重慶市開(kāi)州中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué) Word版含解析.docx

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重慶市開(kāi)州中學(xué)高2025屆2023秋季第一次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題一、單選題（每小題5分，共40分）1.直線的傾斜角為（）A.0B.C.D.不存在【答案】B【解析】【分析】利用傾斜角定義分析運(yùn)算即可得解.【詳解】解：直線即為軸，軸和軸垂直，又知傾斜角范圍是，∴由定義可知直線傾斜角為.故選：B.2.若平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，且，則的值是（）A.－3B.－4C.3D.4【答案】A【解析】【分析】根據(jù)兩平面平行得到兩法向量平行，進(jìn)而得到方程組，求出，得到答案.【詳解】∵，∴，故存在實(shí)數(shù)，使得，即，故，解得，∴.故選：A 3.已知，則點(diǎn)A關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)坐標(biāo)平面的對(duì)稱(chēng)性求解．【詳解】點(diǎn)A關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)的坐標(biāo)是，故選：B．4.某節(jié)物理課上，物理老師講解光線的入射、反射與折射，為了更好地解釋光線的路徑，物理老師將此問(wèn)題坐標(biāo)化如下：已知入射光線從射出，經(jīng)過(guò)直線的點(diǎn)后第一次反射，若此反射光線經(jīng)過(guò)直線上的點(diǎn)時(shí)再次反射，反射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則可以求得直線的斜率為（）A.B.C.4D.3【答案】D【解析】【分析】分別求出關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，所求斜率即為的斜率，【詳解】作出圖形如圖所示，分別作關(guān)于的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，以及關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則.故選：D5.一次函數(shù)與為常數(shù)，且，它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系內(nèi)的圖象可能為（） A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圖象分析b、k取值符號(hào)進(jìn)行判斷即可．【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A中，直線的直線的∴A錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)B中，直線的直線的，∴B錯(cuò)；對(duì)于選項(xiàng)C中，直線的直線的∴C對(duì)；對(duì)于選項(xiàng)D中，直線的直線的∴D錯(cuò)．故選：C．6.已知直線過(guò)點(diǎn)，直線的一個(gè)方向向量為，則到直線的距離等于（）A.B.C.D.5【答案】C【解析】【分析】根據(jù)點(diǎn)線距公式求得正確答案.【詳解】，，， 所以到直線的距離為.故選：C7.如圖，兩條異面直線a，b所成角為，在直線a，b上分別取點(diǎn)，E和點(diǎn)A，F(xiàn)，使且．已知，，．則線段的長(zhǎng)為（）A.2或B.4C.2或4D.4或【答案】C【解析】【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算可得，兩邊平方，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算，結(jié)合題意可得結(jié)果.【詳解】由題意知，所以，展開(kāi)得，異面直線，所成角為，代入得，所以或，故選：C.8.已知，，若，則（）A.B.C.或D.【答案】D【解析】【分析】都為平面內(nèi)的點(diǎn)集，即兩點(diǎn)集對(duì)應(yīng)的幾何圖形無(wú)公共點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合解決問(wèn)題. 【詳解】集合表示平面內(nèi)一條直線，但不包含點(diǎn)；由，得，不論取何值，直線恒過(guò)，對(duì)于的每一個(gè)取值，集合都表示平面內(nèi)過(guò)定點(diǎn)的一條直線.當(dāng)時(shí)，集合表示的直線的方程為，此時(shí)直線與直線重合，有無(wú)數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，即，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，直線與直線不重合，相交于點(diǎn)，又，即，滿足題意.故選：D.二、多選題（每小題至少兩個(gè)選項(xiàng)正確，選不全得2分，選錯(cuò)得0分，共20分）9.下列命題正確的是（）A.任何直線方程都能表示為一般式B.兩條直線相互平行的充要條件是它們的斜率相等C.直線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)是D.直線方程可化為截距式為【答案】AC【解析】 【分析】根據(jù)具體條件對(duì)相應(yīng)選項(xiàng)作出判斷即可.【詳解】對(duì)A：直線的一般是方程為：，當(dāng)時(shí)，方程表示水平線，垂直軸；當(dāng)時(shí)，方程表示鉛錘線，垂直軸；當(dāng)時(shí)，方程表示任意一條不垂直于軸和軸的直線；故A正確.對(duì)B：兩條直線相互平行的充要條件是它們的斜率相等且不重合，故B錯(cuò).對(duì)C：聯(lián)立，解得，故C正確.對(duì)D：若或時(shí)，式子顯然無(wú)意義，故D錯(cuò).故選：AC.10.下列結(jié)論正確的是（）A.兩個(gè)不同的平面的法向量分別是，則B.直線的方向向量，平面的法向量，則C.若，則點(diǎn)在平面內(nèi)D.若是空間的一組基底，則向量也是空間一組基底【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)平面向量的法向量垂直判斷A，根據(jù)直線與平面的關(guān)系判斷B，根據(jù)空間中共面基本定理判斷C，由空間向量基本定理判斷D.【詳解】因?yàn)?，所以，故A正確；因?yàn)橹本€的方向向量，平面的法向量，不能確定直線是否在平面內(nèi)，故B不正確；因?yàn)?，所以，，共面，即點(diǎn)在平面內(nèi)，故C正確；若是空間的一組基底， 則對(duì)空間任意一個(gè)向量，存在唯一的實(shí)數(shù)組，使得，于是，所以也是空間一組基底，故D正確.故選：ACD.11.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段的中點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（????）A.四面體的體積為B.向量在方向上的投影向量為C.直線與直線垂直D.直線與平面所成角的正弦值為【答案】AB【解析】【分析】以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立空間坐標(biāo)系，利用體積公式判斷A；利用空間向量法判斷BCD.【詳解】以為原點(diǎn)，所在的直線分別為軸、軸、軸，建立空間坐標(biāo)系，如圖所示： 則，，，，，，，對(duì)于A，因?yàn)?，故正確；對(duì)于B，因，，所以，，，所以在方向上的投影向量為：，故正確；對(duì)于C，因?yàn)?，，，所以與不垂直，即直線與直線不垂直，故錯(cuò)誤；對(duì)于D，，在正方體中，易知平面，得平面，即平面的法向量，設(shè)直線與平面的夾角為，則，故錯(cuò)誤.故選：AB12.已知點(diǎn)，，直線上存在點(diǎn)P滿足，則直線可能為（????）A.-2B.0C.1D.3【答案】CD【解析】【分析】變形后求出直線過(guò)定點(diǎn)，且斜率為，結(jié)合，故只需 與線段有交點(diǎn)，結(jié)合，，求出，得到，得到答案.【詳解】變形為，故直線過(guò)定點(diǎn)，且斜率為，又，要想直線上存在點(diǎn)P滿足，即與線段有交點(diǎn)，因?yàn)?，，故，解得，故CD滿足要求，AB錯(cuò)誤.故選：CD三、填空題（每小題5分，共20分）13.直線過(guò)點(diǎn)，且斜率是傾斜角為的直線斜率的二倍，則直線的方程為_(kāi)______【答案】【解析】【分析】根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)斜式方程，可得答案. 【詳解】?jī)A斜角為的直線的斜率，則直線的斜率，由點(diǎn)斜式方程可得，整理可得：.故答案為：.14.已知，則在上的投影向量為_(kāi)______(用坐標(biāo)表示)【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量的定義，結(jié)合數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算即可求解.【詳解】由得，在上的投影向量為，故答案為：15.已知直線，，則直線與之間的距離最大值為_(kāi)_____.【答案】5【解析】【分析】分別求出直線，過(guò)的定點(diǎn)，，當(dāng)與兩直線垂直時(shí)距離最大，且最大值為，由此即可求解．【詳解】直線化簡(jiǎn)為：，令且，解得，，所以直線過(guò)定點(diǎn)，直線化簡(jiǎn)為：，令且，解得，，所以直線過(guò)定點(diǎn)，，當(dāng)與直線，垂直時(shí)，直線，的距離最大，且最大值為， 故答案為：5．16.棱長(zhǎng)為的正方體中，分別是平面和平面內(nèi)動(dòng)點(diǎn)，，則的最小值為_(kāi)______【答案】##【解析】【分析】利用對(duì)稱(chēng)將的最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解點(diǎn)到平面的距離，再建立直角坐標(biāo)系，利用法向量方法求解點(diǎn)面距.【詳解】如圖，取點(diǎn)關(guān)于平面的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為,則，，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為軸，為軸，為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)?，則點(diǎn)是線段靠近的三等分點(diǎn)，又正方體棱長(zhǎng)為，則，則，且，設(shè)平面的法向量為，則，取，則，則， 則點(diǎn)到平面的距離.【點(diǎn)睛】空間幾何體中的距離之和的最值問(wèn)題處理一般有以下方法：（1）借助參數(shù)表達(dá)，轉(zhuǎn)化為函數(shù)最值求解；（2）利用展開(kāi)圖，將空間距離和轉(zhuǎn)化為平面內(nèi)距離和問(wèn)題，再利用兩點(diǎn)之間線段最短求解；（3）借助對(duì)稱(chēng)，化線（面）的同側(cè)為線（面）的異側(cè)，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)點(diǎn)（點(diǎn)線、點(diǎn)面）距離求解，等等.四、解答題（第17題10分，第18、19、20、21、22題每題12分，共70分）17.已知點(diǎn)，直線過(guò)點(diǎn)，（1）若A到直線距離為2，求直線方程；（2）若A、B到直線距離相等，求直線的方程.【答案】（1）或者（2）或者【解析】【分析】（1）先考慮斜率不存在的情況，再考慮斜率存在的情況，設(shè)出直線寫(xiě)出點(diǎn)到直線的距離公式求解即可；（2）先考慮斜率不存在情況，再考慮斜率存在的情況，設(shè)出直線分別寫(xiě)出兩點(diǎn)到直線的距離，相等求解即可；【小問(wèn)1詳解】①若直線斜率不存在，此時(shí)過(guò)點(diǎn)的直線為直線，點(diǎn)到直線的距離為2，符合要求；②若直線斜率存在，設(shè)為，則直線方程為，所以點(diǎn)到直線的距離為，解得， 直線為，即，所以直線方程為或者；【小問(wèn)2詳解】①若直線斜率不存在，此時(shí)過(guò)點(diǎn)的直線為直線，點(diǎn)到直線的距離為2，點(diǎn)到直線的距離為0，不符合條件；②若直線斜率存在，設(shè)為，則直線方程為，此時(shí)點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，又，所以，解得或者，所以直線為或者，即或者.18.已知向量．（1）若，求實(shí)數(shù)；（2）若向量與所成角為鈍角，求實(shí)數(shù)的范圍．【答案】（1）（2）且【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量平行的坐標(biāo)運(yùn)算求解即可得到答案.（2）根據(jù)題意得到，再結(jié)合（1）的情況即可得到答案.【小問(wèn)1詳解】，，因?yàn)?，所以，即，所?【小問(wèn)2詳解】 ，，因?yàn)橄蛄颗c所成角為鈍角，所以，即，解得.當(dāng)與平行時(shí)，由（1）知：，所以向量與所成角為鈍角，實(shí)數(shù)的范圍且.19.如圖，棱長(zhǎng)為1的正四面體OABC中，，點(diǎn)M滿足，點(diǎn)N為BC中點(diǎn)，（1）用表示；（2）求.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運(yùn)算求解即可.（2）根據(jù)，再平方求解即可.【小問(wèn)1詳解】連接，如圖所示： 因?yàn)椋?，所?【小問(wèn)2詳解】因?yàn)檎拿骟w的棱長(zhǎng)為1，所以，所以，所以.20.已知直線，且，（1）求的值；（2）直線過(guò)點(diǎn)與交于，，求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)直線與直線平行的充要條件，列出方程求解即可；（2）根據(jù)兩平行線間距離可判斷垂直，利用斜率關(guān)系即可求解直線的斜率，進(jìn)而可求解方程.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?，所以，整理得，解得或．?dāng)時(shí)，，，符合題意， 當(dāng)時(shí)，，，與重合，不滿足題意．綜上，．【小問(wèn)2詳解】由（1）得，，所以兩直線之間的距離為，而，所以直線與均垂直，由于，所以，故直線方程為21.如圖，四棱錐的底面是正方形，每條側(cè)棱的長(zhǎng)都是底面邊長(zhǎng)的倍，為側(cè)棱上的點(diǎn)，且平面.（1）求平面與平面所成的角；（2）側(cè)棱上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若存在，求出點(diǎn)的位置；若不存在，試說(shuō)明理由.【答案】（1）（2）存在，【解析】【分析】（1）連接，交于點(diǎn)，利用線面垂直判定可證得平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用面面角的向量求法可求得結(jié)果；（2）假設(shè)，滿足平面，由線面平行的向量判定方法可構(gòu)造方程求得 的值，由此可得結(jié)論.【小問(wèn)1詳解】連接，交于點(diǎn)，連接，四邊形為正方形，為中點(diǎn)，；，，，，，平面，平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，正方向?yàn)檩S，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，，，，，，，，平面，平面，平面的一個(gè)法向量為，平面的一個(gè)法向量為，，即平面與平面所成角的余弦值為，平面與平面所成的角為.【小問(wèn)2詳解】假設(shè)在上存在一點(diǎn)，滿足，使得平面， ，，，，又，，，平面的一個(gè)法向量為，，解得：，在上存在一點(diǎn)，滿足，使得平面.22.如圖，將一塊直角三角形木板置于平面直角坐標(biāo)系中，已知，，點(diǎn)是三角形木板內(nèi)一點(diǎn)，現(xiàn)因三角形木板中陰影部分受到損壞，要把損壞部分鋸掉，可用經(jīng)過(guò)點(diǎn)P的任一直線將三角形木板鋸成，設(shè)直線的斜率為k.（1）用k表示出直線的方程，并求出M、N的坐標(biāo)；（2）求鋸成的的面積的最小值.【答案】（1），，. （2）.【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法可求得直線的方程，再聯(lián)立直線方程組即可求得M、N的坐標(biāo)；（2）先由題意確定的范圍，再利用（1）結(jié)論可得到與M到直線的距離，由此得到的面積關(guān)于的關(guān)系式，利用基本不等式即可求解.【小問(wèn)1詳解】設(shè)直線，因?yàn)橹本€過(guò)點(diǎn)，所以，即，所以，又因?yàn)?，，易得直線，直線，聯(lián)立，解得；聯(lián)立，解得，故，.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，因?yàn)?，設(shè)M到直線的距離為d，則，所以， 當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，所以S的最小值為.