湖北省宜昌市部分省級示范高中2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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宜昌市部分省級示范高中2023秋季學(xué)期高一年級上學(xué)期11月考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）1.設(shè)全集，集合，，則（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】由題中條件，根據(jù)交集和補集的概念，即可求出結(jié)果.【詳解】因為全集，，所以，又，所以.故選：A.2.下列選項中，在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】由奇函數(shù)和增函數(shù)的性質(zhì)一一分析即可.【詳解】對于A，在上單調(diào)遞減，故A錯誤；對于B，在上單調(diào)遞增，但在定義域內(nèi)不是增函數(shù)，故B錯誤；對于C，，所以不是奇函數(shù)，故C錯誤；對于D，由，可知在定義域內(nèi)是奇函數(shù)，又，在上是增函數(shù)，在上單調(diào)遞增，且在上連續(xù)不斷，故在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是增函數(shù)，故D正確；故選：D 3.已知，，，則，，的大小關(guān)系是（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性結(jié)合中間量“1”即可得解.【詳解】解：因為函數(shù)為減函數(shù)，所以，又因為，所以.故選：A.4.已知函數(shù)，則的圖象大致是（）AB.CD.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性判斷A選項；由可以判斷B、C選項，即可求解.【詳解】函數(shù)的定義域為，在定義域內(nèi)有，所以函數(shù)在定義域上是偶函數(shù)，則A選項錯誤； 又，則B、C選項錯誤；故選：D.5.設(shè)是實數(shù)，則“”的一個必要不充分條件是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】結(jié)合冪函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及特殊值逐項判斷即可.詳解】選項A，可得或或，反之若則，有取時，故是的既不充分也不必要條件，故A錯誤，選項B，因為，且函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以，不能得出，例如，滿足，但此時，反之，則也即，故B正確，選項C，推不出，比如，反之若則有取時，故是的既不充分也不必要條件，故C錯誤，選項D，，同時，所以是的充要條件，故D錯誤，故選：B.6.若函數(shù)是上的奇函數(shù)，且函數(shù)在上有最大值2，則函數(shù)在上有（）A.最小值B.最大值C.最小值D.最小值0【答案】D【解析】 【分析】設(shè)，判斷其奇偶性，根據(jù)在上有最大值，可確定的最值，結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】由題意可設(shè)，而函數(shù)是上的奇函數(shù)，故，即為奇函數(shù)，函數(shù)在上有最大值2，即在上有最大值1，故在上有最小值-1，則函數(shù)在上有最小值0，故選：D7.車厘子是一種富含維生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到眾人的喜愛．根據(jù)車厘子的果徑大小，可將其從小到大依次分為6個等級，其等級與其對應(yīng)等級的市場銷售單價y（單位：元/千克）近似滿足函數(shù)關(guān)系式．若花同樣的錢買到的1級果比5級果多3倍，且3級果的市場銷售單價為55元/千克，則6級果的市場銷售單價約為（）（參考數(shù)據(jù)：）A.156元/千克B.158元/千克C.160元/千克D.164元/千克【答案】A【解析】【分析】利用指數(shù)運算，化簡求的值.【詳解】由題意可知，解得，由，可得．故選：A.8.若實數(shù)，滿足，則（）A.B.C.D.【答案】C 【解析】【分析】構(gòu)造函數(shù)，然后利用單調(diào)性可求解.【詳解】因，故，故可構(gòu)造函數(shù)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得：在上單調(diào)遞增，而函數(shù)在上單調(diào)遞減，故函數(shù)在上單調(diào)遞增，又由可得，故，所以，故選：C.二、選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）9.下列命題正確的是（）A.函數(shù)與函數(shù)表示同一個函數(shù)B.若函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為C.若，則函數(shù)的最小值為2D.若，則【答案】BD【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的定義域不同判斷A；由抽象函數(shù)定義域求法可判斷B；利用基本不等式求函數(shù)最值，由等號取得條件判斷C；利用不等式性質(zhì)計算D.【詳解】對于A，的定義域為，的定義域為，兩函數(shù)定義域不相同，故不是相同的函數(shù)，故A錯誤；對于B，因為函數(shù)的定義域為，所以，解得，所以函數(shù) 的定義域為，故B正確；對于C，因為，所以，當且僅當時等號成立，由于無實數(shù)根，故取不到最小值2，故C錯誤；對于D，由題意，所以，又因為，所以，又，則，故D正確.故選：BD10.下列命題正確的是（）A.若，則B.若，則C.函數(shù)的圖象過定點D.若函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍是【答案】BCD【解析】【分析】選項A根據(jù)所給條件化簡根式即可，B選項利用完全平方公式計算即可，C選項利用指數(shù)型函數(shù)過定點判斷即可，D選項根據(jù)指數(shù)（型）函數(shù)單調(diào)性求參數(shù)的取值范圍.【詳解】選項A，因為，所以，故A錯誤，選項B，因為，所以，由，所以，故B選項正確，選項C，當時，， 所以函數(shù)恒過，故選項C正確，選項D，由函數(shù)是由復(fù)合而成，由在上單調(diào)遞增，故由函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，則可知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，即，故D正確，故選：BCD.11.已知函數(shù)的圖象過原點，且無限接近直線但又不與該直線相交，則下列說法正確的是（）A.B.函數(shù)為偶函數(shù)C.函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增D.函數(shù)的值域為【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)分析、的值，即可得函數(shù)的解析式，據(jù)此分析選項，作出函數(shù)圖象，綜合即可得答案．【詳解】根據(jù)題意，函數(shù)的圖象過原點，即，則有，又由的圖象無限接近直線但又不與該直線相交，則，故，則，故A正確；的定義域為，且，為偶函數(shù)，故B正確；函數(shù)的圖象如下： 由圖可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，值域為，故C錯誤，D正確.故選：ABD.12.若實數(shù)x，y滿足，，，則（）A.且B.m的最大值為C.n的最小值為7D.【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)判斷A，利用基本不等式判斷BC，根據(jù)指數(shù)冪的運算判斷D；【詳解】對于A：因為，若，則，又，顯然不成立，即，同理可得，所以，即且，故A正確；對于B：，即，所以，當且僅當，即，時取等號，即的最大值為，故B正確；對于C：，當且僅當，即，時取等號，故C錯誤；對于D：， 因為，所以，即，即，即，因為，所以，即，故D正確；故選：ABD.三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.計算得________．【答案】【解析】【分析】利用指數(shù)的運算性質(zhì)即可求解.【詳解】.故答案為：【點睛】本題考查了指數(shù)的運算性質(zhì)，考查了基本運算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.14.若為奇函數(shù)，則_______.【答案】【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)求出a的值，再求解.【詳解】由題得函數(shù)的定義域為R,因為函數(shù)是奇函數(shù)，所以.所以，所以.故答案為：【點睛】本題主要考查奇函數(shù)的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平，屬于基礎(chǔ)題.15.關(guān)于x的不等式的解集中恰有兩個整數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍是______．【答案】 【解析】【分析】不等式化為，討論與1的大小解出不等式即可得出.【詳解】關(guān)于x的不等式可化為，當時，解得，要使解集中恰有兩個整數(shù)，則，當時，不等式化為，此時無解，當時，解得，要使解集中恰有兩個整數(shù)，則，綜上，實數(shù)a的取值范圍是.故答案為：.16.設(shè)，，若恒成立，則實數(shù)的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】作出，的大致圖象，由恒成立，利用數(shù)形結(jié)合可得到關(guān)于a的不等式，解不等式即可得解.【詳解】作出函數(shù)的圖像，向右平移一個單位得到的圖像，如圖所示.要使恒成立，必有，即，又，所以. 故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：求解本題的關(guān)鍵是正確作出函數(shù)的大致圖象，然后根據(jù)函數(shù)與的圖象的關(guān)系，數(shù)形結(jié)合判段的取值范圍，考查學(xué)生的邏輯思維能力、運算求解能力，屬于較難題.四、解答題（本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17.已知集合，.（1）求集合和；（2）集合，若，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于的不等式，求出集合，再求出的補集，求出即可；（2）根據(jù)，得到關(guān)于的不等式組，求出即可.【小問1詳解】由集合可知，，得，解得，所以，因為，，所以【小問2詳解】由題意可得，因為， 所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為18.已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上單調(diào)遞增.（1）求函數(shù)的解析式；（2）若，求的取值范圍；（3）若正實數(shù)，滿足，求的最小值.【答案】18.19.20.【解析】【分析】（1）根據(jù)冪函數(shù)的定義求得，由單調(diào)性和偶函數(shù)求得得解析式；（2）由偶函數(shù)定義變形不等式，再由單調(diào)性求解；（3）由基本不等式求得最小值．【小問1詳解】由為冪函數(shù)得：，且在上單調(diào)遞增，所以，又，所以或，當時，為奇函數(shù)，不滿足題意，當時，為偶函數(shù)，滿足題意，所以.【小問2詳解】由函數(shù)為偶函數(shù)， 所以且在上單調(diào)遞增，所以，即，所以的取值范圍為：，【小問3詳解】因為且，所以，所以，當且僅當且，即時取等號，所以的最小值為.19.已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù).（1）當時，求，的值：（2）若函數(shù)在上單調(diào)遞減.（i）求實數(shù)的取值范圍：（ii）若對任意實數(shù)，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1） （2）（i）；（ii）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)的奇偶性得到時的解析式，求出，的值；（2）（i）根據(jù)函數(shù)開口方向，對稱軸，得到不等式，求出；（ii）根據(jù)函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性得到不等式，轉(zhuǎn)化為恒成立，求出答案.【小問1詳解】當時，，當時，，，因為為定義在上的奇函數(shù)，所以，故，所以，所以；【小問2詳解】（i）在上單調(diào)遞減，，開口向下，對稱軸為，所以，解得，（ii）為定義在上的奇函數(shù)，故，又在上單調(diào)遞減，故在R上單調(diào)遞減，故，即恒成立，由于，故，實數(shù)的取值范圍為.20.已知函數(shù). （1）判斷函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性，并加以證明；（2）設(shè)函數(shù)，，，利用（1）中的結(jié)論求函數(shù)的最小值.【答案】（1）奇函數(shù)；在，上皆為增函數(shù)，證明見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的定義即可判斷的奇偶性，利用單調(diào)性定義判斷在上的單調(diào)性，再結(jié)合其奇偶性即可判斷上的單調(diào)性；（2）化簡，并換元，確定t的范圍，將化為，討論二次函數(shù)對稱軸和給定區(qū)間的位置關(guān)系，即可求得答案.【小問1詳解】判斷為奇函數(shù)，在，上皆為增函數(shù)，證明如下：由題意知函數(shù)的定義域為，關(guān)于原點對稱，，故為奇函數(shù)；任取，則，因為，，所以，則，所以，即在上為增函數(shù)，又為奇函數(shù)，故在上也為增函數(shù).【小問2詳解】 ，設(shè)，由（1）知在上單調(diào)遞增，故，故即為，其圖象對稱軸為，當時，在上單調(diào)遞增，則；當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則；當時，在上單調(diào)遞減，則；故.21.某地擬建造一座大型體育館，其設(shè)計方案側(cè)面的外輪廓如圖所示，曲線是以點為圓心的圓的四分之一部分，其中，軸，垂足為；曲線是拋物線的一部分；，垂足為，且恰好等于的半徑，假定擬建體育館的高（單位：米，下同）.（1）試將用和表示；（2）若要求體育館側(cè)面的最大寬度不超過75米，求的取值范圍.【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)拋物線方程求得，從而可得半徑，即，進而求解出 點坐標后，可知；（2）根據(jù)題意，恒成立，即恒成立，再根據(jù)基本不等式求最值即可得答案.【小問1詳解】解：由拋物線方程得：，∵，均為圓半徑，，圓的半徑為：，∴，入拋物線方程可得，解得，∵曲線是以點為圓心的圓的四分之一部分，其中，軸，垂足為，∴，∴，.【小問2詳解】解：∵要求體育館側(cè)面的最大寬度不超過75米，，整理可得：，，（當且僅當時取等號），，.∴的取值范圍為：22.已知函數(shù).（1）若對任意的，恒成立，求實數(shù)的取值范圍； （2）若的最小值為，求實數(shù)的值；（3）若對任意的，均存在以，，為三邊長的三角形，求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）【解析】【詳解】分析：（1）問題等價于恒成立，分類參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值即可；（2）由，令，分三種情況進行討論求出的最小值，令其為，即可求出的值.（3）由題意對任意恒成立，當時容易判斷，當時轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題即可求解.詳解：（1）（2），令，則，當時，無最小值，舍去；當時，最小值不是，舍去；當時，，最小值，綜上所述，.（3）由題意，對任意恒成立.當時，因且，故，即；當時，，滿足條件；當時，且，故，；綜上所述，.