diǎn)且交橢圓于兩點(diǎn)，軸上的點(diǎn)滿足，則的取值范圍是___________.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17．已知中，角所對(duì)的邊分別為，且（1）求角C的大??；（2）求的取值范圍．18．如圖，已知三棱錐中，平面平面，，，．（1）證明：；（2）求直線和平面所成角的正弦值．19．已知是圓上一點(diǎn)，，，其中．（1）若直線與圓相切，求直線的方程：（2）若存在兩個(gè)點(diǎn)使得，求實(shí)數(shù)的取值范圍．20．如圖，在中，，，，將繞邊翻轉(zhuǎn)至，使面面，是的中點(diǎn).

3(1)求二面角的平面角的余弦值；(2)設(shè)是線段上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)與所成角取得最小值時(shí)，求線段的長(zhǎng)度.21．設(shè)是坐標(biāo)原點(diǎn)，以、為焦點(diǎn)的橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，以為直徑的圓和恰好有兩個(gè)交點(diǎn).（1）求的方程；（2）是外的一點(diǎn)，過(guò)的直線、均與相切，且、的斜率之積為，記為的最小值，求的取值范圍.

4參考答案：1．B【分析】求出直線斜率，即可得出傾斜角.【詳解】因?yàn)橹本€的斜率為，所以傾斜角為.故選：B.2．D【分析】ABC可以畫出相應(yīng)的圖形進(jìn)行判斷；D選項(xiàng)用面面垂直的判定定理判斷【詳解】A選項(xiàng)，如圖所示，當(dāng)，時(shí)，與存在三種關(guān)系，∥，或與相交，顯然A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)：若，，，則與存在兩種關(guān)系或與相交；故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：若，，則與存在兩種關(guān)系或與相交；故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)：面面垂直的判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直，可知D選項(xiàng)正確故選：D3．C【詳解】(2a＋5)(2－a)＋(a－2)(a＋3)＝0，所以a＝2或a＝－2.4．A【分析】先由求出，再利用空間向量的夾角公式求解即可【詳解】設(shè)向量與的夾角為，因?yàn)?，，且，所以，得，所以，所以，因?yàn)?，所以，故選：A5．C【分析】分析可知，直線的斜率為，且線段的中點(diǎn)在直線上，可列出關(guān)于實(shí)數(shù)

5的等式組，由此可得出關(guān)于實(shí)數(shù)的值.【詳解】由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，得線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，直線的斜率為，由題意知，直線的斜率為，所以，，解得.故選：C.6．A【解析】把曲線方程整理后可知其圖象為半圓，畫出圖象，要使直線與曲線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，從圖上看出其三個(gè)極端情況分別是：直線在第四象限與曲線相切，交曲線于和另一個(gè)點(diǎn)，及與曲線交于點(diǎn)，分別求出，則的范圍可得．【詳解】解：曲線有即，表示一個(gè)半圓（單位圓位于軸及軸右側(cè)的部分），如圖，設(shè)、、，當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，求得，此時(shí)只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意；當(dāng)直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)、點(diǎn)時(shí)，，求得，此時(shí)有2個(gè)公共點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)直線和半圓相切時(shí)，由圓心到直線的距離等于半徑，可得，求得或（舍去），即：時(shí)，只有一個(gè)公共點(diǎn)，符合題意，綜上得，實(shí)數(shù)的范圍為或，故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，對(duì)于此類問題除了用聯(lián)立方程轉(zhuǎn)化為方程的根的問題之外，可用數(shù)形結(jié)合的方法較為直觀.7．B

6【分析】根據(jù)平面的性質(zhì)，延長(zhǎng)線段到正方體的表面，找到平面與正方體棱的交點(diǎn)，連接起來(lái)即可判斷.【詳解】如圖，延長(zhǎng)相交于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)，與相交于點(diǎn)，與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)，連接，與相交于點(diǎn)，連接，則五邊形即為截面.故選：B.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面的基本性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.8．C【分析】作另一焦點(diǎn)為，連接，，根據(jù)平面幾何知識(shí)得出三角形為等腰直角三角形，設(shè)，根據(jù)橢圓的定義以及勾股定理，構(gòu)造齊次方程，即可得出離心率.【詳解】作另一焦點(diǎn)為，連接，，則四邊形為平行四邊形，且，則三角形為等腰直角三角形設(shè)，則，即在三角形中，由勾股定理得則，即故選：C

7【點(diǎn)睛】本題主要考查了構(gòu)造齊次方程求橢圓的離心率，屬于中檔題.9．ABC【分析】先利用點(diǎn)到直線的距離公式得出直線系：表示的是圓的切線的集合，這樣ABC選項(xiàng)能直接判斷；D選項(xiàng)需要數(shù)形結(jié)合判斷【詳解】點(diǎn)到中的直線的距離設(shè)為d，則為定值，故直線系：表示圓的切線的集合.顯然選項(xiàng)A正確；一定不在中的任意一條直線上，B選項(xiàng)正確；由于圓的所有外切正多邊形的邊都是圓的切線，所以對(duì)于任意整數(shù)，存在正邊形，其所有邊均在中的直線上，C選項(xiàng)正確；如圖所示，中的直線所能圍成的正三角形有兩類，一種是圓的外切三角形，如△ADE，此類三角形面積均相等，另一種是在圓的同一側(cè)，如△ABC，這類三角形面積也相等，但兩類三角形面積不等，故D選項(xiàng)不正確.故選：ABC10．BD【分析】根據(jù)橢圓的定義判斷A，設(shè)，計(jì)算斜率之積，判斷B，求出當(dāng)是短軸端點(diǎn)時(shí)的后可判斷C，由三角形面積求得點(diǎn)坐標(biāo)后可判斷D．【詳解】由題意，，，，，短軸一個(gè)頂點(diǎn)，，A錯(cuò)；

8設(shè)，則，，所以，B正確；因?yàn)?，所以，從而，而是橢圓上任一點(diǎn)時(shí)，當(dāng)是短軸端點(diǎn)時(shí)最大，因此不存在點(diǎn)滿足，C錯(cuò)；，，，則，，D正確．故選：BD．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，橢圓的定義及橢圓的性質(zhì)．有結(jié)論如下：橢圓上的點(diǎn)與兩焦點(diǎn)連線的斜率為定值，橢圓上的點(diǎn)對(duì)兩焦點(diǎn)的張角最大時(shí)，點(diǎn)為短軸端點(diǎn)．11．AC【分析】推導(dǎo)出平面，結(jié)合面面垂直的判定定理可判斷A選項(xiàng)的正誤；設(shè)的中點(diǎn)為，連接、，證明出平面，找出直線與平面所成的角，并計(jì)算出該角的正弦值，可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用反證法可判斷C選項(xiàng)的正誤；計(jì)算出線段和的長(zhǎng)度，可判斷D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)?，，，所以平面，平面，所以平面平面，A項(xiàng)正確；設(shè)的中點(diǎn)為，連接、，則.平面平面，平面平面，平面.平面，設(shè)平面所成的角為，則，，，，則，B項(xiàng)錯(cuò)誤；連接，易知平面，由、、確定的面即為平面，當(dāng)直線和異面時(shí)，若點(diǎn)為底面的中心，則，又平面，則與共面，矛盾，C項(xiàng)正確；連接，平面，平面，，

9、分別為、的中點(diǎn)，則，又，故，，則，D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AC.【點(diǎn)睛】本題考查立體幾何綜合問題，涉及面面垂直的判斷、線面角的計(jì)算以及異面直線的判斷，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.12．AB【分析】根據(jù)題意，結(jié)合過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線的性質(zhì)和結(jié)論，以及三角形的面積公式，一一判斷即可.【詳解】為方便解題，現(xiàn)補(bǔ)充以下兩個(gè)結(jié)論.結(jié)論1：，是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，若點(diǎn)是橢圓上異于頂點(diǎn)的任一點(diǎn)，則點(diǎn)處的切線平分的外角.證明：如圖，設(shè)橢圓，則過(guò)橢圓上一點(diǎn)的切線為：，因此切線的斜率，因此，因?yàn)?，，所以，同理，因此，即點(diǎn)處的切線平分的外角.結(jié)論2：、為橢圓的兩條切線，切點(diǎn)為、，則平分.證明：如圖，作關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，由結(jié)論1易知，、、三點(diǎn)共線，、、三點(diǎn)共線.

10因?yàn)?，，且，，所以與全等，因此，又因?yàn)榕c全等，所以，所以，因此平分.對(duì)于本題，結(jié)合題意，作出如下圖形，其中點(diǎn)為橢圓的左頂點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為，關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為.因?yàn)椋遗c橢圓相切，所以結(jié)合以上兩個(gè)結(jié)論，易知直線必定與橢圓相切，又因點(diǎn)異于橢圓頂點(diǎn)，所以與不平行，因此點(diǎn)?到直線的距離不相等，故A正確，D錯(cuò)誤；結(jié)合結(jié)論2的證明過(guò)程，易知與全等，與全等，因此，故三角形與三角形面積之和為定值6，因此B正確；而對(duì)于選項(xiàng)C，假設(shè)，則，設(shè)，則橢圓過(guò)點(diǎn)的切線為：，因切線過(guò)點(diǎn)

11，所以，即，聯(lián)立，得，即或(舍)，故，即三角形與三角形面積之和不為定值6，因此C錯(cuò).故選：AB.【點(diǎn)睛】求定值問題常見的方法有兩種：(1)從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無(wú)關(guān)．(2)直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過(guò)程中消去變量，從而得到定值．13．【分析】由直線與直線平行的性質(zhì)列出方程，求出，從而直線，直線，由此能求出直線與之間的距離【詳解】解：直線與直線平行，，解得，直線，直線，直線與之間的距離為．故答案為：14．【分析】求出圓心到直線的距離，表示出弦長(zhǎng)，即可求出最短弦長(zhǎng).【詳解】圓化為，即圓心為，半徑為3，則圓心到直線的距離為，則直線被圓截得弦長(zhǎng)為，則當(dāng)時(shí)，弦長(zhǎng)取得最短為.故答案為：.15．【分析】設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則我們可以求出△BDF中，DF，BF，BD的長(zhǎng)，由于∠DFB即為異面直線FB與AE所成角，利用余弦定理，解三角形DFB即可得到答案．【詳解】如圖所示：

12連接BD，∵AE∥DF∴∠DFB即為異面直線FB與AE所成角.由題意可知，∠DFC，所以三角形DFC為等邊三角形，所以DC=DF=FC.設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則在△BDF中，DF=1，BF=，BD∴cos∠DFB=故答案為【點(diǎn)睛】本題考查異面直線及其所成的角，其中利用平移的方法，求出異面直線FB與AE所成角的平面角是解答本題的關(guān)鍵．16．【分析】設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達(dá)定理分別求得和的表達(dá)式，即可求出范圍.【詳解】由題可得點(diǎn)為線段的垂直平分線與軸的交點(diǎn)，因?yàn)?，可設(shè)直線方程為，設(shè)，聯(lián)立方程可得，則，所以線段的中點(diǎn)坐標(biāo)為，，的垂直平分線方程為，當(dāng)時(shí)，，即，所以，則.故答案為：.

1317．（1）；（2）．【分析】（1）利用正弦定理的邊角互化即可求解.（2）利用二倍角公式以及三角形的內(nèi)角和性質(zhì)可得，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】解：（1）由已知及正弦定理得，，因?yàn)?，所以?????因?yàn)?，所以?????因?yàn)椋裕?????（2）．??????因?yàn)?，所以，，，，所以，即的取值范圍是?8．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連、、，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得出，利用面面垂直的性質(zhì)可得出平面，進(jìn)而得出，再證明出，可得出

14平面，由此可得出；（2）過(guò)點(diǎn)作垂足為點(diǎn)，推導(dǎo)出平面，計(jì)算出，可得出點(diǎn)到平面的距離為，由此可計(jì)算出直線和平面所成角的正弦值為，進(jìn)而得解.【詳解】（1）取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連、、.，為的中點(diǎn)，，又，為的中點(diǎn)，，，又，為的中點(diǎn)，，又平面平面，交線為，平面，平面，平面，，又，平面，平面，；（2）由（1）知平面，平面，平面平面，過(guò)點(diǎn)作垂足為點(diǎn)，平面平面，平面，平面，所以，即是點(diǎn)到平面的距離，平面，平面，，，，，，，又是的中點(diǎn)，點(diǎn)到面的距離，與面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查利用線面垂直證明線線垂直，同時(shí)也考查了線面角的正弦值的計(jì)算，考查推理能力與計(jì)算能力，屬于中等題.19．（1）或；（2）.【解析】（1）求出直線的方程，利用圓心到直線的距離等于圓的半徑可求出實(shí)數(shù)的值，進(jìn)而可得出直線的方程；

15（2）求出以為直徑的圓的方程，確定該圓的圓心坐標(biāo)和半徑長(zhǎng)，結(jié)合已知條件轉(zhuǎn)化為兩圓相交即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）已知是圓上一點(diǎn)，，.圓心為，半徑，直線的斜率為.直線的方程為，即.直線與圓相切，，解得或.因此，直線的方程為或；（2）因?yàn)?、，所以的中點(diǎn)，且.則以為直徑的圓的圓心為，半徑為.存在兩個(gè)點(diǎn)使得，所以圓與圓相交，即，即，解得且.因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查利用直線與圓相切求直線方程，以及與圓相關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題，將問題轉(zhuǎn)化為兩圓的位置關(guān)系是解答的關(guān)鍵，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，屬于中等題.20．(1)(2)【分析】（1）延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作,垂足為，過(guò)點(diǎn)作,垂足為,連接,則是二面角的平面角，再解三角形即得解；（2）連接,以為原點(diǎn)，由題得,以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求出當(dāng)=時(shí)，與所成的角最小，即得解.【詳解】（1）解：

16由題得.所以，所以是鈍角.延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作,垂足為，過(guò)點(diǎn)作,垂足為,連接,則是二面角的平面角.由題得，所以，所以,.所以二面角的平面角的余弦值為.（2）解：連接,以為原點(diǎn)，由題得,以為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，由題得設(shè)即,因?yàn)樗粤?，令時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減.

17所以當(dāng)=時(shí)，取最大值，此時(shí)與所成的角最小，.21．（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)已知條件求出、、的值，由此可得出橢圓的方程；（2）設(shè)過(guò)的切線方程為，將直線的方程與橢圓的方程聯(lián)立，消去可得出關(guān)于的一元二次方程，由直線與橢圓相切可得出，可得出關(guān)于的二次方程，結(jié)合韋達(dá)定理得出，進(jìn)而可得出的表達(dá)式，根據(jù)二次函數(shù)的基本性質(zhì)得出，結(jié)合的取值范圍可得結(jié)果.【詳解】（1）由題意可得，，又因?yàn)橐詾橹睆降膱A和恰好有兩個(gè)交點(diǎn)，則，，可得，因此，橢圓的方程為；（2）由題意可知，直線、的斜率存在且不為零，設(shè)過(guò)點(diǎn)的切線，聯(lián)立，消去可得，由于直線與橢圓相切，則，化簡(jiǎn)并整理得，

18整理成關(guān)于的二次方程得（易知），設(shè)直線、的斜率分別為、，易知、為關(guān)于的二次方程得的兩根，所以，，，所以，，，易知當(dāng)時(shí)，有，，，即的取值范圍是.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量關(guān)系；（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.