浙江省寧波市六校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

《浙江省寧波市六校聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx》由會(huì)員上傳分享，免費(fèi)在線閱讀，更多相關(guān)內(nèi)容在教育資源-天天文庫。

鄞州中學(xué)2023學(xué)年高一年級(jí)第一學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘．2．答題前，在答題卷指定區(qū)域完成相應(yīng)內(nèi)容的填寫和填涂考試號(hào)、貼好條形碼，所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效．3．本次考試期間不得使用計(jì)算器．4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙．選擇題部分一、單選題1.函數(shù)的定義域是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)特征得到不等式，求出定義域.【詳解】依題意，解得且，所以的定義域?yàn)?故選：B2.已知集合，則下列說法正確的是（）A.B.C.D.【答案】AC【解析】【分析】解方程化簡集合，然后利用元素和集合、集合和集合的關(guān)系逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】集合，所以，，，.故選：AC.3.下列各組函數(shù)表示同一函數(shù)的是（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】判斷函數(shù)定義域是否相同，再在定義域基礎(chǔ)上，化解解析式是否一致即可.【詳解】對(duì)于A，，定義域和對(duì)應(yīng)法則不一樣，故不為同一函數(shù)；對(duì)于B，，定義域不同，故不為同一函數(shù)；對(duì)于C，，定義域和對(duì)應(yīng)法則均相同，故為同一函數(shù)：對(duì)于D，，定義域不同，故不為同一函數(shù)．故選：C．4.已知，，則“且”是“”的（）條件A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要【答案】D【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】當(dāng)時(shí)，，由，取，此時(shí)，所以“且”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.5.已知無理數(shù)，若，，，則它們的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的單調(diào)性即可比較大小. 【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)為增函數(shù)，所以，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，所以，又，所以.故選：A6.函數(shù)的大致圖象為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)是偶函數(shù)可判斷錯(cuò)誤，根據(jù)，可排除.【詳解】依題可知：函數(shù)的定義域?yàn)?，定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，又，故函數(shù)為偶函數(shù)，故錯(cuò)誤；又當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤，故選：.7.已知實(shí)數(shù)為常數(shù)，且，函數(shù)，甲同學(xué)：的解集為：乙同學(xué)：的解集為；丙同學(xué)：存在最小值.在這三個(gè)同學(xué)中，只有一個(gè)同學(xué)的論述是錯(cuò)誤的，則a的范圍為（）A.B. C.D.【答案】C【解析】【分析】利用二次函數(shù)的性質(zhì)分別分析甲乙丙三位同學(xué)的論述，從而得解.【詳解】若甲正確，則且，即，則；若乙正確，則且，即，則；若丙正確，則二次函數(shù)開口向上即；因?yàn)橹挥幸粋€(gè)同學(xué)的論述為假命題，所以只能乙的論述錯(cuò)誤，故.故選：C8.已知函數(shù)的定義域?yàn)椋覍?duì)任意正實(shí)數(shù)x，y都成立，則下列結(jié)論一定成立的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】對(duì)于ACD：舉反例分析判斷；對(duì)于B：利用反證法，假設(shè)存在，使得，令，結(jié)合題意分析證明.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：例如函數(shù)符合題意，則，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)CD：例如符合題意，則，故C錯(cuò)誤；令，則，可知，故D錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：反證：假設(shè)存在，使得，令，則， 可得，這與假設(shè)相矛盾，故假設(shè)不成立，所以對(duì)任意，，故B正確；故選：B.二、多選題9.集合，集合則集合可表示為（）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】化簡集合，結(jié)合集合的運(yùn)算判斷各選項(xiàng)的對(duì)錯(cuò).【詳解】不等式的解集為或，所以或，因?yàn)椋曰?，B正確，，則或，A正確，，又或，C正確，，，故D錯(cuò)誤.故選：ABC10.下列函數(shù)中，屬于偶函數(shù)并且值域?yàn)榈挠校ǎ〢.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)偶函數(shù)的定義即函數(shù)的值域，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)椋抑涤?，故錯(cuò)誤；對(duì)于函數(shù)，定義域?yàn)?且，故為偶函數(shù)，且值域?yàn)椋收_； 對(duì)于函數(shù)，定義域，且，故函數(shù)為偶函數(shù)，又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故函數(shù)的值域?yàn)?，故正確；對(duì)于函數(shù)，令得，或者或者，故函數(shù)的定義域或或，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，，故函數(shù)為偶函數(shù)，且函數(shù)的值域?yàn)椋收_，故選：11.某食品的保鮮時(shí)間y（單位：小時(shí)）與儲(chǔ)存溫度x（單位：℃）滿足函數(shù)關(guān)系（，k，b為常數(shù)）．若該食品在0℃的保鮮時(shí)間是120小時(shí)，在20℃的保鮮時(shí)間是30小時(shí)，則（）A.且B.在10℃的保鮮時(shí)間是60小時(shí)C.要使得保鮮時(shí)間不少于15小時(shí)，則儲(chǔ)存溫度不低于30℃D.在零下2℃的保鮮時(shí)間將超過150小時(shí)【答案】AB【解析】【分析】本題首先可根據(jù)題意得出是減函數(shù)，且，可判斷出正確；根據(jù)及，可得，則可求得的值，判斷出正確；解不等式得，則錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，可求得，則錯(cuò)誤.【詳解】因?yàn)樵撌称吩?℃的保鮮時(shí)間是120小時(shí)，在20℃的保鮮時(shí)間是30小時(shí)，易得是減函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性可知，又，可知，所以正確； 又，即，故，，則，故正確；若，則，結(jié)合，不等式化為，即，又，所以，故錯(cuò)誤；當(dāng)時(shí)，，故錯(cuò)誤；故選：12.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.若的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)B.若有三個(gè)不同實(shí)數(shù)根，則C.不等式的解集是D.若對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是【答案】ABD【解析】【分析】對(duì)于AB，作出函數(shù)的圖象即可判斷；對(duì)于C，先根據(jù)圖象求出的范圍，再分情況討論即可；對(duì)于D，根據(jù)圖象結(jié)合圖象平移分析運(yùn)算即可判斷.【詳解】對(duì)于A，如圖，作出函數(shù)的圖象，由圖可知，若的圖象與直線有三個(gè)交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)，故A正確； 對(duì)于B，如圖，作出函數(shù)的圖象，由題意得兩函數(shù)交點(diǎn)得橫坐標(biāo)為，不妨設(shè)，則關(guān)于對(duì)稱，故，由圖可知，所以，故B正確；對(duì)于C，由函數(shù)的圖象可知，當(dāng)時(shí)，，則由，可得，則或，解得或，所以不等式的解集是，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，顯然不成立，故舍去，當(dāng)時(shí)，可以通過向左平移個(gè)單位得到， 如圖2，顯然不成立，舍去，當(dāng)時(shí)，可以通過向右平移個(gè)單位得到，如圖3，以射線與相切為臨界，即，則，所以，解得，所以，綜上所述，實(shí)數(shù)a的取值范圍是，故D正確.故選：ABD.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：已知函數(shù)有零點(diǎn)（方程有根）求參數(shù)值（取值范圍）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對(duì)解析式變形，進(jìn)而構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法求解.三、選擇題13.實(shí)數(shù)且，則函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn)______． 【答案】【解析】【分析】令，結(jié)合指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)即可得解.【詳解】令，則，所以函數(shù)的圖象恒過定點(diǎn).故答案為：.14.化簡求值：______．【答案】3【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)冪運(yùn)算公式計(jì)算.【詳解】原式=.故答案：3.15.寫出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)，則______．①定義域?yàn)?，值域?yàn)棰谠诙x域內(nèi)是偶函數(shù)③的圖象與x軸有三個(gè)公共點(diǎn)【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】由題意結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可取，再證明即可.【詳解】根據(jù)題意可取，函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，故①符合，因?yàn)?，所以函?shù)為偶函數(shù)，故②符合， 令，解得或，所以的圖象與x軸有三個(gè)公共點(diǎn)，故③符合，所以函數(shù)符合題意.故答案為：.16.若正數(shù)a，b滿足，則的最大值是______．【答案】【解析】【分析】引入待定系數(shù)，結(jié)合基本不等式求出答案.【詳解】正數(shù)a，b滿足，引入待定系數(shù)，得到，令，解得，解得，負(fù)值舍去，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，故答案為：四、解答題17.已知集合，．（1）若，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．請(qǐng)從條件①，條件②，這兩個(gè)條件中選一個(gè)填入（2）中橫線處，并完成第（2）問的解答． 【答案】（1）;（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)集合的并運(yùn)算，直接求解即可；（2）選擇不同的條件，根據(jù)集合之間的關(guān)系，分別討論參數(shù)的范圍即可.【小問1詳解】∵當(dāng)時(shí)，集合，∴．【小問2詳解】選擇①若，∴，∴當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得，滿足題意；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是．選擇②若，∵或，∴時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得滿足題意；綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是．18.已知命題p：“，”是真命題，（1）求實(shí)數(shù)a的取值所構(gòu)成的集合A；（2）在（1）的條件下，設(shè)不等式的解集為B，若是的必要條件，求實(shí)數(shù)b的取值范圍. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題意方程無解，利用判別式法求解即可；（2）先求出集合B，由題意，分類討論，列不等式組求解即可.【小問1詳解】因?yàn)槊}p：“，”是真命題，所以方程無解，所以，解得，所以實(shí)數(shù)a的取值所構(gòu)成的集合.【小問2詳解】因?yàn)椋?，解得，所以，又是的必要條件，所以，當(dāng)時(shí)，即，滿足題意；當(dāng)時(shí)，，解得；綜上，.19.已知冪函數(shù)（為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn).（1）求的解析式；（2）設(shè)，（i）判斷在區(qū)間上的單調(diào)性，并用單調(diào)性定義證明你的結(jié)論；（ii）若在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】19.20.（i）在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明見解析；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的圖象所過點(diǎn)，列出方程求解即可. （2）（i）判斷函數(shù)的單調(diào)性并用單調(diào)性的定義證明即可；（ii）利用上單調(diào)性可得，即可得解.【小問1詳解】因?yàn)閮绾瘮?shù)（為常數(shù)）的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則，所以，故；【小問2詳解】，（i）在區(qū)間上單調(diào)遞增，證明如下：設(shè)，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，可得函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增；（ii）因?yàn)樵谏虾愠闪?，所以，又函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，所以.20.已知是定義在上的奇函數(shù)，且時(shí)，.（1）求；（2）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的解析式；（3）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）（2）（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)，再令，即可得解； （2）設(shè)求出，再根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算可得；（3）判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)奇偶性及單調(diào)性將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式，解得即可.【小問1詳解】解：因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，令，則，所以；【小問2詳解】解：因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，且時(shí)，，設(shè)，則，則，又，所以，即當(dāng)時(shí)，；【小問3詳解】解：由（1）（2）可得，所以函數(shù)圖象如下所示：即在，上單調(diào)遞增，則不等式等價(jià)于，所以或或，解得或或， 所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.21.某公司決定對(duì)旗下的某商品進(jìn)行一次評(píng)估，該商品原來每件售價(jià)為25元，年銷售8萬件.（1）據(jù)市場調(diào)查，若價(jià)格每提高1元，銷售量將相應(yīng)減少2000件，要使銷售的總收入不低于原收入，該商品每件定價(jià)最多為多少元？（2）為了擴(kuò)大該商品的影響力，提高年銷售量.公司決定立即對(duì)該商品進(jìn)行全面技術(shù)革新和銷售策略調(diào)整，并提高定價(jià)到x元.公司擬投入萬元.作為技改費(fèi)用，投入50萬元作為固定宣傳費(fèi)用，投入萬元作為浮動(dòng)宣傳費(fèi)用.試問：當(dāng)該商品改革后的銷售量至少達(dá)到多少萬件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和？并求出此時(shí)每件商品的定價(jià).【答案】（1）40元（2）10.2萬件，30元【解析】【分析】（1）設(shè)每件定價(jià)為元，求出原銷售收入和新銷售收入后列不等式求解；（2）列出不等關(guān)系，分離參數(shù)得，從而利用基本不等式即可得解.【小問1詳解】依題意，設(shè)每件定價(jià)為元，得，整理得，解得.所以要使銷售的總收入不低于原收入，每件定價(jià)最多為40元.小問2詳解】依題意知當(dāng)時(shí)，不等式有解，等價(jià)于時(shí)，有解，由于，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以，當(dāng)該商品改革后銷售量至少達(dá)到10.2萬件時(shí)，才可能使改革后的銷售收入不低于原收入與總投入之和，此時(shí)該商品的每件定價(jià)為30元. 22.已知函數(shù)．（1）若，求函數(shù)的定義域，并指出其單調(diào)區(qū)間（不需要證明）：（2）若在區(qū)間單調(diào)遞減，求實(shí)數(shù)k的取值范圍；（3）若方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，求k的取值范圍．【答案】（1）定義域?yàn)?，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）（3）【解析】【分析】（1）解不等式求定義域，然后判斷單調(diào)性即可；（2）根據(jù)的單調(diào)性列不等式，然后解不等式即可；（3）將方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，然后根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求的取值范圍即可.【小問1詳解】若，則，令，解得或，所以的定義域?yàn)?，單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.【小問2詳解】因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以，解得，所以的取值范圍為.【小問3詳解】 因?yàn)?，所以方程可變形為，即，令，則，，令，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，又，，，所以方程在上有兩個(gè)不相等的實(shí)根，的取值范圍為.